Teor

1
Teoría de Conjuntos (II)

• Jorge Baralt-Torrijos
• Universidad Simón Bolívar
• Junio 2002

2
Contenido

• Plataforma formal
• Relación de pertenencia
• Axioma de extensión
• Concepto de agregado
• Extensiones
• Esquemas axiomáticos
• Axioma de diferencia
• Diferencia e intersección

3
Plataforma formal
4
Plataforma formal

• Lógica de predicados de primer orden con
  identidad
• El predicado diádico primitivo EsMbr(y)(x)
• La constante 0

5
Relación de Pertenencia
6
Interp. EsMbr

• EsMbr(y)(x) a x es miembro de y(x Î y) a
  EsMbr(y)(x)

y
x
7
Df. NoEsMbr

• NoEsMbr(y)(x) a EsMbr(y)(x) NoEsMbr(y)(x) s
  x no es miembro de y(x Ï y) a NoEsMbr(y)(x)

y
x
8
Df. EsIntegrante

• EsIntegrante(x) a y (x Î y)EsIntegrante(x) s
  x es un integrante

y
x
9
Integrantes
Integrantes
10
Df. EsFinal

• EsFinal(x) a EsIntegrante(x) EsFinal(x) s x
  es final

11
Finales
Finales
Integrantes
12
Df. EsAgrupacion

• EsAgrupacion(x) a y (y Î x)EsAgrupacion(x) s
  x es una agrupación

x
y
13
Agrupaciones
Agrupaciones
14
Df. EsInicial

• EsInicial(x) a EsAgrupacion(x) EsInicial(x)
  s x es inicial

15
Iniciales
Agrupaciones
Iniciales
16
Axioma de Extensión
17
Df. EstaIncluido

• EstaIncluido(y)(x) a "z (z Î x Þ z Î
  y)EstaIncluido(y)(x) s x está incluido en yx Í
  y a EstaIncluido(y)(x)

x y z z z z z
18
Ts. EstaIncluido

• x y Þ x Í y
• x Í x
• x Í y Ù y Í z Þ x Í z
• EsInicial(x) Þ "y x Í y
• EsInicial(x) Ù y Í x Þ EsInicial(y)
• EsAgrupacion(x) Ù x Í y Þ EsAgrupacion(y)

19
Ax. de Extensión

• EsAgrupacion(x) Ù EsAgrupacion(y) Þ (x Í y Ù y
  Í x Þ x y)

x y z z z
20
Resumen de Axiomas

• 1. Extensión

21
Concepto de Agregado
22
Interp. 0

• 0 a la nada

23
Df. EsAgregado

• EsAgregado(x) a EsAgrupacion(x) Ú x
  0EsAgregado(x) s x es un agregado

24
Agregados
Agrupaciones
Iniciales
Agregado
25
Ts. Agregados

• EsAgregado(0)
• ?x EsAgregado(x)
• EsAgrupacion(0) Þ "x (EsAgregado(x) Û
  EsAgrupacion(x))

26
Df. EsVacio

• EsVacio(x) a EsAgregado(x) ? EsInicial(x)
  EsVacio(x) s x es vacío

27
Vacio
Agrupaciones
Iniciales
Vacio
Agregado
28
Ts. Vacios

• EsVacio(x) Þ x 0
• ?x EsVacio(x) Þ ?!x EsVacio(x)
• ?x EsVacio(x) Þ EsInicial(0)
• ?x EsVacio(x) Þ EsVacio(0)
• EsAgregado(x) Þ EsAgrupacion(x) Ú EsVacio(x)

29
Df. EsIndividuo

• EsIndividuo(x) a EsAgregado(x) EsIndividuo(x)
  s x es un individuo

30
EsIndividuo
Agrupaciones
Iniciales
Individuos
Vacio
Agregado
31
Ts. Individuos

• EsIndividuo(x) Þ EsInicial(x) ? x ? 0

32
Df. EsParte

• EsParte(y)(x) a EsAgregado(x) Ù EsAgregado(y)
  Ù x Í yEsParte(y)(x) s x es parte de y

33
Ts. EsParte

• EsIndividuo(x) Þ y EsParte(x)(y)
• EsParte(y)(x) Þ x Í y
• EsParte(y)(x) Þ EsAgregado(x)
• EsParte(y)(x) Þ EsAgregado(y)
• (EsAgregado(x) Ú EsAgregado(y)) Þ (x y Þ
  EsParte(y)(x))
• EsAgregado(x) Þ EsParte(x)(x)
• EsParte(y)(x) Ù EsParte(z)(y) Þ EsParte(z)(x)

34
T. de extensionalidad

• EsParte(y)(x) Ù EsParte(x)(y) Þ x y
• EsAgregado(x) Ù EsAgregado(y) Þ (EsParte(y)(x)
  Ù EsParte(x)(y) Û x y)

35
Df. EstaPrpIncl

• EstaPrpIncl(y)(x) a x Í y Ù y Í
  xEstaPrpIncl(y)(x) s x está propiamente
  incluido en yx Ì y a EstaPrpIncl(y)(x)

x y z z z z z
36
Ts. EstaPrpIncl

• x x Ì y Þ EsAgrupacion(y)
• EsInicial(x) Þ y y Ì x
• EsInicial(x) Þ "y (EsAgrupacion(y) Þ x Ì y)
• x Ì y Þ x Í y
• x Ì y Þ x ? y
• x Ì x
• x Ì y Ù y Ì z Þ x Ì z
• x Ì y Þ y Ì x

37
Df. EsPartePrp

• EsPartePrp(y)(x) a EsParte(y)(x) Ù
  EsParte(x)(y)EsPartePrp(y)(x) s x es parte
  propia de y

38
Ts. EsPartePrp

• EsPartePrp(y)(x) Þ x Ì y
• EsInicial(x) Þ y EsPartePrp(x)(y)

39
Df. EsParteNorm

• EsParteNorm(y)(x) a EsPartePrp(y)(x) Ù
  EsAgrupacion(x) EsParteNorm(y)(x) s x es parte
  normal de y

40
Df. EsAtomo

• EsAtomo(x) a y "z ( z Î x Û z y)EsAtomo(x)
  s x es un átomo

41
Ts. Atomos

• EsAtomo(x) Þ EsAgrupacion(x)
• EsAtomo(x) Þ y EsParteNorm(x)(y)

42
Df. EstaCubierto

• EstaCubierto(y)(x) a "z (x Î z Þ y Î
  z)EstaCubierto(y)(x) s x está cubierto por y

z z z z z x y
43
Ts. EstaCubierto

• x y Þ EstaCubierto(y)(x)
• EstaCubierto(x)(x)
• EstaCubierto(y)(x) Ù EstaCubierto(z)(y)
  Þ EstaCubierto(z)(x)
• EsFinal(x) Þ "y EstaCubierto(y)(x)
• EsFinal(x) Ù EstaCubierto(x)(y) Þ EsFinal(y)
• EsIntegrante(x) Ù EstaCubierto(y)(x) Þ
  EsIntegrante(y)
• x (EsAtomo(x) Ù y Î x) Þ "z
  (EstaCubierto(z)(y) Û z y)

44
Extensiones
45
Cuantificacion universal

• Los griegos son mortales
• Los G son M
• Para todo x, si x es griego entonces x es mortal
• "x (EsGriego(x) Þ EsMortal(x))
• "x (G(x) Þ M(x))

46
T. Extensionalidad

• EsAgregado(x) Ù "z (z Î x Û j(z)) ÙEsAgregado(y)
  Ù "u (u Î y Û j(u)) Þ x y

47
Dm. Extensionalidad (1)

• 1 EsParte(y)(x) Ù EsParte(x)(y) Þ x y T2
  EsAgregado(x) Ù "z (z Î x Û j(z)) Ù
  EsAgregado(y) Ù "u (u Î y Û j(u)) H 3
  EsAgregado(x) 2 E Ù 4
  EsAgregado(y) 2 E Ù 5 "z (z Î x Û
  j(z)) 2 E Ù 6 "u (u Î y Û j(u))
  2 E Ù

48
Dm. Extensionalidad (2)

• 7 z "z (z Î x Û j(z)) 8 z Î
  x Û j(z)9 "u (u Î y Û j(u))10 z
  Î y Û j(z)11 z Î x Û z Î y 12 z Î
  x13 z Î x Û z Î y14 z Î y15 z Î x Þ
  z Î y16 "z (z Î x Þ z Î y)17 x Í y
  

49
Dm. Extensionalidad (3)

• 18 z "z (z Î x Û j(z)) 19 z Î
  x Û j(z)20 "u (u Î y Û j(u))21
  z Î y Û j(z)22 z Î x Û z Î y 23 z Î
  y24 z Î x Û z Î y25 z Î x26 z Î y Þ
  z Î x27 "z (z Î y Þ z Î x)28 y Í x
  

50
Dm. Extensionalidad (4)

• 29 EsAgregado(x) Ù EsAgregado(y) Ù x Í
  y 30 EsParte(y)(x)31 EsAgregado(x) Ù
  EsAgregado(y) Ù y Í x32 EsParte(x)(y)33
  EsParte(y)(x) Ù EsParte(x)(y)34 x y35

51
T. Unicidad extensional

• x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û j(y))) Þ!x
  (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û j(y)))

52
Df. Descripciones

• !x j(x) ÞEl(x)(j(x)) y a j(y) El(x)(j(x))
  y s y es el x tal que j(x) ix j(x) a
  El(x)(j(x))

53
Ej. Descripciones

• j(x) EsPadreDe(Ana)(x)
• !x (EsPadreDe(Ana)(x))
• El(x)(EsPadreDe(Ana)(x)) y Û EsPadreDe(Ana)(y)
• ElPadreDe(Ana) El(x)(EsPadreDe(Ana)(x))
• ElPadreDe(Ana) y Û EsPadreDe(Ana)(y)
• ElPadreDe(Ana) Jorge Û EsPadreDe(Ana)(Jorge)

54
Df. Tot

• x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û j(y))
  ÞTot(x)(j(x)) a iy (EsAgregado(y) ? "x (x Î y
  Û j(x))) Tot(x)(j(x)) s la totalidad de
  objetos x tal que j(x) x j(x) a
  Tot(x)(j(x))

55
T. Extensiones

• x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û j(y)) Þ"y (y Î
  x j(x) Û j(y))

56
Esquemas axiomáticos
57
Esq. Ax. Abstracción

• x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û j(y)))

58
Paradoja de Russell

• j(x) x Ï x
• x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û y Ï y))!x
  (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û y Ï y)z x x Ï
  x "y (y Î z Û y Ï y)z Î z Û z Ï zz Î z ? z Ï
  z

59
Esq. Ax. Abstracción

• x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û j(y)))

60
Esq. Ax. Separación

• x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û a(y) ? j(y)))

61
Solución de la Paradoja

• j(x) x Ï x
• x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û (y Î u ? y Ï
  y)))!x (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û (y Î u ? y
  Ï y))) z ix (EsAgregado(x) ? "y (y Î x Û (y Î
  u ? y Ï y)))"y (y Î z Û (y Î u ? y Ï y))z Î z Û
  (z Î u ? z Ï z)z Ï ux x Ï u u ?x x Î u