UNIVERSIDAD NACIONAL

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• UNIVERSIDAD NACIONAL
• SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO
• FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
• CURSO FISICA I
• CINEMATICA DE UNA PARTICULA
• AUTOR Mag. Optaciano L. Vásquez García
• HUARAZ - PERÚ
• 2010

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I. INTRODUCCIÓN
MECANICA
MECÁNICA DE FLUIDOS
MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE
MECANICA DE CUERPO RIGIDOS
DINAMICA
ESTATICA
CINETICA
CINEMATICA
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II. NOCION DE CINEMATICA

• La cinemática (del griego???e?, kineo,
  movimiento) es la rama de la mecánica clásica que
  estudia las leyes del movimiento de los cuerpos
  sin tener en cuenta las causas que lo producen,
  limitándose esencialmente, al estudio de la
  trayectoria en función del tiempo.
• También se dice que la cinemática estudia la
  geometría del movimiento.
• En la cinemática se utiliza un sistema de
  coordenadas para describir las trayectorias,
  denominado sistema de referencia.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

• 1. ESPACIO ABSOLUTO.
• Es decir, un espacio anterior a todos los objetos
  materiales e independiente de la existencia de
  estos.
• Este espacio es el escenario donde ocurren todos
  los fenómenos físicos, y se supone que todas las
  leyes de la física se cumplen rigurosamente en
  todas las regiones de ese espacio.
• El espacio físico se representa en la Mecánica
  Clásica mediante un espacio puntual euclídeo.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

• 2. TIEMPO ABSOLUTO
• La Mecánica Clásica admite la existencia de un
  tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en
  todas las regiones del Universo y que es
  independiente de la existencia de los objetos
  materiales y de la ocurrencia de los fenómenos
  físicos.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

• 2. MOVIL
• El móvil más simple que podemos considerar es el
  punto material o partícula.
• La partícula es una idealización de los cuerpos
  que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido
  en que lo es el concepto de punto geométrico.
• Entendemos por punto material o partícula a un
  cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda
  considerarse como puntiforme de ese modo su
  posición en el espacio quedará determinada al
  fijar las coordenadas de un punto geométrico.
• Naturalmente la posibilidad de despreciar las
  dimensiones de un cuerpo estará en relación con
  las condiciones específicas del problema
  considerado.

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II. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

• Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir
  determinar su posición en el espacio en función
  del tiempo, para ello se necesita un sistema de
  referencia.
• En el espacio euclidiano un sistema de queda
  definido por los elementos siguientes.
• a. un origen O, que es un punto del espacio
  físico.
• b. una base vectorial del espacio vectorial
  asociado a dicho espacio físico.

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RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

• Decimos que una partícula se encuentra en
  movimiento con respecto a un referencial si su
  posición con respecto a él cambia en el
  transcurso del tiempo.
• En caso contrario, si la posición del cuerpo no
  cambia con respecto al referencial, el cuerpo
  está en reposo en dicho referencial.
• De las definiciones que acabamos de dar para el
  movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que
  ambos conceptos son relativos.

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RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

• En la Figura hemos representado dos observadores,
  S y S', y una partícula P.
• Estos observadores utilizan los referenciales xyz
  y x'y'z', respectivamente.
• Si S y S' se encuentran en reposo entre sí,
  describirán del mismo modo el movimiento de la
  partícula P. Pero si S y S' se encuentran en
  movimiento relativo, sus observaciones acerca del
  movimiento de la partícula P serán diferentes.

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RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

• Para el observador en ubicado en la tierra la
  LUNA describirá una órbita casi circular en torno
  a la TIERRA.
• Para el observador ubicado en el sol la
  trayectoria de la luna es una línea ondulante.
• Naturalmente, si los observadores conocen sus
  movimientos relativos, podrán reconciliar sus
  observaciones

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• Decimos que una partícula tiene un movimiento
  rectilíneo cuando su trayectoria medida con
  respecto a un observador es una línea recta
• 1. POSICIÓN.

• La posición de la partícula en cualquier
  instante queda definida por la coordenada x
  medida a partir del origen O.
• Si x es positiva la partícula se localiza hacia
  la derecha de O y si x es negativa se localiza a
  la izquierda de O.

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• 2. DESPLAZAMIENTO.
• El desplazamiento se define como el cambio de
  posición.
• Se representa por el símbolo ?x.
• Si la posición final de la partícula P está la
  derecha de su posición inicial P, el
  desplazamiento ?x es positivo cuando el
  desplazamiento es hacia la izquierda ?S es
  negativo

13
MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• 3. VELOCIDAD MEDIA
• Si la partícula se mueve de P a P
  experimentando un desplazamiento ?x positivo
  durante un intervalo de tiempo ?t, entonces, la
  velocidad media será

14
MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• 3. VELOCIDAD MEDIA
• La velocidad media también puede interpretarse
  geométricamente para ello se traza una línea
  recta que une los puntos P y Q como se muestra en
  la figura. Esta línea forma un triángulo de
  altura ?x y base ?t.
• La pendiente de la recta es ?x/?t. Entonces la
  velocidad media es la pendiente de la recta que
  une los puntos inicial y final de la gráfica
  posición-tiempo

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• 4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
• Es la velocidad de la partícula en cualquier
  instante de tiempo se obtiene llevando al límite
  la velocidad media es decir, se hace cada vez más
  pequeño el intervalo de tiempo y por tanto
  valores más pequeños de ?x. Por tanto

16
MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• 4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
• Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que
  Q se aproxima más y más a P los intervalos de
  tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q
  se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a
  cero tendiendo de esta manera las pendientes a la
  tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en
  P es igual a la pendiente de la recta tangente en
  el punto P. La velocidad instantánea puede ser
  positiva (punto P), negativa (punto R) o nula
  (punto Q) según se trace la pendiente
  correspondiente

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• 5. RAPIDEZ MEDIA.
• La rapidez media se define como la distancia
  total de la trayectoria recorrida por una
  partícula ST, dividida entre el tiempo
  transcurrido ?t, es decir,

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• 6. ACELERACIÓN MEDIA .
• Si la velocidad de la partícula al pasar por P
  es v y cuando pasa por P es v durante un
  intervalo de tiempo ?t, entonces

La aceleración media se define como
19
MOVIMIENTO RECTILÍNEO

• 6. ACELERACIÓN INSTANTANEA .
• La aceleración instantánea se obtiene llevando
  al límite la aceleración media cuando ?t tiende
  a cero es decir

20
Ejemplo 01

• La posición de una partícula que se mueve en
  línea recta está definida por la relación
  Determine (a) la posición, velocidad y
  aceleración en t 0 (b) la posición, velocidad
  y aceleración en t 2 s (c) la posición,
  velocidad y aceleración en t 4 s (d) el
  desplazamiento entre t 0 y t 6 s

21
Solución

• La ecuaciones de movimiento son
• Las cantidades solicitadas son

• En t 0, x 0, v 0, a 12 m/s2
• En t 2 s, x 16 m, v vmax 12 m/s, a
  0
• En t 4 s, x xmax 32 m, v 0, a -12
  m/s2
• En t 6 s, x 0, v -36 m/s, a 24 m/s2

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DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

• 1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a
  f(t).
• Se sabe que a dv/dt, entonces podemos
  escribir

23
DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

• 2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a
  f(x).
• Se sabe que a vdv/ds, entonces podemos
  escribir

24
DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

• 2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD
  a f(v).
• Se sabe que a dv/dt o también a vdv/ds,
  entonces podemos escribir

25
DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

• 4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a constante
• A este caso se le denomina movimiento rectilíneo
  uniforme y las ecuaciones obtenidas son

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Ejemplo 01

• El auto mostrado en la figura se mueve en línea
  recta de tal manera que su velocidad para un
  período corto de tiempo es definida por
  pies/s, donde t es el tiempo el cual está
  en segundos . Determine su posición y aceleración
  cuando t 3,00 s. Considere que cuando t 0. S
  0

27
Solución

• POSICIÓN Para el sistema de referencia
  considerado y sabiendo que la velocidad es
  función del tiempo v f(t). La posición es
• Cuando t 3 s, resulta

• ACELERACIÓN. Sabiendo que v f(t), la
  aceleración se determina a partir de a dv/dt
• Cuando t 3 s

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Ejemplo 02

• Un proyectil pequeño es disparado verticalmente
  hacia abajo dentro de un medio fluido con una
  velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del
  fluido produce una desaceleración del proyectil
  que es igual a donde v se mide
  en m/s. Determine la velocidad v y la posición S
  cuatro segundos después de que se disparó el
  proyectil.

29
Solución

• Velocidad Usando el sistema de referencia
  mostrado y sabiendo que a f(v) podemos utilizar
  la ecuación a dv/dt para determinar la
  velocidad como función del tiempo esto es

• POSICIÓN Sabiendo que v f(t), la posición se
  determina a partir de la ecuación v dS/dt

30
Ejemplo 03

• Una partícula metálica está sujeta a la
  influencia de un campo magnético tal que se mueve
  verticalmente a través de un fluido, desde la
  placa A hasta la placa B, Si la partícula se
  suelta desde el reposo en C cuando S 100 mm, y
  la aceleración se mide como
  donde S está en metros. Determine (a) la
  velocidad de la partícula cuando llega a B (S
  200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de
  C a B

31
Solución

• Debido a que a f(S), puede obtenerse la
  velocidad como función de la posición usando vdv
  a dS. Consideramos además que v 0 cuando S
  100 mm
• La velocidad cuando S 0,2 m es

• El tiempo que demora en viajar la partícula de C
  a B se determina en la forma
• Cuando S 0,2 m el tiempo es

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Ejemplo 04

• Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo
  se lanza una bola verticalmente hacia arriba con
  una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola
  todo el tiempo se encuentra sometida a un campo
  gravitacional que le proporciona una aceleración
  g 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine (a) la
  velocidad y la altura en función del tiempo, (b)
  el instante en que la bola choca con el piso y la
  velocidad correspondiente

33
Solución
34
Solución
Cuando la bola alcanza su altura máxima su
velocidad es cero, entonces se tiene
35
Solución
36
MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS Movimiento
relativo

• Sea A y B dos partículas que se mueven en línea
  recta como se ve en la figura. Sus posiciones
  respecto a O serán xA y xB. La posición relativa
  de B con respecto a A será.
• La velocidad relativa d A con respecto a B será.
• La aceleración relativa se expresa en la forma

37
Ejemplo 05

• Desde una altura de 12 m, en el interior de un
  hueco de un ascensor, se lanza una bola
  verticalmente hacia arriba con una velocidad de
  18 m/s. En ese mismo instante un ascensor de
  plataforma abierta está a 5 m de altura
  ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s.
  Determine (a) cuando y donde chocan la bola con
  el ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa
  al ascensor en el momento del choque

38
(No Transcript)
39
(No Transcript)
40
MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS Movimiento
dependiente

• La posición de una partícula puede depender de la
  posición de otra u otras partículas.
• En la figura la posición de B depende de la
  posición de A.
• Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une
  ambos bloques es constante se tiene

Debido a que sólo una de las coordenadas de
posición xA o xB puede elegirse arbitrariamente
el sistema posee un grado de libertad
41
MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS Movimiento
dependiente

• Aquí la posición de una partícula depende de dos
  posiciones más.
• En la figura la posición de B depende de la
  posición de A y de C
• Debido a que la longitud del cable que une a los
  bloques es constante se tiene

Como solo es posible elegir dos de las
coordenadas, decimos que el sistema posee DOS
grados de libertad
42
Ejemplo 06

• El collar A y el bloque B están enlazados como se
  muestra en la figura mediante una cuerda que pasa
  a través de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E
  son fijas mientras que la polea D se mueve hacia
  abajo con una velocidad constante de 3 pul/s.
  Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde
  el reposo cuando t 0 y alcanza la velocidad de
  12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la
  variación de altura, la velocidad y la
  aceleración del bloque B cuando el collar pasa
  por L

43
Solución

• Se analiza en primer lugar el movimiento de A.
• El collar A tiene un MRUV, entonces se determina
  la aceleración y el tiempo

44
Solución
45
Solución
46
Ejemplo 07

• La caja C está siendo levantada moviendo el
  rodillo A hacia abajo con una velocidad constante
  de vA 4m/s a lo largo de la guía. Determine la
  velocidad y la aceleración de la caja en el
  instante en que s 1 m . Cuando el rodillo está
  en B la caja se apoya sobre el piso.

47
Solución

• La relación de posiciones se determina teniendo
  en cuenta que la longitud del cable que une al
  bloque y el rodillo no varia.
• Cuando s 1 m, la posición de la caja C será
• Se determina ahora la posición xA, cuando s 1 m

48
Solución

• La velocidad se determina derivando la relación
  entre las posiciones con respecto al tiempo
• La aceleración será

49
Ejemplo 08

• El sistema representado parte del reposo y cada
  componente se mueve a aceleración constante. Si
  la aceleración relativa del bloque C respecto al
  collar B es 60 mm/s2 hacia arriba y la
  aceleración relativa del bloque D respecto al
  bloque A es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle (a) la
  aceleración del bloque C al cabo de 3 s, (b) el
  cambio de posición del bloque D al cabo de 5 s

50
Ejemplo 09

• Un hombre en A está sosteniendo una caja S como
  se muestra en la figura, caminando hacia la
  derecha con una velocidad constante de 0,5 m/s.
  Determine la velocidad y la aceleración cuando
  llega al punto E. La cuerda es de 30 m de
  longitud y pasa por una pequeña polea D.

51
Resolución gráfica de problemas en el movimiento
rectilíneo

• La velocidad y la aceleración en el movimiento
  rectilíneo están dadas por las ecuaciones,
• La primera ecuación expresa que la velocidad
  instantánea es igual a la pendiente de la curva
  en dicho instante.
• La segunda ecuación expresa que la aceleración es
  igual a la pendiente de la curva v-t en dicho
  instante

52
Resolución gráfica de problemas en el movimiento
rectilíneo

• Integrando la ecuación de la velocidad tenemos
• El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es
  igual al desplazamiento neto durante este
  intervalo de tiempo
• El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es
  igual al cambio neto de velocidades durante este
  intervalo de tiempo

53
Otros métodos gráficos
54
Otros métodos gráficos
55
EJEMPLO 10

• Un ciclista se mueve en línea recta tal que su
  posición es descrita mediante la gráfica
  mostrada. Construir la gráfica v-t y a-t para el
  intervalo de tiempo 0 t 30 s

56
EJEMPLO 11

• Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a
  lo largo de una línea recta acelerando a razón
  constante durante 10 s. Posteriormente desacelera
  a una razón constante hasta detenerse. Trazar las
  gráficas v-t y s-t y determinar el tiempo t que
  emplea en detenerse

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Solución Grafica v - t

• La gráfica velocidad-tiempo puede ser
  determinada mediante integración de los segmentos
  de recta de la gráfica a-t. Usando la condición
  inicial v 0 cuando t 0
• Cuando t 10 s, v 100 m/s usando esto como
  condición inicial para el siguiente tramo se
  tiene

Cuando t t, la velocidad nuevamente es cero
por tanto se tiene 0 -2t
120 t 60 s
58
Solución Grafica s - t

• La gráfica posición-tiempo puede ser determinada
  mediante integración de los segmentos de recta de
  la gráfica v-t. Usando la condición inicial s
  0 cuando t 0
• Cuando t 10 s, S 500 m usando esto como
  condición inicial para el siguiente tramo se
  tiene

Cuando t t, la posición S 3000 m
59
Ejemplo 12

• La gráfica v-t, que describe el movimiento de un
  motociclista que se mueve en línea recta es el
  mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s
  del movimiento y determinar el tiempo que
  requiere el motociclista para alcanzar la
  posición S 120 m

60
Solución

• Grafico a-s.
• Debido a que las ecuaciones de los segmentos de
  la gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser
  determinada usando la ecuación dv a ds

61
Solución

• Calculo del tiempo.
• El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la
  ecuación v ds/dt. Para el primer tramo
  de movimiento, s 0, t 0
• Cuando s 60 m, t 8,05 s

62
Solución

• Calculo del tiempo.
• Para el segundo tramo de movimiento
• Cuando S 120 m, t 12 s

63
Ejemplo 13

• Una partícula parte del reposo y se mueve
  describiendo una línea recta, su aceleración de 5
  m/s2 dirigida hacia la derecha permanece
  invariable durante 12 s. A continuación la
  aceleración adquiere un valor constante diferente
  tal que el desplazamiento total es 180 m hacia la
  derecha y la distancia total recorrida es de 780
  m. Determine (a) la aceleración durante el
  segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo
  total de tiempo.

64
Solución

• En la figura se muestra el gráfico
  velocidad-tiempo , ya que a constante.
• La distancia total es la suma de las áreas en
  valor absoluto

Como la aceleración es la pendiente de la curva
v-t, tenemos
65
Solución

• El desplazamiento viene expresado por

Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta
La aceleración en el segundo intervalo tiempo es
66
Solución

Se determina ?t3
Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene
El intervalo total de tiempo será
67
Ejemplo 14

• Un cuerpo se mueve en línea recta con una
  velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con
  el desplazamiento entre los puntos A y B los
  cuales están separados 90 m tal como se indica.
  Determine el desplazamiento ?x del cuerpo durante
  los dos últimos segundos antes de llegar a B.

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Poblemas propuestos

• 1. El movimiento de una partícula se define por
  la relación donde x se expresa
  en metros y t en segundos. Determine el tiempo,
  la posición y la aceleración cuando la velocidad
  es nula.
• 2. El movimiento de una partícula se define
  mediante la relación donde x se
  expresa en pies y t en segundos. Determine (a)
  el tiempo en el cual la velocidad es cero, (b) La
  posición y la distancia total recorrida cuando
  t 8 s

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Problemas propuestos

• 3. La aceleración de una partícula se define
  mediante la relación .
  La partícula parte de x 25 pulg en t 0 con v
  0. Determine (a) el tiempo en el cual la
  velocidad de nuevo es cero (b) la posición y la
  velocidad cuando t 5 s, (c) La distancia total
  recorrida por la partícula desde t 0 a t 5 s.
• 4. La aceleración de una partícula está definida
  por la relación a -3v, con a expresada en m/s2
  y v en m/s. Sabiendo que para t 0 la velocidad
  es 60 m/s, determine (a) la distancia que la
  partícula viajará antes de detenerse, (b) el
  tiempo necesario para que la partícula se reduzca
  al1 de su valor inicial

70
Problemas propuestos

• 6. Los collares A y B deslizan a lo largo de las
  barrar fija que forman un ángulo recto y están
  conectadas por un cordón de longitud L. Determine
  la aceleración ax del collar B como una función
  de y si el collar A se mueve con una velocidad
  constante hacia arriba vA

• 5. El bloque A tiene una velocidad de 3,6 m/s
  hacia la derecha. Determine la velocidad del
  cilindro B

71
Problemas propuestos

• 7. Una partícula que se mueve a lo largo del eje
  x con aceleración constante , tiene una velocidad
  de 1,5 m/s en el sentido negativo de las x para t
  0, cuando su coordenada x es 1,2 m. tres
  segundos más tarde el punto material pasa por el
  origen en el sentido positivo. Hasta qué
  coordenada negativa se ha desplazado dicha
  partícula?.

• 8. Determine la rapidez vP a la cual el punto P
  localizado sobre el cable debe viajar hacia el
  motor M para levantar la plataforma A a razón de
  vA 2 m/s.

72
Problemas propuestos

• 9. Determine la velocidad del bloque A si el
  bloque B tiene una velocidad de 2 m/s hacia
  arriba

• 10. Determine la velocidad del bloque A si el
  bloque B tiene una velocidad de 2 m/s hacia
  arriba

73
Problemas propuestos

• 10. Determine la velocidad con la cual el bloque
  asciende si el extremo del cable en A es halado
  hacia abajo con velocidad de 2 m/s hacia abajo

• 11.

74
Problemas propuestos

• Para levantar el embalaje mostrado mediante el
  aparejo se usa un tractor. Si el tractor avanza
  con una velocidad vA. Determine una expresión
  para la velocidad ascendente vB del embalaje en
  función de x. Desprecie la pequeña distancia
  entre el tractor y su polea de modo que ambos
  tengan la misma velocidad.

75
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• Se dice que una partícula tiene un movimiento
  curvilíneo cuando su trayectoria descrita esta es
  una línea curva.

76
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• Vector Posición Es aquel vector dirigido desde
  el origen de un sistema coordenado hacia el punto
  de ubicación instantánea P la partícula. Se
  representa por r r(t).

77
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• 2. Vector Desplazamiento Supongamos ahora que
  la partícula se mueve durante un pequeño
  intervalo de tiempo ?t hasta el punto P,
  entonces su posición será r (t ?). El
  desplazamiento es vector dirigido desde P a P y
  se expresa

78
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• 3. Velocidad Media Cuando la partícula se mueve
  de P a P experimenta un desplazamiento ?r en un
  intervalo de tiempo ?t. la velocidad media se
  define como

La velocidad media es un vector que tiene la
misma dirección que el desplazamiento es decir es
secante a la curva. La velocidad media depende
del intervalo de tiempo.
79
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• 4. Velocidad Instantánea Si el intervalo de
  tiempo se hace cada ves más pequeño (?t?0), el
  desplazamiento también tiende a cero. Llevando al
  límite la velocidad media se obtiene la velocidad
  instantánea. Es decir.

La velocidad instantánea es un vector tangente a
la trayectoria.
80
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• 3. Velocidad Instantánea
• Multiplicando y dividiendo la expresión
  anterior por la longitud del arco ?s acrPQ,
  obtenemos

A medida que Q se acerca a P la magnitud de ?r se
aproxima a ?s, entonces se tiene Además se
tiene
81
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• 5. Aceleración media En la figura se observa
  las velocidades instantáneas de la partícula en P
  y Q. El cambio de velocidades durante ?t es ?v.
  La aceleración media es el cambio de velocidades
  en el intervalo de tiempo. Es decir

La aceleración media es un vector paralelo a ?v y
también depende de la duración del intervalo de
tiempo
82
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• 3. Aceleración media En la figura se observa
  las velocidades instantáneas de la partícula en P
  y Q. El cambio de velocidades durante ?t es ?v.
  La aceleración media es el cambio de velocidades
  en el intervalo de tiempo. Es decir

La aceleración media es un vector paralelo a ?v y
también depende de la duración del intervalo de
tiempo
83
MOVIMIENTO CURVILÍNEO

• 6. Aceleración instantánea Se obtiene llevando
  al límite la aceleración media es decir haciendo
  cada ves mas y mas pequeños los intervalos de
  tiempo

La aceleración instantánea es un vector que tiene
misma dirección que el cambio instantáneo de la
velocidad es decir apunta hacia la concavidad de
la curva
84
(No Transcript)
85
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN

• 1. POSICIÓN. La posición instantánea de una
  partícula en componentes x, y, z es

Las coordenadas x, y, z son funciones del tiempo
x f(t), y f(t), z f(t)
La magnitud del vector de posición será
86
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN

• 2. Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P
  a P en un intervalo de tiempo ?t. El
  desplazamiento está dado por

87
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN

• 3. Velocidad media. Si una partícula se mueve de
  P a P experimenta un desplazamiento ?r en un
  intervalo de tiempo ?t. La velocidad media será

Es un vector secante a la trayectoria
88
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN

• 4. Velocidad instantánea. Se obtiene llevando al
  límite cuando ?t ? 0, la velocidad media es decir

Es un vector tangente a la curva y tiene una
magnitud definida por
89
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN

• 5. Aceleración media. Cuando la partícula cambia
  de posición su velocidad tambien cambia. Entonces
  la aceleración media será

Es un vector que se encuentra dirigido a lo largo
del cambio de velocidades
90
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN

• 5. Aceleración instantanea. Se obtiene llevando
  al límite la aceleración media.

Es un vector que se encuentra dirigido hacia la
concavidad de la curva y su magnitud es
91
Ejemplo

• En cualquier instante la posición horizontal del
  globo meteorológico está definida por x (9t) m,
  donde t es el segundo. Si la ecuación de la
  trayectoria es y xª/30, donde a 2 Determinar
  la distancia del globo a la estación A, la
  magnitud y la dirección de la velocidad y de la
  aceleración cuando t 2 s

92
Ejemplo

• El movimiento de la caja B está definida por el
  vector de posición
• donde t esta en segundos y el argumento para el
  seno y el coseno está en radianes. Determine la
  localización de la caja cuando t 0,75 s y la
  magnitud de su velocidad y aceleración en este
  instante

93
Ejemplo

• Los movimientos x e y de las guías A y B, cuyas
  ranuras forman un ángulo recto, controlan el
  movimiento del pasador de enlace P, que resbala
  por ambas ranuras. Durante un corto intervalo de
  tiempo esos movimientos están regidos por
• donde x e y están en milímetros y t en
  segundos. Calcular los módulos de las velocidad y
  de la aceleración a del pasador para t 2 s.
  esquematizar la forma de la trayectoria e indicar
  su curvatura en ese instante.

94
MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO

• Es aquel movimiento que se realiza en un solo
  plano.

95
MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Es caso mas simple del movimiento plano, en el
  cual ax 0 y ay - g .9,81 m/s2. En la
  figura se muestra este movimiento y su
  trayectoria

96
MOVIMIENTO PARABÓLICO Hipótesis

• Para analizar este movimiento se usa las
  siguientes hipótesis
• (a) El alcance del proyectil es suficientemente
  pequeño como para poder despreciar la curvatura
  de la superficie terrestre (la aceleración
  gravitatoria g es normal a dicha superficie)
• (b) La altura que alcanza el proyectil es
  suficientemente pequeña como para poder
  despreciar la variación del campo gravitatorio
  (aceleración de la gravedad) terrestre con la
  altura
• (c) La velocidad del proyectil es suficientemente
  pequeña como para poder despreciar la resistencia
  que presenta el aire al movimiento del proyectil
  y
• (d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación
  de la Tierra que, como veremos más adelante,
  tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de
  su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar
  en el hemisferio Norte.

97
MOVIMIENTO PARABÓLICO ecuaciones

• Movimiento horizontal. Debido a que ax 0

98
MOVIMIENTO PARABÓLICO ecuaciones

• Movimiento vertical Debido a que ay - g
  -9,81 m/s2

99
Ejemplo

• Un saco desliza por una rampa saliendo de su
  extremo con una velcoidad de 12 m/s. Si la altura
  de la rampa es 6 m desde el piso. Determine el
  tiempo necesario para que saco impacte contra el
  piso y la distancia horizontal R que avanza

100
Ejemplo
La máquina de picar está diseñada para extraer
madera en trozos y lanzarlos con una velocidad vo
7,5 m / s. Si el tubo se orienta a 30 respecto
a la horizontal como se muestra en la figura,
determinar qué tan alto se apilarán los trozos de
madera, si la distancia del apilamiento a la
salida es 6 m
101
Ejemplo
La pista de carreras de este evento fue diseñado
para que los pilotos puedan saltar de la
pendiente de 30 , desde una altura de 1m.
Durante la carrera, se observó que el conductor
permaneció en el aire de 1,5 s. determine la
velocidad de salida de la pendiente, la distancia
horizontal alcanzada y la altura máxima que se
eleva el piloto y su moto. Desprecie el tamaño de
ambos.