Teor

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Teoría de Conjuntos (IV)

• Jorge Baralt-Torrijos
• Universidad Simón Bolívar
• Junio 2002

2
Contenido

• Políadas
• Relaciones
• Funciones
• Operaciones

3
Políadas
4
Df. EsParOrd

• EsParOrd(x) a y z (x Par(SucZ(y))(Par(y)(z)))
  EsParOrd(x) s x es un par ordenado

5
Df. Prm

• EsParOrd(x) Þ Prm(x) a iy z
  (Par(SucZ(y))(Par(y)(z)) Prm(x) s el primer
  elemento de x

6
Df. Sgd

• EsParOrd(x) Þ Sgd(x) a iy z
  (Par(SucZ(z))(Par(y)(z)) Sgd(x) s el segundo
  elemento de x

7
Df. ParOrd

• EsParOrd(x) ? y Prm(x) ? z Sgd(x) Þ
  ParOrd(y)(z) a Par(SucZ(y))(Par(y)(z)) lty,zgt
  a ParOrd(y)(z)

8
Ts. ParOrd

• EsParOrd(x) Þ x ltPrm(x),Sgd(x)gt
• lta,bgt ltc,dgt ? (a c ? b d)
• lta,bgt ltb,agt ? a b
• EsElemento(lta,bgt)
• EsConjunto(lta,bgt)

9
Df. ParInv

• EsParOrd(x) Þ ParInv(x) a ltSgd(x),Prm(x)gt
  ParInv(x) s el par inverso de x

10
Ts. ParInv

• EsParOrd(x) Þ EsParOrd(ParInv(x))
• EsParOrd(x) Þ ParInv(ParInv(x)) x

11
Df. ParSubyac

• EsParOrd(x) Þ ParSubyac(x) a Union(x)
  ParSubyac(x) s el par subyacente de x

12
Ts. ParSuyac

• EsParOrd(x) Þ ParSubyac(ParInv(x)) ParSubyac(x)

13
Df. EsPoliAdi

• EsPoliAdi(n)(x) a ( EsParOrd(x) ? n 1)
  ? (EsParOrd(x) ? (k)(EsPoliAdi(k)(Prm(x)) ?
  n Suc(k)) )EsPoliAdi(n)(x) s x es una
  políada de adicidad n

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Ts. EsPoliAdi

• EsParOrd(a) ? EsPolAdi(1)(a) ?
  EsPolAdi(2)(lta,bgt) ? EsPolAdi(3)(ltlta,bgt,cgt)
  ?

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Políadas de adicidad n

• ltx1gt a x1ltx1,x2gt ltltx1gt,x2gt ltx1,x2,x3gt a
  ltltx1,x2gt,x3gt ... ltx1,x2,,xngt a ltltx1,x2gt,,xngt

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Relaciones
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Ax. de Producto Cartesiano

• x (EsAgregado(x) Ù "y (y Î x Û z u (z Î v Ù u
  Î w Ù y ltz,ugt)))

18
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión
• 2. Fundamentación
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento
• 5. Unión
• 6. Producto Cartesiano

19
Df. PrC

• PrC(x)(y) a z u v (u Î x Ù v Î y Ù z
  ltu,vgt)PrC(x)(y) s el producto cartesiano por x
  de y

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Ts. PrC

• EsClase(PrC(X)(Y))
• X ? PrC(X)(X) Þ X 0
• EsInicial(x) Þ PrC(x)(y) 0
• EsInicial(y) Þ PrC(x)(y) 0

21
Ax. de Rotación

• x (EsAgregado(x) Ù "y (y Î x Û z u v (y
  ltv,z,ugt Ù ltz,u,vgt Î x)))

22
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión
• 2. Fundamentación
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento
• 5. Unión
• 6. Producto Cartesiano
• 7. Rotación

23
Df. Rot

• Rot(x) a y z u v (y ltv,z,ugt Ù ltz,u,vgt Î
  x)Rot(x) s la rotación de x

24
Ts. Rot

• EsClase(Rot(X))
• "y "n (y Î x Ù EsPolAdi(n)(y) Þ n Î 3) Þ Rot(x)
  0
• EsInicial(x) Þ Rot(x) 0

25
Ax. de Transposición

• x (EsAgregado(x) Ù"y (y Î x Û z u v (y
  ltu,z,vgt Ù ltz,u,vgt Î x)))

26
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión
• 2. Fundamentación
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento
• 5. Unión
• 6. Producto Cartesiano
• 7. Rotación
• 8. Transposición

27
Df. Trp

• Trp(x) a y z u v (y ltu,z,vgt Ù ltz,u,vgt Î
  x)Trp(x) s la transposición de x

28
Ts. Trp

• EsClase(Trp(X))
• "y "n (y Î x Ù EsPolAdi(n)(y) Þ n Î 3) Þ Trp(x)
  0
• EsInicial(x) Þ Trp(x) 0

29
Ax. de Dominio

• x (EsAgregado(x) Ù "y (y Î x Û z (z Î u Ù
  EsParOrd(z) Ù y Prm(z))) )

30
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión
• 2. Fundamentación
• 3. Diferencia
• 4. Apareamiento
• 5. Unión
• 6. Producto Cartesiano
• 7. Rotación
• 8. Transposición
• 9. Dominio

31
Df. Dom

• Dom(x) a y z (z Î x Ù EsParOrd(z) Ù y
  Prm(z))Dom(x) s el dominio de x

32
Ts. Dom

• EsClase(Dom(X))
• ?y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Dom(x) 0
• EsInicial(x) Þ Dom(x) 0

33
Df. Inv

• Inv(x) a Dom(Trp(PrC(x)(x)))Inv(x) s la
  inversa de x

34
Ts. Inv

• EsClase(Inv(X))
• ?y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Inv(x) 0
• EsInicial(x) Þ Inv(x) 0

35
Df. Rng

• Rng(x) a Dom(Inv(x))Rng(x) s el rango de x

36
Df. Cmp

• Cmp(x) a Un(Rng(x))(Dom(x))Cmp(x) s el campo
  de x

37
Df. Nucleo

• Nucleo(x) a Inv(Inv(x))Nucleo(x) s el núcleo
  de x

38
Ts. Nucleo

• EsAgregado(Nucleo(x))
• ?y (y Î x Þ EsParOrd(y)) Þ Nucleo(x) 0
• EsInicial(x) Þ Nucleo(x) 0

39
Df. EsRelacion

• EsRelacion(x) a x Nucleo(x)EsRelacion(x) s x
  es una relación

40
Ts. EsRelacion

• EsRelacion(0)
• EsRelacion(x) ? EsInicial(x) Þ x 0
• EsIndividuo(x) Þ EsRelacion(x)
• EsRelacion(Inv(x))
• EsRelacion(Nucleo(x))

41
Ts. Núcleo

• Inv(x) Inv(Nucleo(x))
• Dom(x) Dom(Nucleo(x))
• Rng(x) Rng(Nucleo(x))
• Cmp(x) Cmp(Nucleo(x))

42
Df. PtC

• PtC(1)(x) a Dom(PrC(x)(x))PtC(Suc(Suc(n)))(x)
  a PrC(PtC(Suc(n))(x))(x)PtC(Suc(n))(x) s la
  potencia cartesiana Suc(n) de x

43
Df. RstrI

• RstrI(y)(x) a z EsParOrd(z) ? z Î x ? Prm(z)
  Î y) RstrI(y)(x) s la restricción izquierda en
  y de x

44
Df. RstrD

• RstrD(y)(x) a Inv(RstrI(y)(Inv(x))) RstrD(y)(x)
  s la restricción derecha de x en y

45
Df. Rstr

• Rstr(y)(x) a Intsc(RstrD(y)(x))(RstrI(y)(x))
  Rstr(y)(x) s la restricción de x en y

46
Df. Img

• Img(y)(x) a Rng(RstrI(x)(y))Img(y)(x) s la
  imagen de x según y

47
Funciones
48
Df. DomS

• DomS(x) a y !z (z Î x Ù EsParOrd(z) Ù y
  Prm(z)) DomS(x) s el dominio de singularidad
  de x

49
Ts. DomS

• DomS(x) ? Dom(x)
• y Î DomS(x) Þ !z (lty,zgt Î x)
• DomS(x) DomS(Nucleo(x))

50
Df. Ap

• !z (lty,zgt Î x) ÞAp(x)(y) a iz (lty,zgt Î x)
  Ap(x)(y) s la aplicación de x a y x(y) a
  Ap(x)(y)

51
Df. EsUnvc

• EsUnvc(y)(x) a Intsc(y)(Dom(x)) ? DomS(x)
  EsUnvc(y)(x) s x es unívoco en y

52
Ts. EsUnvc

• EsUnvc(Dom(x))(x) ? DomS(x) Dom(x)
• EsUnvc(x)(0)

53
Df. EsFuncion

• EsFuncion(x) a EsRelacion(x) Ù EsUnvc(Dom(x))(x)
  EsFuncion(x) s x es una función

54
Ts. Funcion

• EsFuncion(x) ? DomS(x) Dom(x)

55
Operaciones
56
Df. EsOperacion

• EsOperacion(x) a EsFuncion(x) Ù
  EsRelacion(Dom(x)) EsOperacion(x) s x es una
  operación