Presentacin de PowerPoint

1

A ciencia cierta El azar y el saber desde el
fin del mundo Servet Martínez Universidad de
CHILE Casa de América de Madrid España 19 Abril
2007 http//www.dim.uchile.cl/random/
2
Elementos sobre el desarrollo científico en Chile

• La comunidad científica nacional es pequeña pero
  con un gran impacto. Ella se duplicó en los
  últimos 10 años, el número de artículos ISI se
  duplicó y aumentó en impacto y la formación de
  doctorados se cuadriplico en el período.

Distribución por Areas de Científicos Activos La
distribución es biomedicina (22), biología
(19), química (11,6), física (8,9), agronomía
(8,5), ciencias ambientales (7,3), matemáticas
(7,5), ciencias del mar (7,2), ciencias de la
tierra (6,6) y astronomía (1,9).
3
Estudio Academia Chilena de Ciencias
publicaciones y patentes
Matemáticas

Impacto de publicaciones en período 1993-2003
5
4,07
3,93
4
3,34
3,15
3,12
3,07
3,02
2,76
2,70
2,67
3
2,38
2,40
2,30
2,24
2,26
2,26
1,69
2
1
0
UK
USA
CHILE
SPAIN
ISRAEL
JAPAN
MEXICO
BRAZIL
FRANCE
CANADA
GERMANY
ARGENTINA
AUSTRALIA
NEW ZEALAND
LATIN AMERICA
EUROPEAN UNION
ASIA PACIFIC(WO JAPAN)
4
ESSENTIAL SCIENCE INDICATORSPOWERED BY ISI WEB
OF KNOWLEDGE

• Country/Territory Rankings in Mathematics
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• Sorted by Citations per Paper

5
Nuestro grupo de probabilidades en el Centro de
Modelamiento Matemático de la Universidad de
Chile Joaquín Fontbona, Alejandro Maass, Jaime
San Martín,
PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS y PROBREMA DE
COLECCIONISTA DE ALBÚM
Cuál es la probabilidad para que entre n
personas, haya al menos dos de ellas que cumplan
años el mismo día?
Sean
independientes uniformes en 1, 2,..., 365
Sea N el más pequeño tal que
6
Movimiento Browniano en el Plano evitando un
obstáculo acotado
y
x
Pierre Collet
Núcleo del Calor en el Dominio
7
GENOMICA
Zonas codificantes y zonas no-codificantes tiene
distintas estructuras de memoria
8
Distribución Granulométrica de Rocas en
CanteraEnergía de Fragmentación
9

• PREHISTORIA
• Los Juegos de azar pueden haber sido una de las
  primeras invenciones del ser humano viviendo en
  sociedad.
• Se especula que desde los tiempos del neolítico
  habrían huesos tallados que permiten obtener
  resultados equilibrados (como en los dados), y
  que no serían herramientas útiles, solo
  servirían para jugar (adivinación?).
• HISTORIA
• En tiempo de los egipcios ya se producen dados
  muy bien pulidos y equilibrados.

10
UNA HISTORIA Una historia sorprendente aparece
en el gran relato épico indio Mahábharata es la
historia de Nala. Kali, un semidiós se enfurece
cuando Nala gana en un juego de dados la mano de
una princesa, y en castigo Kali toma posesión del
cuerpo y alma de Nala y en una apuesta Nala
pierde su reino y vaga demente por años.
Posteriormente trabaja para un potentado,
Rtuparna, quien queda admirado de que Nala sepa
estimar el número de hojas y frutos de un árbol,
tan sólo examinando una pequeña parte. El lo
ayuda a recuperar su reino, lo que consigue Nala
en un nuevo juego de dados. El relacionar
las apuestas con la estimación no se haría en
Europa sino a partir del siglo XVII. Ian
Hacking, The Emergence of Probability, Cambridge
U.P. 1975
11
PARADOJAS Dilema del Prisionero
O
A
B
Uno de los tres prisioneros será condenado a
muerte y los otros dos serán liberados.
12
0 A B Caso 1 M L L Caso 2 L M
L Caso 3 L L M
Probabilidad (0 Muere)1/3
Información Un guardia le dice a 0 que B se
salva.
Cual es la Probabilidad que 0 muera?
13
La selección del guardia, que llamaremos Y se
hace así YB si A muere YA si B muere Si
A y B se salvan se tira una moneda y se elige A
ó B con probabilidad 1/2. Luego Probabilidad
YB1/2 Prob 0 muere, YB Prob 0 muere
Prob YB / 0 muera Prob 0 muere
ProbYB Deducción Probabilidad 0 muera /
YB Probabilidad 0 muera1/3 Probabilidad A
muera / YB 2/3 Luego a 0 no le conviene
intercambiar su suerte con A.
14
Paradoja del Tiempo de Espera DIVISIÓN DE UN ARO
0
El casino elige un punto. Se divide el aro en
dos partes, el casino se queda con la parte que
contiene el 0. Gana quien tenga la parte del aro
más grande.
15

A
A
0
0
B
B
Pierde Casino
Gana Casino
16
EXPLICACION GEOMÉTRICA
A
A
0
0
B
A
A
B
0
0
B
Gana Casino
Pierde Casino
17
EXPLICACIÓN PROBABILISTA
Como esto no depende de la posición de 0, podemos
seleccionar 0 aleatoriamente después de
seleccionar A y B, por lo que 0 tendrá mayor
probabilidad de permanecer a intervalo más largo.
A
A
O
O
B
B
18
Paradoja de San Peterburgo
El Casino paga 2n si sale cara por primera vez
en la n-ésima tirada.
Cuánto esta dispuesto a pagar el jugador por
entrar al juego?
Sea X la ganancia. Su valor esperado, o media
teórica, es
(pues la probabilidad de que salga cara por
primera vez en la n-ésima tirada es 1/2n )
Sin embargo el jugador esta en general dispuesto
a pagar una cantidad modesta, que depende de su
propensión al riesgo.
19
SIGLOS XVII, XVIII GRANDES NÚMEROS Apuestas
sobre duración de vida de personajes. Resolución
de problemas prácticos ligadas a tablas de
mortalidad. Esperanza de vida seguros. En
general si Xn son variables independientes con
igual ley se cumple la ley de grandes números
Jacques Bernoulli 1654 - 1705
E(X)Esperanza de X o media Teórica.
20
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL ERRORES
Xn independientes Xn 1 con proba p Xn 0 con
proba 1-p
Pierre-Simon Laplace 1749 -1827
Johann Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855
21
CAMPANA DE GAUSS
f(x)
 
x
Área
22
NACIMIENTO DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES
Hay dos jugadores. El total de lo apostado es
ganado por el jugador que gana por primera vez N
juegos. Supongamos que el primer jugador ha
ganado k juegos y el segundo j juegos y se
interrumpe la partida Cómo debe dividirse el
total entre ambos jugadores?
Blaise Pascal 1623 - 1662
23
SOLUCIÓN DE PASCAL
x
2N
k-j
t
kj
2N
-2N
Proba (ganar)
Proba (perder)1-Proba (ganar)
24
MOVIMIENTO BROWNIANO
(normalización del paseo aleatorio en tiempo y
espacio)

Norbert Wiener 1894-1964
Trayectorias continuas
25
ORIGEN DEL AZAR Las probabilidades son la
ciencia de la incertidumbre, cuyo origen se
encuentra en Equilibrio inestable (Dado)
Sensibilidad a las condiciones iniciales (Dado,
Ruleta)
26
Complejidad de las causas mezcla (de cartas por
ejemplo).
Mezcla café y leche
Al abrirse compuerta el gas tiende a repartirse
al azar en todo el receptáculo.
27
Lema Recurrencia Poincaré
si medida A gt0.
HIPOTESIS ERGÓDICA
Henri Poincaré 1854-1912
Media Temporal
Media Espacial
Teorema de Von Neumann-Birkhoff la hipotesis
ergódica se verifica si no hay conjuntos
invariantes.
John von Neumann
1903-1957
28
INFORMACIÓN Y ENTROPÍA
Cinta
Es 0 ó 1
Información depende de las unidades de bits. Si
el mensaje es elegido de entre n mensajes
equiprobables, la información será I(n). Si
tengo dos mensajes independientes, uno elegido de
entre n mensajes y otro de entre m mensajes, la
información es I(n)I(m). Si I(n) crece con n se
deduce I(n) log2 n. Luego la información es el
número de bits con que se escribe un mensaje (2
mensajes caben en 1 bit 0 ó 1). Así I(2n)n.
29
Luego la entropía, que es la media de información
de un experimento será log2 n pues todos tienen
igual información. En general si se elige un
mensaje, siendo que el mensaje i tiene
probabilidad pi, la información es log 1/ pi y
la entropía de Shannon es
La que fue utilizada en sistemas dinamicos por
Andrey Kolmogorov, 1903 - 1987
H(p) log2 n, luego la entropía se maximiza si
las probabilidades son iguales pi 1/n, i1,...n.
30
PROBLEMAS QUE NO HEMOS TRATADO Probabilidades en
Ciencias Sociales Probabilidades
Subjetivas. Ejemplo Apuestas en Carreras de
Caballos.
Por una cabeza De un noble potrillo Que justo en
la raya Afloja al llegar.
Y que al regresar Parece decir No olvides,
hermano, Vos sabes no hay que jugar.
Basta de carrera Se acabo la timba, Un final
reñido Yo no vuelvo a ver.
Carlos Gardel. 1890 - 1935
Pero si algún pingo Llega a ser fija el
domingo Yo me juego entero que le voy a hacer
Extracto de Por una Cabeza (Tango de C.
Gardel y A. Lepera)