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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA SEDE
UNI-NORTE
INESTIGACION DE OPERACIONES II I semestre 2008
Teoría de Grafos
Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés
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CONTENIDO

• Introducción
• Definición de grafo?
• Conceptos importantes
• Grafos dirigidos
• Grafos no dirigidos
• Ejemplos

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INTRODUCCION
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Grafo Definición

• Es un conjunto de vértices o nodos y un conjuntos
  de arcos. Se representa por G (V, A). G, grafo
  V, vértice y A, arco.
• Es una estructura no lineal que representa un
  conjunto de objetos donde no hay restricción a la
  relación entre ellos.
• Es un concepto matemático que se utiliza para
  representar circuitos eléctricos, redes
  transporte, de alcantarillado, redes de
  comunicaciones, mapa de carreteras, etc.
• La teoría de los grafos se aplica en el estudio
  de problemas complejos que surgen en áreas como
  la informática, investigación operativa, química,
  ingeniería eléctrica, etc.
• Los grafos se clasifican en dirigidos y no
  dirigidos.

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EJEMPLO
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Grafos dirigidos.

• Un grafo es dirigido si los pares de nodos que
  forman los arcos son ordenados,es decir, un nodo
  puede ser apuntado por otros nodos, se
  representa con u v
• El conjunto de vértices V C,D,E,F,H yel
  conjunto de arcos A (C,D), (D,F), (E,H),
  (H,E), (E,C) forman el grafo dirigido G V,
  A.

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Grafos no dirigidos.

• Un grafo no dirigido es el que tiene los arcos
  formados por pares de nodos no ordenados, un nodo
  está relacionado con otro nodo, se representa con
  u v
• El conjunto de vértices V 1,4,5,7,9 y el
  conjunto de arcos A (1,4), (5,1), (7,9),
  (7,5), (4,9), (4,1), (1,5), (9,7), (5,7), (9,4)
  forman el grafo no dirigido G V, A.

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CONCEPTOS IMPORTANTES
Vértice
Longitud de un camino
Arista
Grafo completo
Camino simple
Grafo Valorado
Grafo conexo
Grado de un nodo
Bucle
Orden
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Grafos. Conceptos.

• Vértice también es llamado nodo.
• Arista es la conexión de un nodo con otro
  adyacente.
• Camino secuencia de aristas recorridas para ir
  desde un nodo origen hasta uno destino.
• Un camino simple es un camino desde un nodo a
  otro en el que ningún nodo se repite (no se pasa
  dos veces). Si el camino simple tiene como primer
  y último elemento al mismo nodo se denomina
  bucle.
• Longitud de un camino es el número de arcos que
  componen el camino.(es la suma de los valores
  numéricos asociados a los arcos que lo
  constituyen)
• Bucle camino que une un nodo consigo mismo.
  Comienza y termina en el mismo nodo.
• Orden es el número de nodos (vértices) del grafo.

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Grafos. Conceptos.

• Grado de un nodo x en un grafo no dirigido, es
  el número de aristas que contiene a x. En un nodo
  dirigido grado de entrada, es el número de arcos
  que llegan a x, y grado de salida es el número de
  arcos que salen de x.
• Grafo valorado cuando los arcos tienen asociados
  un factor de peso.
• Grafo conexo es un grafo no dirigido tal que
  para cualquier par de nodos existe al menos un
  camino que los une.
• Grafo fuertemente conexo es un grafo dirigido
  tal que para cualquier par de nodos existe un
  camino que los une.

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Grafo completo, disperso y denso.

• Según el número de aristas que contiene, un grafo
  es completo si cuenta con todas las aristas
  posibles (es decir, todos los nodos están
  conectados con todos), disperso si tiene
  relativamente pocas aristas y denso si le faltan
  pocas para ser completo.
• El número de distintos pares de vértices (v(i),
  v(j)), con v(i) ltgt v(j), en un grafo con n
  vértices es n(n-1)/2. Este es el número máximo
  de arcos en un grafo no dirigido de n vértices.
  Un grafo no dirigido que tenga exactamente
  n(n-1)/2 arcos se dice que es un grafo completo.
  En el caso de un grafo dirigido de n vértices el
  número máximo de arcos es n(n-1).

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Ejemplos de grafos
Grafo conexo es un grafo no dirigido tal que
para cualquier par de nodos existe al menos un
camino que los une.
Grafo fuertemente conexo es un grafo dirigido
tal que para cualquier par de nodos existe un
camino que los une.
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Ejemplos de grafos
Grafo valorado cuando los arcos tienen
asociados un factor de peso.
Grafo valorado dirigido cuando los arcos
tienen asociados un factor de peso.
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EJEMPLO

• Los nodos c y e tienen grado 4, el nodo d tiene
  grado 6 y los demás nodos tiene grado 5
• Existe un lazo o bucle en el nodo d
• Es multigrafo ya que existen dos aristas que unen
  los vértices a y b
• Existen varios caminos que unen el nodo a y el
  nodo d Ej. a-b-c-d-a, a-e-d , a-d o a-c-d
• El camino a-c-d-a es un camino cerrado
• El camino a-c-d-a es un camino simple, mientras
  que a-c-b-d-c no lo es.
• El camino a-c-d-a es un camino cíclico
• Es un Grafo conexo ya que todos los nodos tiene
  al menos un camino a otro nodo
• Es un Grafo completo ya que todos los nodos se
  conectan con los demás
• El nodo f es un nodo aislado