IFT-66975

1
IFT-66975

• Complexité despace
• L, NL, PSPACE
• P-complétude et NC

2
Complexité despace

• Le temps de calcul est la ressource la plus
  naturelle à considérer pour mesurer la complexité
  dun problème.
• Lespace (quantité de mémoire) est clairement la
  seconde ressource dont on se soucie le plus en
  pratique.
• On veut développer pour cette mesure une
  taxonomie de complexité aussi riche que celle
  existant pour le temps.

3

• On mesure la mémoire utilisée par une machine de
  Turing en comptant le nombre de cellules du ruban
  utilisées lors dun calcul.
• On veut éviter de compter les cellules utilisées
  pour décrire le mot dentrée x. Ainsi il est
  possible de dire dun calcul quil utilise moins
  de x cellules de mémoire.

4
Machines de Turing à ruban dentrée
Contrôle fini de M (déterministe ou non)
Ruban dentrée (lecture seulement)
x1 x2 x3 xn
...
Ruban de travail (lecture/écriture)

• Une transition de la machine de Turing à létat
  q, lisant le symbole e sur le ruban dentrée et
  le symbole t sur le ruban de travail spécifie
• Le nouvel état q du contrôle fini
• Un éventuel mouvement (droite, gauche) pour
  chaque tête de lecture
• Un symbole écrit sous la tête du ruban de travail.

5

• Une telle machine de Turing peut être
  non-déterministe.
• La complexité despace dune m.t. est la fonction
  s N ? N telle que s(n) est le plus grand nombre
  de cases du ruban de travail utilisées sur une
  entrée de longueur n.
• Dans le cas dune machine non-déterministe, s(n)
  plus grand nombre de cases du ruban de travail
  utilisées sur une entrée de longueur n pour une
  certaine suite de choix non-déterministes.

6

• Définitions
• Pour f N ? N, on définit
• DTAPE(f) classe des langages reconnus par une
  machine déterministe en espace O(f).
• NTAPE(f) classe des langages reconnus par une
  machine non-déterministe en espace O(f).
• Note la notation DSPACE et NSPACE est parfois
  utilisée.

7
Exemples

• Les langages réguliers peuvent être reconnus en
  espace 0.
• On peut montrer que DTAPE(1) est exactement la
  classe des langages réguliers. (pas facile)
• En fait, même DSPACE(o(log log n)) ne contient
  que les langages réguliers. (démonstration
  difficile)

8

• s-t-connexité est dans NTAPE(log n).
• Entrée graphe dirigé G (V,E), et s,t ? V.
• Question existe-t-il un chemin de s à t?
• Idée choisir non-déterministement une suite de
  sommets et vérifier quils relient s à t. Mais
  attention on ne peut pas écrire notre choix sur
  le ruban!

9

• Algorithme pour s-t-connexité
• Entrée graphe G, avec V n et s,t ? V
• Initialiser un compteur c 0
• Initialiser point courant p s
• Si p t alors accepter
• Si c n alors rejeter
• Choisir non-déterministement un v ? V. Si (p,v) ?
  E, alors p v et c c1
• Répéter 4-6.
• Espace utilisé log n bits pour c, log n bits
  pour se souvenir du choix de v.

10

• s-t-connexité pour des graphes non-dirigés est
  dans DTAPE(log n).
• Résultat très récent et très subtil.
• Lacyclicité dun graphe non dirigé est également
  calculable en espace O(log n) (exercice du devoir
  3).

11
Trois nouvelles classes importantes

• L DTAPE(log n).
• NL NTAPE(log n).
• PSPACE ?cgt0 DTAPE(nc).
• NPSPACE ?cgt0 NTAPE(nc).

12
(No Transcript)
13
(No Transcript)
14

• Définition
• La fonction s N ? N est espace-constructible
  sil existe une m.t. déterministe utilisant un
  espace s(n) qui étant donné x écrit sur son ruban
  de travail la représentation binaire de s(x).
• En particulier, si s est espace-constructible on
  peut en espace s(x) délimiter une région de
  s(x) cellules du ruban de travail.
• (Note toute fonction raisonnable est
  espace-constructible.)

15

• Théorème Savitch
• Si s N ? N est espace-constructible et si s(n)
  ? log n, alors
• NTAPE(s(n)) ? DTAPE(s2(n)).
• Corollaire
• PSPACE NSPACE
• Contraste important avec la complexité de temps
  où on pense que la simulation dune machine
  non-déterministe ne peut se faire quà un coût
  exponentiel.

16

• Démonstration
• Supposons que L est reconnu par une m.t. à ruban
  dentrée non-déterministe M qui utilise un espace
  s(n). On veut construire une m.t. déterministe M
  qui reconnaît L avec espace s2(n).
• Idée maîtresse analyser le graphe de
  configurations de M.

17

• Soit Q les états de M et ? lalphabet de ruban.
  Une configuration de M sur une entrée de longueur
  n est un tuple dans Q ? 1, ..., n ? 1, ...,
  s(n) ? ?s(n) qui spécifie un état, une position
  de la tête de lecture sur le ruban dentrée, une
  position de la tête de lecture sur le ruban de
  travail et un contenu des s(n) premières cellules
  du ruban de travail.
• Le graphe de configurations de M sur lentrée x,
  est le graphe dirigé GM,x (V,E) où V est
  lensemble Q ? 1, ..., x ? 1, ..., s(x) ?
  ?s(x) et tel que
• (q,i,j,w),(q,i,j,w) ? E
• si la configuration (q,i,j,w) peut être
  atteinte à partir de la configuration (q,i,j,w)
  lorsque M a reçu x en entrée.
• La configuration K0 (q0,1,1,bs(x)) est la
  configuration initiale. La configuration Kacc
  (qacc,1,1,bs(x)) est la configuration
  acceptante.

18

• On peut supposer que la m.t. M natteint létat
  acceptant quaprès avoir effacé le contenu de son
  ruban de travail et ramené les deux têtes de
  lecture à gauche. Donc, M accepte x si et
  seulement sil existe dans GM,x un chemin de la
  configuration initiale à la configuration
  acceptante.
• La machine déterministe M va fonctionner en
  vérifiant cette condition en utilisant O(s2(n))
  cellules de mémoire. Notez quune configuration
  de M peut être décrite avec O(s(n)) symboles car
  s(n) ? log n.
• Comme s(n) ? log n, on a
• GM,x ? Q ? n ? s(n) ? ?s(n) 2O(s(n)).

19

• Que fait M?
• Étant donné x, M calcule s(x) et délimite
  s(x) cellules de travail.
• Lorsque deux configurations K1, K2 de M sur x
  sont décrites sur le ruban de travail de M on
  veut calculer le prédicat Tj(K1,K2) qui est vrai
  si K2 est atteignable à partir de K1 sur entrée x
  en au plus 2j étapes. On va montrer que cest
  faisable en espace O((j1)s(n)).
• Si j 0, il suffit de générer à partir de K1
  (q,i,j,w) les deux configurations atteignables en
  1 étape par M. Plus précisément, M lit xi et
  consulte les fonctions de transition de M pour
  calculer les deux configurations possibles K1 et
  K1 quil compare avec K2. Lespace utilisé est
  bien O(s(n)).

20

• M calcule Tj(K1,K2) K2 atteignable de K1 en au
  plus 2j étapes.
• Si j ? 1, M procède par récurrence. On a
• Tj(K1,K2) ? ?K3 Tj-1(K1,K3) ? Tj-1(K3,K2)
• M essaie donc toutes les configurations
  possibles K3 en ordre lexicographique. Le temps
  nécessaire est considérable car on a 2O(s(n))
  candidats pour K3. Cependant, lespace nécessaire
  est O(s(n) 2j s(n)) tel que promis.
• M accepte x si et seulement si TO(s(n))(K0,Kacc)
  qui est calculé en espace O(s2(n)). Puisque M
  accepte x si et seulement si Kacc est atteignable
  à partir de K0 sans repasser deux fois par une
  même configuration, on a bien que M accepte le
  même langage que M.

21
Relations avec les classes de temps

• Pour f N ? N, f(n) ? log n, f
  espace-constructible et calculable en temps
  2f(n)
• DTIME(f) ? DTAPE(f) ? DTIME(2O(f))
• NTIME(f) ? NTAPE(f) ? DTIME(2O(f)) ? DTAPE(f2).

22

• La seule inclusion non-triviale est NTAPE(f) ?
  DTIME(2O(f)).
• Soit M une m.t. non déterministe avec complexité
  despace f. On peut en temps O(2O(f)) construire
  entièrement le graphe GM,x et vérifier si Kacc
  est atteignable à partir de K0 à laide dune
  fouille en profondeur (par exemple).
• On a donc les inclusions
• L ? NL ? P ? NP ? PSPACE NPSPACE.

23

• Théorème PH ? PSPACE.
• Démonstration
• On montre par récurrence que pout tout k ? 0 on
  a ?k ? PSPACE et ?k ? PSPACE.
• Pour k 0 on a ?0 ?0 P ? PSPACE.
• Si k ? 1 on sait que L ? ?k sil existe un
  langage L ? ?k-1 tel que
• L x ?y ? 0,1p(x) (x,y) ? L.
• On peut essayer tous les y possibles en
  utilisant un espace borné par O(p(x))! Par
  récurrence on a que (x,y) ? L peut être vérifié
  avec complexité despace polynomiale.
• Donc ?k ? PSPACE. Par symmétrie ?k ? PSPACE.

24

• On a donc les inclusions
• L ? NL ? P ? ? ?2 ? ... ? PH ? PSPACE
• Par diagonalisation on peut démontrer que L ?
  PSPACE. Donc au moins une des inclusions de cette
  chaîne est stricte. On pense que toutes ces
  inclusions sont strictes mais aucun résultat
  nest démontré.

NP
co-NP
25
PSPACE-complétude

• Un problème K de PSPACE est PSPACE-complet si
  pour tout L ? PSPACE on a L ?p K.
• La PSPACE-complétude est une très forte
  indication quun problème nadmet pas
  dalgorithme efficace. De nombreux problèmes
  naissant de la théorie des jeux sont
  PSPACE-complets.

26

• Formule Booléenne quantifiée (QBF)
• Entrée une formule booléenne quantifiée ?
• Q1x1 Q2x2 ... Qnxn ?(x1, ..., xn)
• où Qi ? ?,? et ? est une formule booléenne
  avec variables xi.
• Question La formule est-elle vraie?
• À noter que le nombre dalternations entre les
  quantificateurs existentiels et universels nest
  pas borné, contrairement aux problèmes SATkcir.

27

• Théorème QBF est PSPACE-complet.
• Démonstration
• On veut dabord montrer QBF ? PSPACE.
• Supposons Q1 ?. Alors ? est vraie si une des
  deux formules
• Q2x2 ... Qnxn E(1,x2,...,xn) ou
• Q2x2 ... Qnxn E(0,x2,...,xn)
• est vraie.
• On peut ainsi bâtir un algorithme récursif. La
  base de la récursion est lévaluation dune
  formule sans variable, ce qui se fait en temps
  polynomial. La gestion de la récurrence nécessite
  que lon conserve en mémoire au plus n bits.

28

• Soit L ? PSPACE, reconnu par la machine M
  utilisant un espace p(n). On veut montrer L ?p
  QBF.
• Considérons encore le graphe de configurations
  de M sur lentrée x. Cette fois M est
  déterministe donc il existe au plus une arête
  sortante de chaque configuration.
• On a toujours que x ? L si et seulement si M
  accepte x sil existe un chemin de longueur ?
  2O(p(x)) de K0 à Kacc dans le graphe de
  configurations.
• On va montrer comment construire en temps
  polynomial une formule booléenne quantifiée S(x)
  qui est vraie si et seulement sil existe un tel
  chemin.

29

• On réutilise lidée de Savitch. Pour deux
  configurations K1, K2 on définit Tj(K1,K2) sil y
  a un chemin de longueur ? 2j entre K1 et K2. On
  aura alors S(x) TO(p(x))(K0,Kacc).
• On a vu que
• Tj(K1,K2) ? ?K3 Tj-1(K1,K3) ? Tj-1(K3,K2)
• Chaque configuration peut être représentée par
  une chaîne de O(p(n)) bits et donc on peut voir
  ?K3 comme O(p(n)) quantificateurs existentiels.

30

• En utilisant les idées du théorème de
  Cook-Levin, on peut écrire une formule AK1,K2(x)
  qui est vraie si et seulement si T0(K1,K2).
• Donc, on peut utiliser récursivement
• Tj(K1,K2) ? ?K3 Tj-1(K1,K3) ? Tj-1(K3,K2)
• pour construire une formule quantifiée qui est
  vraie si et seulement si TO(p(x))(K0,Kacc).
  Cependant, la taille de cette formule est
  exponentielle ce qui est inacceptable.
• Pour éviter cela, on utilise un ? pour simuler
  le ? dans cette formule et profiter de sa
  symmétrie.
• Tj(K1,K2) ? ?K3 ?(K4,K5) ? (K1,K3), (K3,K2)
  Tj-1(K4,K5)

31

• Tj(K1,K2) ? ?K3 ?(K4,K5) ? (K1,K3), (K3,K2)
  Tj-1(K4,K5)
• En utilisant cette équivalence, on voit que si
  Tj-1 peut être représenté par une formule de
  taille r, alors Tj peut être représenté par une
  formule de taille O(rp(x)).
• Comme T0 peut être représenté par une formule de
  taille p(x), on peut donc construire une
  formule quantifiée S(x) de taille O(p2(x)) qui
  est vraie si et seulement si TO(p(n))(K0,Kacc).
  Cette formule est vraie si et seulement si x ? L.
  
• Puisque S(x) a été construite en temps
  polynomial on a bien que L ?p QBF.

32
Stratégies de jeux gagnantes

• De façon abstraite, un jeu entre Alice et Bob est
  une compétition se déroulant en n rondes de
  coups.
• Pour chaque ronde, Alice joue un coup et Bob
  joue un coup (selon des règles spécifiées).
• Après n rondes, lun des deux joueurs est
  déclaré gagnant, selon une règle préétablie.
  Lidentité du gagnant dépend de la suite de coups
  joués.

33

• On dit quAlice a une stratégie gagnante pour le
  jeu J si elle peut toujours gagner lorsque les
  deux joueurs jouent de façon optimale.
• En dautres mots, Alice peut jouer un coup à la
  première ronde tel que peu importe le coup joué
  par Bob elle peut jouer un second coup tel que
  peu importe le second coup joué par Bob ... Alice
  peut jouer un dernier coup tel que peu importe le
  dernier coup de Bob, Alice est gagnante.
• On retrouve des exemples de jeu un peu partout en
  IA mais aussi en économie, en sociologie, en
  sciences stratégiques etc.
• La question fondamentale à propos de tout jeu
  est Alice a-t-elle une stratégie gagnante?

34

• Exemple le jeu Géographie.
• À la ronde 1, Alice choisit un nom de ville du
  monde qui commence par A. Bob doit répondre par
  un nom de ville du monde qui commence par la
  dernière lettre de la ville choisie par Alice. On
  alterne ainsi sans réutiliser la même ville. Le
  premier qui ne peut nommer une ville a perdu.
• Il se peut quAlice est une stratégie gagnante
  aujourdhui mais pas demain!

35

• On définit Géographie Généralisée (GG)
• Entrée une liste de villes représenté comme un
  graphe dirigé G avec un point de départ distingué
  s ? V.
• Question Existe-t-il une stratégie gagnante
  pour Alice dans le jeu suivant? On part du point
  s. Chaque coup à partir du point v correspond au
  choix dun point v non visité et tel que (v,v)
  ? E. Le premier joueur qui na pas de coup
  possible a perdu.
• GG est PSPACE-complet.

36

• On a tout dabord GG ? PSPACE.
• On construit un algorithme récursif qui détermine
  si Alice peut gagner sur le graphe G à partir du
  point s.
• Algorithme A
• Entrée ?G,s?.
• Si s a degré sortant 0, alors ?G,s? est perdant.
• Sinon, pour chaque si tel que (s,si) ? E faire
  appel récursif A(?G,si?) où G est G s. Si
  tous ces appels acceptent alors Bob aura une
  stratégie gagnante peut importe le coup de Alice
  donc ?G,s? est perdant. Sinon, ?G,s? est gagnant.
• A peut être implémenté en espace O(G).

37

• On montre maintenant QBF ?p GG.
• On veut donc transformer en temps polynomial une
  formule quantifiée ? en un graphe G? avec un
  point de départ s tel que ? est vraie si et
  seulement si Alice gagne le jeu ?G?,s?.
• Pour se simplifier la tâche, on suppose que ?
  est de la forme
• ? ?x1 ?x2 ?x3 ?x4... Qk xk ?(x1,...,xn)
• où ? est en 3-CNF.

38

• La plupart des jeux de stratégie (go, échecs,
  dames, tic-tac-toe, othello) sont des jeux se
  jouant sur une grille fixe. Donc, selon nos
  définitions, on peut déterminer si Alice a une
  stratégie gagnante en temps constant!
• La plupart de ces jeux (pas les échecs) se
  généralisent naturellement à des grilles n ? n
  arbitrairement grandes. On peut montrer que des
  versions généralisées du go, des dames,
  dothello, etc. donnent naissance à des problèmes
  PSPACE-complets.

39
Problèmes NL-complets

• Puisque NL ? P, tous les problèmes non-triviaux
  de NL sont NL-complets sous les transformations
  polynomiales.
• On a donc besoin dutiliser une notion de
  réduction beaucoup plus restrictive afin
  dobtenir une notion intéressante de
  NL-complétude.

40
Fonctions calculables en espace log

• Une fonction f ? ? ? est calculable en espace
  logarithmique sil existe une machine avec un
  ruban dentrée (lecture seulement), un ruban de
  travail (lecture/écriture) et un ruban de sortie
  (écriture seule) qui en entrée x produit f(x) sur
  le ruban de sortie et utilise O(log n) cellules
  du ruban de travail.

41
Transformations logarithmiques

• Un problème A est logarithmiquement réductible au
  problème B (A ?log B) sil existe une fonction f
  calculable en espace logarithmique qui transforme
  les instances de A en instances de B tel que
• ?x x? A ? f(x) ? B.

42

• Propriétés à noter
• Si A ?log B et B ?log C alors A ?log C.
• Si A ?log B et B ? NL alors A ? NL.
• Si A ?log B et B ? L alors A ? L.
• Si A ?log B alors A ?p B.

43

• On dit que B est NL-complet si B ? NL et pour
  tout A ? NL, on a A ?log B.
• On dit que B est P-complet si B ? P et pour tout
  A ? P, on a A ?log B.
• Encore une fois ces notions ne sont intéressantes
  que parce que lon peut trouver des exemples
  naturels de problèmes NL-complets et P-complets.

44

• Théorème s-t-conn est NL-complet.
• Démonstration
• On a déja montré s-t-conn ? NL.
• Soit A ? NL et M une m.t. non-déterministe avec
  complexité de mémoire O(log n) qui accepte A.
• Pour tout x, on veut construire un graphe G(x)
  avec deux points s,t tels quil y a un chemin de
  s à t si et seulement si M accepte x.
• Ce graphe est tout simplement le graphe des
  configurations GM,x avec s K0 et t Kacc. Il
  est facile de voir quune représentation de ce
  graphe est calculable en espace logarithmique.

45

• Note si L ? NL alors s-t-conn nest pas dans L.
  (Cest, bien sûr le but des résultats de
  complétude)
• Il existe plusieurs autres problèmes intéressants
  qui sont NL complets, notamment 2SAT.

46
NL vs co-NL

• On pense que NP ? co-NP. Plus précisément, il
  semble que la complexité de temps non
  déterministe dun langage L peut être
  radicalement différente que la complexité de
  temps non déterministe du complément de L.
• Soupçonne-t-on la même chose pour la complexité
  despace?
• Non car co-NPSPACE PSPACE NPSPACE!
• Quen est-il pour NL et co-NL?

47

• Théorème Immerman-Szelepcsényi
• NL co-NL
• Théorème très surprenant au moment de sa
  découverte.
• Pour le montrer, il suffit de montrer que le
  complément de s-t-conn fait partie de NL.
  Appelons ce problème s-t-unconn.

48

• Comment montrer s-t-unconn ? NL?
• Supposons dabord quen plus de G,s,t, on reçoit
  en entrée le nombre c de points de G qui sont
  atteignables à partir de s. Soit A(s) lensemble
  de ces points.
• Notre algorithme fonctionne comme suit pour
  chaque point u ? V t, choisir
  non-déterministement si u ? A(s) ou non. Lorsque
  lon choisit u ? A(s), on vérifie ce choix en
  trouvant non-déterministement un chemin de s vers
  u. Si on a choisi c points dans A(s) et validé ce
  choix pour chacun alors on accepte.

49

• Reste à calculer c.
• Soit Ai les points atteignables en au plus i
  étapes à partir de s. On a donc A0 s et Ai ?
  Ai1 et AG A(s). Soit ci Ai.
• On va montrer comment calculer ci1 à partir de
  ci grâce à notre machine non-déterministe.
• (Idée similaire à la précédente)

50

• Algorithme C calculant ci1 à partir de ci. On
  veut faire en sorte que pour chaque choix
  non-déterministe, C rejette ou calcule ci1.
• Entrée G,s,ci.
• ci1 0
• Pour chaque v ? V faire
• intialiser compteur d0
• Pour chaque u ? V
• choisir non-déterministement si u ? Ai.
• Si on choisit u ? V alors choisir
  non-déterministement et vérifier un chemin de
  longueur i de s à u. Si échec rejeter.
• Si réussite d d1
• Si (u,v) ? E alors flag 1
• Si d ? ci rejeter.
• Si flag 1, alors v ? Ai1 alors ci1 ci1 1.
• Retourner ci1.

51

• Remarques
• Il faut un vrai miracle pour que C ne fasse pas
  des choix non-déterministes qui lamènent à
  rejeter.
• La seule possibilité pour que C ne rejette pas
  est que
• Pour chaque v ? V, la boucle traitant v fait
  toujours la bonne hypothèse en choisissant u ? Ai
  ou u ? Ai. (Si u ? Ai est incorrect, alors
  impossible de trouver un chemin de s à u. Si u ?
  Ai est incorrect on aura d lt ci.)
• Pour chaque u ? Ai, un chemin de longueur i de s
  vers u est correctement choisi.
• Lorsque ces miracles ont lieu simultanément C ne
  rejette pas et calcule ci1 correctement. À noter
  aussi que la complexité despace de C est O(log
  n) car on na jamais besoin dinscrire plus que
  trois points du graphe et deux compteurs en
  mémoire.

52

• Algorithme NL pour s-t-unconn
• Entrée graphe G, source s, cible t
• c0 1. Calculer c1 puis c2 et ainsi de suite
  jusquà c cG.
• (Forte probabilité déchec mais le calcul de
  cG est correctement effectué sur au moins un
  choix non-déterministe.)
• initialiser compteur d0
• Pour chaque u ? V-t choisir non-déterministement
  u ? A(s) ou u ? A(s).
• Si u ? A(s), choisir et vérifier un chemin de s
  vers u. Si échec rejeter, sinon d d1
• Si d c alors accepter, sinon rejeter.

53
Autres classes despace logarithmique

• On peut également définir des classes
  probabilistes telles que RL, BPL, PL.
• On a presque réussi à démontrer que RL L.
• De façon générale, on croit que ces classes ne
  sont pas beaucoup plus grandes que L.

54
Algorithmes parallèles

• Le problème s-t-conn peut-être calculé rapidement
  par un algorithme massivement parallèle.
• Supposons G n et utilisons ? n2 ? log n
  processeurs.
• On peut imaginer les n2 premiers processeurs sont
  responsables chacun de calculer T0(u,v) pour une
  paire (u,v).
• Les n2 suivants calculent chacun un T1(u,v) grâce
  à la relation T1(u,v) ? ?m T0(u,m) ? T0(m,v).
• Avec log n niveaux on peut donc calculer Tlog
  n(s,t). Le temps à chaque niveau est linéaire
  donc le gain nest pas appréciable.

55

• Pourquoi sarrêter en si bon chemin?
• Considèrons le processeur qui calcule Tj(u,v) ?
  ?m Tj-1(u,m) ? Tj-1(m,v).
• Remplaçons le par n processeurs, chacun calculant
  Tj-1(u,m) ? Tj-1(m,v) pour un m! Ces réponses
  sont ensuite combinées par un OU darité n. (ce
  qui demande à nouveau ? n processeurs).
• Il existe donc un algorithme massivement
  parallèle qui calcule s-t-conn en temps O(log2 n).

56
La classe NC

• Grossièrement la classe de complexité NC est
  lensemble des langages calculables par O(nc)
  processeurs en temps O(logd n).
• Puisque le nombre de processeurs est polynomial,
  on a NC ? P. Là encore, on croit que linclusion
  est stricte.

57

• Modèle plus précis de calcul parallèle les PRAM
  (parallel random-access machines).
• Informellement, NC correspond aux problèmes
  ayant un algorithme parallèle très efficace.
• Mais limplémentation dalgorithmes massivement
  parallèles est souvent trop délicate pour que
  cette correspondance soit réaliste.
• Par contre, il est raisonnable de postuler quun
  problème en dehors de NC nadmet pas dalgorithme
  parallèle très efficace.

58

• Exemples de problèmes dans NC
• st-conn
• Tous les problèmes de NL!
• Multiplication de matrices
• Calcul de déterminant de matrice
• Calcul dinverse de matrice
• Évaluation de formule Booléenne
• etc.

59
P-complétude

• Si A ?log B et B ? NC, alors A ? NC.
• Ainsi si NC ? P alors si K est P-complet on a K ?
  NC.
• Les problèmes P-complets sont intrinsèquement
  séquentiels.

60

• Soit CVP le problème suivant
• Entrée circuit booléen C sans variables.
• Question Quel est la valeur de sortie du
  circuit?
• Théorème CVP est P-complet.

61

• Clairement, on a CVP ? P on peut calculer la
  valeur de chaque porte du circuit niveau par
  niveau.
• Soit maintenant A un problème de P et M la m.t.
  déterministe qui reconnaît A en temps polynomial.
• Pour chaque x, on peut réutiliser notre
  construction pour Cook-Levin pour obtenir en
  espace logarithmique un circuit C(x) dont la
  valeur de sortie est 1 si et seulement si M
  accepte x.

62
Tableau du calcul de M
nk
config initiale
b ... b b


? ?

q0
x2


x1
...
xn

2ème config



nk
config finale


63

• Chaque cellule i,j contient un symbole de
  lalphabet ? ou un état q ? Q. On veut construire
  à partir dune entrée x à M un circuit C qui
  évalue à 1 si et seulement si M accepte x, donc
  si et seulement si le tableau aboutit dans une
  configuration acceptante.
• Chaque cellule va être transformée en un ensemble
  ? Q portes dans le circuit. La structure du
  circuit est donc très régulière, ce qui facilite
  sa construction en espace logarithmique.
• Le reste nest quune question de détails. (!)
• (voir 14.2 de Wegener)

64

• Il existe de très nombreux exemples de problèmes
  P-complets
• Horn-SAT
• programmation linéaire
• ordre DFS
• Max-flow
• etc.

65
Notre vue sur le monde

• Pour les problèmes de décision, on a vu
• L ? NL ? NC ? P ? NP ? ... ? PH
• ? PSPACE ? EXP ? NEXP
• Pour un problème de décision donné K, on
  voudrait idéalement être capable de montrer que K
  est C-complet pour une classe C car cela indique
  que lon comprend la complexité de K aussi bien
  que le domaine le permet actuellement.

66

• Seul problème il existe beaucoup de classes de
  complexité, dont plusieurs qui sont probablement
  égales et plusieurs qui ne contiennent que très
  peu de problèmes dignes dintérêt.
• cf Complexity Zoo