lgebra y Gentica Cursillo

1
Álgebra y GenéticaCursillo
La falta de relación entre la Matemática y la
Biología es o una tragedia o un escándalo o un
reto, es difícil decidir cual de las tres Gian
Carlo Rota

• Dr. Jesús Hernando Pérez
• Universidad Sergio Arboleda
• Stefany Moreno
• Instituto Alberto Merani

• XVI Encuentro de Geometría y IV de Aritmética
• 23 a 25 de Junio de 2005

2
Biomatemática

• La Biomatemática es la ciencia mediante la cual
  se analiza un fenómeno biológico desde los
  modelos matemáticos, y se obtienen modelos
  matemáticos a partir de fenómenos biológicos.
• La Sucesión de Fibonacci.

3
Contenido del Cursillo

• Primera Parte
• Introducción al Cursillo.
• Tema La Estructura Algebraica de la Herencia
  Genética.
• Segunda Parte
• Tema El Código Genético como un Álgebra de
  Codones.
• Conclusiones Generales del Cursillo.

4
Proyecto en proceso

• Modelo Hawk Dove.
• Condiciones Generales
• Dos individuos (especies) compiten por un
  recurso.
• Los individuos son de dos tipos Hawk (Halcón) o
  Dove (Palomas).
• Se utiliza el Modelo Hawk - Dove de la Teoría de
  Juegos en el cual los dos individuos son los
  jugadores.
• Corroboración Experimental con larvas de Ischnura
  elegans (Odonato).

5
PRIMERA PARTE
6
Conceptos Biológicos Necesarios

• Gen Es la unidad fundamental de la herencia cuya
  existencia se puede confirmar por variantes
  alélicas y que ocupa un locus cromosómico
  concreto.
• Cromosoma Molécula de DNA, RNA y proteínas que
  forma una estructura filamentosa donde se
  encuentra la información genética en una
  secuencia lineal.

7
(No Transcript)
8
(No Transcript)
9
Conceptos Biológicos Necesarios

• Alelos Uno de los posibles estados de un gen,
  diferente de otros alelos por sus efectos
  fenotípicos.
• Diploidía Doble dotación cromosómica (2n) en la
  cual los cromosomas se hallan en parejas.

10
Conceptos Biológicos Necesarios

• Haploidía Dotación cromosómica simple (n).
• Meiosis Proceso de división celular en el cual
  de una sola célula diploide (2n) se pasa a cuatro
  haploides (n).

11
Conceptos Biológicos Necesarios

• Gameto Célula reproductora Haploide (n) cuyo
  núcleo se fusiona con otra (n).
• Zigoto La célula diploide (2n) que resulta de la
  fusión de los gametos masculinos y femeninos.

12
(No Transcript)
13
Conceptos Biológicos Necesarios

• Homozigotos Organismo diploide (2n) que lleva
  alelos idénticos en uno o más loci genéticos.
• Heterozigotos Organismo diploide que lleva dos
  alelos diferentes en uno o más loci genéticos.

14
(No Transcript)
15
Conceptos Biológicos Necesarios

• Genotipo La constitución genética de un
  individuo.
• Fenotipo Características observables de un
  individuo.

16
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Un conjunto G es un grupo si tiene una operación
  (se nota (G,)) tal que
• 1. Para a, b, c ? G
• a (b c) (a b) c.
• 2. Existe un e ? G tal que para todo a ? G
• e a a e a.
• 3. Para todo a ? G existe un a-1 tal que
• a (-a) (-a) a e.
• 4. Si es conmutativa se dirá que el grupo es
  abeliano.

17
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Un conjunto A es un anillo si tiene dos
  operaciones , (se nota
• (A, , ) ) las cuáles cumplen lo siguiente
  
• 1. (A ,) es un grupo abeliano.
• 2. Para a, b, c ? G
• a (b c) (a b) (a c).
• (b c) a b a c a

18
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Dado un grupo G y un subconjunto H de G, se dice
  que H es un subgrupo de G si
• e ? H (El neutro de G es neutro de H)
• Para a, b ? H, a b ? H.
• Para a ? H, (-a) ? H.
• Dado un anillo A y un subconjunto R de A, se dice
  que R es un subanillo de A si
• R es un subgrupo de (A,)
• Para a, b ? R, a b ? R

19
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Para dos subconjuntos A y B de un anillo M, AB
  esta definido como
• ab a ? A y b ? B
• Si A es un subconjunto de un anillo M, ltAgt es el
  subanillo más pequeño que contiene al conjunto A.
  

20
Potencias Principales

• Para un anillo C, un x ? C y un subanillo U de C
  las potencias principales están definidas
  inductivamente como
• x1 x.
• U1 U
• xi xi-1 x i ? N.
• Ui ltUi-1Ugt i ? N.
• Una población Pi representa el cruce entre Pi-1 y
  P.

21
Potencias Enteras

• Para un anillo C, un x ? C y un subanillo U de C
  las potencias enteras están definidas
  inductivamente como
• x1 x.
• U1 U
• xi xi-1 xi-1 i ? N.
• Ui ltUI-1 UI-1gt i ? N.
• Una población Pi representa el cruce entre
  PI-1 y PI-1 .

22
Potencias Enteras y Principales

• Ejemplos
• x4 x3 x (x2 x) x ((x x) x) x
• x4 x3 x3 (x2 x2 )(x2 x2 )
• ((x x)(x x)) ((x x)(x x)).

23
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Un anillo (C, , ) es un cuerpo si satisface
  además las siguientes propiedades
• Es un Anillo en el cual la operación tiene un
  elemento unidad (notado como 1), es conmutativa y
  asociativa.
• Para todo a ? C, a ? 0, existe un a-1 tal que
• a a-1 a-1 a 1.

24
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Si R es un anillo, un R-módulo M es un grupo
  abeliano junto con una operación
• que satisface las siguientes propiedades
• a (b x) (a b) x
• a (x y) a x a y
• 1 x x (Si el anillo tiene unidad)
• (a b) x a x b x
• Para todo a, b ? R y todo x, y ? M.

25
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Si R es un anillo, una R-álgebra es un R módulo
  A, tal que A es también un anillo y satisface la
  siguiente propiedad
• (a x) y a (x y) x (a y)
• para todo a ? R y todo x, y ? A.

26
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Un Homomorfismo entre grupos es una función f de
  un grupo A en un grupo B para la cual
• f (a b) f (a) f (b),
• con a, b ? A

27
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo B es
  inyectivo si
• f(a) f(b) implica que a b.
• ? a,b ? A.
• Un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo B es
  sobreyectivo si ? b ? B existe un a ? A tal que
  f(a) b.
• Un Homomorfismo es un isomorfismo si es inyectivo
  y sobreyectivo.

28
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Para un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo
  B el núcleo (Kernel) esta definido como el
  siguiente subgrupo
• Ker (f) a ? A f(a) e, donde e es el
  elemento neutro de B.
• Para un anillo A, un elemento a ? A es nilpotente
  si an 0 (Potencias Principales) para algún n ?
  Z (El menor n que cumple esta condición se
  denomina el índice de a) Para B subanillo de A,
  decimos que B es nilpotente si existe n ? N tal
  que el producto de cualesquiera n elementos de B
  es igual a 0.

29
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Idempotentes
• Para un anillo A y un m ? A, m ? 0, m es
  idempotente si m2 m.
• Un subconjunto P de un anillo es idempotente si P
  P P.
• Genéticamente, esto ultimo se interpreta como una
  población que independientemente de sus
  características genotípicas es estable.

30
Conceptos Matemáticos Necesarios

• Dado un Modulo W, un submòdulo H de W, es un
  subconjunto cerrado para las operaciones de W.
• Si W1 y W2 son submódulos de un módulo W se
  define la suma interna como
• W1 W2 w1 w2 wi ? Wi
• Si W1 W2 W, y si W1 n W2 0, W se dice que
  es la suma directa de W1 con W2 y se escribe W
  W1 ? W2

31
Álgebras con Realización Genética

• Álgebras Gaméticas.
• Álgebras Zigóticas.

32
Tabla para un álgebra gamética
a
A
A
A
½(Aa)
a
½(Aa)
a
33
Tabla para un álgebra zigótica
AA
Aa
aa
AA
AA
½(AAAa)
Aa
Aa
½(AAAa)
¼AA½Aa¼aa
½(Aaaa)
½(Aaaa)
aa
aa
Aa
34
Carácter No Asociativo de la Herencia Genética

• (P x Q) x R P x (Q x R)
• Ejemplo
• A x (A x a) ¾A ¼a
• (A x A) x a ½ A ½a
• Los elementos del Álgebra son sumas de la forma
• w AA y Aa z aa

35
Álgebras Gaméticas

• Población con n alelos a1,a2,...,an .
• n
• aiaj ? cijkak
• K1
• Tal que
• 0 cijk 1 i,j,k 1,...,n
• n
• ? cijk 1 i,j 1,...,n
• K1
• cijk cjik i,j,k 1,...,n

36
Álgebras Zigóticas

• n
• aijapq ? cij,pq,ksaks
• K s
• Tal que
• 0 cij,pq,ks 1 i,j,k,p,q,s 1,...,n
• n
• ? cij,pq,ks 1 i,j,p,q 1,...,n
• K1
• cij,pq,ks cpq,ij,ks i,j,k,p,q,s 1,...,n

37
Álgebras con Realización Genética (Generalización)

• Supongamos que A es un álgebra sobre R de
  dimensión n.
• a1,a2,...,an una base de A sobre R.
• aiaj ? cijkak
• K1
• Tales que

0 cijk 1 i,j,k 1,...,n n ? cijk 1
i,j 1,...,n K1
38
Álgebras Báricas

• Un álgebra A sobre un campo k es un álgebra
  bárica si admite un homomorfismo no trivial w A?
  k.
• w es llamado el homomorfismo de peso o la función
  bárica.
• En algunos casos w no es único.

39
Álgebras Báricas

• Teorema 1. Tomemos A como una álgebra n-
  dimensional con realización genética sobre R.
  Entonces A es un álgebra bárica.

40
Álgebras Báricas

• Tiene solo un homomorfismo de peso un álgebra
  bárica?

a2
a1
a3
a1
a1a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a3
a2
a2a3
a2
41
Álgebras Báricas

• w1 A ? R
• w1(a1)1 y w1(a2)w1(a3)0
• w2 A ? R
• w2(a3)1 y w2(a1)w2(a2)0

42
Potencias Enteras y Principales

• Teorema 2 Tomemos A un álgebra bárica sobre un
  campo k, con función de peso w. Si N Ker w es
  nilpotente, entonces w es único.

43
Idempotentes

• Teorema 3. Tomemos A un álgebra bárica sobre un
  campo k con función de peso w. Supongamos que A
  contiene un idempotente e tal que w(e)1.
  Entonces,
• A ke ? Ker w.

44
T - álgebras

• Tomemos A un álgebra bárica sobre un campo k.
  Tomemos a1,a2,..,an una base de A. Existe un
  polinomio llamado el rango polinomial que anula
  todos los elementos de A
• f(x) xr ?1xr-1 ?2xr-2... ?r-1x.
• Donde ?p es un polinomio homogéneo de grado p en
  las coordenadas ei para x ?ni1 eiai

45
T - álgebras

• Rango Polinomial --- Relevancia Genética.
• Tomemos A un álgebra bárica con función de peso w
  y rango polinomial f(x) xr ?1xr-1 ?2xr-2...
  ?r-1x. A es una T-Álgebra de rango r si los
  coeficientes ?p del rango polinomial de A son
  funciones de w(x).

46
T - álgebras

• Teorema 4. Tomemos A una T-Álgebra de rango r con
  función de peso w A? k. Entonces todo elemento
  en N Ker w es nilpotente de un índice menor o
  igual que r.
• Corolario. Una T-Álgebra tiene una única función
  de peso.

47
T-Álgebras Especiales

• Una Álgebra bárica con función de peso w es
  llamada T-Álgebra Especial si N Kerw es
  nilpotente

48
Aplicaciones Autofertilización

• Autofertilización Es el poceso en el cual se
  forma un zigoto a partir de los gametos tanto
  femeninos como masculinos de un mismo individuo.
  En este caso corresponde a el cruce de una
  poblacion consigo misma.
• P wAAyAazaa
• w y z 1

49
Autofertilización

• P es un elemento de un álgebra zigotica con dos
  alelos. El interés esta cuando P se cruza con P
  reiteradamente.
• F1 P x P
• F1 w(AA x AA) y(Aa x Aa) z(aa x aa)
• wAA y(¼AA ½Aa¼aa) zaa
• (w ¼y) AA ½yAa (z ¼y) aa

50
Autofertilización

• Fn wn AA yn Aa znaa. ?
• Un Diferencia Genética de la población Fn con
  Fn-1, es decir , Un Fn Fn-1
• U1 F1 P, U2 F2 F1.
• Para el primer caso tendríamos
• U1 ¼y AA - ½yAa ¼y aa
• ½y (½AA Aa ½aa )

51
Autofertilización

• Para el segundo caso, como F2 F1 x F1,
  entonces
• F2 (w ?y)AA ¼yAa (z ?y) aa.
• U2 ?y AA - ¼yAa ?yaa
• ¼y (½AA Aa ½aa)
• Generalizando ...

52
Autofertilización

• Un ?2n y (½AA Aa ½aa).
• El total de diferencia genética de población en n
  generaciones será
• U1 U2... Un
• (½AA Aa ½aa)(½¼... ?2n)y
• y (1 - ?2n) (½AA Aa ½aa)

53
Autofertilización

• Fn w AA y Aa z aa Un
• (w ½y - ?2n1 y) AA ?2ny Aa (z ½y -
  ?2n1 y) aa.
• A medida que incrementa n, ?2n tiende a 0. Lo que
  indica que al hacer autofertilización
  reiteradamente los heterocigotos desaparecen.

54
SEGUNDA PARTE
55
Definiciones Biológicas

• ADN (Ácido Desoxirribunucleico) Es la molécula
  de la herencia que contiene toda la información
  genética del individuo.
• Nucleótidos Son los ladrillos que conforman la
  Estructura del ADN. Están Compuestos por un grupo
  fosfato, un azúcar (Desoxirribosa) y una Base
  Nitrogenada.

56
(No Transcript)
57
(No Transcript)
58
Definiciones Biológicas

• Las bases nitrogenadas pueden ser Purinas o
  Pirimidinas según la cantidad de anillos que
  tengan.
• Las Purinas tienen dos anillos (Son mas grandes)
  y son la Adenina (A) y la Guanina (G).
• Las Pirimidinas tienen un solo anillo (Son mas
  pequeñas) y son la Citosina (C) y el Uracilo (U).
  Esto se conoce como el tipo químico.

59
El Tipo Químico Purina o Pirimidina?
60
Definiciones Biológicas

• Codón Es un triplete de nucleótidos que codifica
  para un aminoácido. Varios aminoácidos unidos
  conforman una proteína.
• Mutación Es un error (No significa entonces que
  no pueda ser benefica) en la codificación de la
  proteína.

61
(No Transcript)
62
Grupo abeliano de cuatro elementos (bases)

• Axiomas
• La base que empieza necesita un mínimo de puentes
  de Hidrógeno
• La mayor diferencia entre un elemento y el
  siguiente es un criterio para hacer los arreglos.
• El Tipo químico causa la mayor diferencia entre
  bases.
• A, C, G, U y U, G, C,A

63
Grupos abelianos de cuatro elementos (bases)

• Z4 y V4.
• Carácter Cíclico. Es decir, que exista un
  elemento generador.
• Carácter de estabilidad para la molécula de ADN
• Por el carácter Cíclico elegimos a Z4

64
Grupos de cuatro elementos (bases)
Z4
V4
0
1
2
3
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
0
1
2
3
1
2
1
0
3
2
0
1
2
3
2
0
1
2
3
3
0
1
2
3
3
2
1
0
3
65
Grupos Cíclicos

• En Z4 tenemos que un elemento generador es el 1
• 2 1 1.
• 3 1 1 1.
• 0 1 1 1 1.
• 1 1 1 1 1 1.
• Otro generador es 3.

66
Grupos Cíclicos

• En V4 tenemos que ningún elemento es generador
  del grupo

• 0 0.
• 0 0 0

• 1 1
• 1 1 0

• 3 3
• 3 3 0

• 2 2
• 2 2 0

67
Grupo de cuatro elementos (bases)

• Tablas de Suma para los dos maneras de ordenar

A
C
G
U

U
G
C
A

A
A
C
G
U
U
U
G
C
A
C
A
C
G
U
G
U
G
C
A
G
A
C
G
U
C
U
G
C
A
U
A
C
G
U
A
U
G
C
A
68
(No Transcript)
69
(No Transcript)
70
Algoritmo para la Suma de Codones

• Las bases correspondientes a la tercer posición
  se suman de acuerdo a la tabla de suma.
• Si la base resultante está antes que las bases
  sumadas se lleva C (G en el caso de la dual)
• Luego se suman las primeras componentes (De
  acuerdo a la tabla) y si se cumple (2) se lleva C
  para la suma de las segundas posiciones.

71
Ejemplo

• Z2 x Z2 x Z2
• (0,0,0)
• (0,0,1)
• (1,0,0)
• (1,0,1)
• (0,1,0)
• (0,1,1)
• (1,1,0)
• (1,1,1)

• Z8
• 0
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7

72
Grupo de Codones

• Z4 x Z4 x Z4 Z64
• (Cg,)
• Grupo cíclico k(XYZ).
• Para todo u en Cg existe un k en Z64 tal que u
  k XYZ
• XYZ AAC o XYZ UUG
• u ? v k(XYZ) ? k(XYZ)
• k k (XYZ ? XYZ) k k (XYZ)

73
Generalización

• (Cg)n
• ((Cg)n,)
• Anillo((Cg),, ?) es isomorfo a ((Z64 ),, ?).
• Genoma
• G P1 ? P2 ? P3 ? ... ? Pm

74
Regularidades Importantes

• El Codón de inicio (AUG, metionina) es inverso a
  dos de los codones de parada (UAG, UAA).
• Los Codones Hidrofílicos son inversos a los
  codones Hidrofóbicos (simetria).
• Cuando dos codones codifican para el mismo
  aminoácido tienen la misma paridad.

75
Mutaciones en el VIH

• VIH es un virus que infecta a la célula y se
  reproduce a partir de ella.
• Existen unos Inhibidores de Proteasa (Enzima que
  usa el virus para introducir su material
  genético) cuyo objetivo es que el virus no se
  reproduzca en las otras células.
• Las Mutaciones en el material genético del VIH
  generan Resistencia Cruzada a dichos Inhibidores.
• Los Conceptos de Orden y Paridad son
  determinantes para establecer las mutaciones que
  generaran resistencia cruzada.

76
Orden
77
Orden y Paridad

• El orden de un elemento a en grupo abeliano G, es
  el mínimo m tal que, m veces a es 0. (Tabla
  anterior. Diapositiva 76)
• La paridad de un elemento a en el grupo Z64
  coincide con la paridad como elemento de Z (Par o
  Impar).
• En la siguiente tabla se muestran algunos casos
  de mutaciones en el VIH. Las mutaciones que están
  en negrilla aumentan el orden del codón inicial y
  las que están en cursiva cambian la paridad del
  codón inicial.

78
(No Transcript)
79
(No Transcript)
80
(No Transcript)
81
Regularidades Importantes

• Cuando el codon resultante de la mutación aumenta
  el orden del codon inicial la mutación genera
  resistencia cruzada.
• Cuando el codon resultante de la mutación cambia
  de paridad respecto al codon inicial la mutación
  genera resistencia cruzada.

82
Invitación

• La Matemática y la Biología son temas que aunque
  pareciesen distantes, están profundamente
  relacionados. El reto ahora es no solo relacionar
  el conocimiento que ya se tiene sino producir
  conocimiento a partir de dicha relación.

83
Bibliografía Básica

• AUBRY, GRÈGORIE. Algebraic Approach to Population
  Genetics, Ècole Polytechnique Fèdèrale de
  Lausanne, July 2001.
• ETHERINGTON I.M.H. Genetic Algebras. Proc. Roy.
  Soc. Edinburg 59 (1939) 242 258.

84
Bibliografía Básica

• GONSHOR H. Special Train Algebras arising in
  Genetics. Proc. Edinburg Math. Soc. (2) 14 (1965)
  333 338.
• REED, M. Algebraic structures in genetic
  inheritance American Mathematical Society. Volume
  34, Number 2, April 1997, Pages 107-130.

85
Bibliografía Básica

• SÁNCHEZ ROBERSY Y OTROS. Gene Algebra from a
  Genetic Code Algebraic Structure, Research
  Institute of Tropical Roots, Tuber Crops and
  Banana (INIVIT). Biotechnology Group. Santo
  Domingo. Villa Clara. Cuba.
• WÔRZ BUSEKROS ANGELIKA. Algebras in Genetics,
  Springer Verlag, Berlin Heidelberg, New York,
  Lecture Notes in Biomathematics, 36. 1980.