IFT-66975

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IFT-66975

• Preuves interactives
• IP, AM, MA et
• isomorphisme de graphe

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• Problème de lisomorphisme de graphe (GI)
• Entrée deux graphes non-dirigés G0 (V0,E0) et
  G1 (V1,E1).
• Question G0 et G1 sont-ils isomorphes? On dit
  que G0 ? G1 sil existe une permutation ? des
  points de V0 telle que
• (u,v) ? E0 ? (?(u),?(v)) ? E1.

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• Que sait-on de GI?
• GI ? NP (il suffit de choisir non
  déterministement ?)
• GI est résoluble en temps polynomial pour un
  grand nombre de classes de graphes.
• GI est NL-difficile.
• Garey Johnson (1979) considèrent GI comme un
  problème qui est peut être dans NP mais ni dans P
  ni NP-complet. Cest un des rares candidats
  encore en lice!
• Plusieurs questions sans réponse
• GI ? co-NP???
• GI ? BPP???

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Rappel NP et les preuves

• Un langage L est dans NP sil existe un polynôme
  q et un langage V ? P tel que
• L x ? y y ? q(x) ? (x,y) ? V.
• Lappartenance de x à L peut être vérifiée en
  temps polynomial en x à condition quune preuve
  nous en soit fournie.

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• Assez semblable à notre intuition de ce que doit
  être la preuve dun théorème. (pas nécessairement
  facile à trouver mais facile à comprendre)
• Deux façons naturelles daggrandir un peu la
  classe NP
• Se contenter dune démonstration qui nous inspire
  suffisamment confiance.
• Ajouter la possibilité dune interaction avec le
  prouveur.

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La classe MA

• On dit que L est un langage avec preuves
  publiables sil existe un polynôme q et un
  algorithme probabiliste V tel que
• Si x ? L alors il existe un y ? 0,1p(x) tel
  que PrV accepte (x,y) ? ¾.
• Si x ? L alors pour toute y ? 0,1p(x) on a
  PrV accepte (x,y) ? ¼.
• Les langages avec preuves publiables forment la
  classe MA (Merlin-Arthur).
• On a NP ? MA. Par contre il semble a priori
  improbable que co-NP ? MA.

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• On veut maintenant augmenter la puissance de
  notre algorithme de vérification de
  lappartenance de x à un langage L en lui offrant
  la possibilité dun dialogue avec un prouveur
  tout-puissant.
• On veut intuitivement conserver les propriétés
  suivantes
• Si x ? L, alors un prouveur honnête peut
  convaincre le vérificateur que cest le cas.
• Si x ? L, alors même un prouveur malhonnête ne
  réussira à convaincre le vérificateur que x ? L.

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Preuves interactives

• Une preuve interactive est un protocole de
  communication entre un prouveur (dénoté P) qui
  est un algorithme et un vérificateur (V) qui est
  un algorithme probabiliste.
• Le protocole reçoit une entrée x. Après un
  certain nombre de rondes déchanges entre P et V,
  le vérificateur décide daccepter ou de rejeter
  x.
• Le nombre de rondes peut dépendre de x et de
  la communication qui a eu lieu.
• Le temps de calcul de V est borné par un
  polynôme de x.

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• Pour un prouveur P et un vérificateur V, soit
  DP,V(x) la variable aléatoire qui est 1 si
  linteraction de P et V amène V à accepter x et
  qui est 0 sinon.
• Définition Un langage L appartient à la classe
  IP, sil existe un protocole de preuve
  interactive et un vérificateur V tel que
• Si x ? L alors il existe un prouveur P tel que
  PrDP,V(x) 1 ? ¾.
• Si x ? L alors pour tout prouveur P on a
  PrDP,V(x) 1 ? ¼.
• De plus, L ? IP(k) sil existe un tel protocole
  qui nutilise que k messages échangés entre P et
  V.

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• Remarques sur IP
• IP(1) MA par définition.
• IP ? PSPACE. En effet, tous les messages envoyés
  par le prouveur sont de longueur polynomiale
  (sinon V ne peut même pas les lire!) et donc on
  peut simuler tous les prouveurs potentiels en
  espace polynomial.
• IP PSPACE (Shamir 92)
• IP(2) IP(k) pour tout k ? 3.

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• La classe IP(2) est souvent appelée AM
  (Arthur-Merlin). Les protocoles correspondants
  ont la structure suivante
• Le vérificateur reçoit lentrée x et construit de
  façon probabiliste une question (x,r).
• Le prouveur retourne une réponse y de longueur
  polynomiale.
• Le vérificateur accepte ou rejette le triplet
  (x,r,y).
• On a MA ? AM. Cependant, on ne croit pas que
  co-NP ? AM. En particulier, on ne voit pas
  comment un tel protocole pourrait convaincre un
  vérificateur quune formule est insatisfiable.

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• Théorème GIc ? AM.
• Cest une forte indication que GI nest pas
  NP-complet.
• En effet si GI est NP-complet alors pour tout K
  ? NP on a K ?p GI et Kc ?p GIc. On peut alors
  conclure que co-NP ? AM.

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• Démonstration
• On utilise le protocole suivant.
• V reçoit G0 et G1. Il choisit aléatoirement un i
  ? 0,1 et une permutation de Vi. Il envoie au
  prouveur le graphe H ?(Gi).
• Le prouveur retourne un j ? 0,1.
• V accepte la paire ?G0,G1? (donc conclut que G0
  et G1 ne sont pas isomorphes) si i j.

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• Note Wegener analyse précisément les détails
  cachés par choisir aléatoirement une permutation
  de Vi.
• Supposons que G0 et G1 ne sont pas isomorphes. On
  veut montrer quil existe un prouveur P qui
  convainc V avec une forte probabilité.
• Si G0, G1 sont non-isomorphes, alors H ?(Gi)
  est isomorphe à Gi mais pas à Gi. Donc P peut
  déduire i à partir de H et retourner cette
  valeur.
• Dans ce cas, P renvoie toujours à V un j égal à i
  et la probabilité que V accepte est donc 1.

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• Supposons maintenant G0 ? G1.
• V envoie H ?(Gi) à P. Les trois graphes H, G0,
  G1 à la disposition de P sont isomorphes. Donc,
  même un prouveur malicieux ne saura comment
  réagir car il na aucune information sur i!
• Plus précisément soit Sn lensemble des
  permutations de n points avec n V0 V1. On
  veut montrer quil existe autant de ? ? Sn telles
  que ?(G0) H que de ? ? Sn telles que ?(G1) H.

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• Pour un graphe G, Aut(G) est lensemble des
  automorphismes de G, i.e. des permutations ?
  telles que ?(G) G.
• Aut(G) est un groupe sous la composition de
  fonctions car si ?, ? ? Aut(G) alors ? ?
  ? Aut(G). Par ailleurs, la permutation identité
  ? est toujours dans Aut(G) et
• ? ?-1 ?-1 ? ?.
• Aut(G) est donc un sous groupe de Sn. Montrons
  que le nombre de permutations ? ? Sn telles que
  ?(G) H est exactement Aut(H).

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• Dabord, si ?(G) H et ? ? Aut(H) alors on a
  (? ?)(G) G et donc il existe au moins
  Aut(H) permutations avec ?(G) H.
• À linverse, soit ?(G) H. Pour chaque ?(G) H
  on a que (? ?-1)(H) H. Donc (? ?-1) ?
  Aut(H) et pour ? ? ? on a (? ?-1) ? (?
  ?-1). Donc il y a au plus Aut(H) permutations
  avec ?(G) H.
• En particulier, si G0 et G1 sont isomorphes alors
  pour tout graphe H, il existe autant de
  permutations qui donnent ?(G0) H que de
  permutations donnant ?(G1) H.

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• V a choisi i ? 0,1 aléatoirement. Mais puisque
  H ?(Gi) est un graphe aléatoire de lensemble
  des graphes isomorphes à G0 et G1 on a
• Pri 0 H Pri 1 H ½.
• Donc, peut importe le j que retourne P, on a que
  i j et donc que V accepte G0 et G1 comme étant
  non-isomorphes avec probabilité ½.
• On requiert que la probabilité que V accepte
  incorrectement soit au plus ¼. Cela est fait
  simplement en exécutant deux fois (en parallèle)
  le protocole décrit ci-dessus et en acceptant
  seulement si i1 j1 et i2 j2.

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• Question légitime pourquoi est-ce que lon a
  décrit ce qui nous intéresse en 5 acétates alors
  que Wegener en fait 10 pages?
• Plusieurs résultats absolument pas triviaux se
  cachent sous laffirmation IP(2) AM!
• En particulier, on peut voir le théorème 11.3.4
  de Wegener comme résolvant le problème de trouver
  un protocole en deux rondes pour GIc lorsque les
  bits aléatoires choisis par le vérificateur sont
  accessibles au prouveur.
• La preuve est très ingénieuse bien quun peu
  dure à suivre.

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• Théorème
• Si GI est NP-complet alors ?2 ?2.
• Pour la preuve voir Wegener. On a déjà conclu que
  si GI est NP-complet alors co-NP ? AM. Le
  résultat ci-dessus est en fait plus faible, mais
  est formulé sans référence à AM qui est une
  classe de complexité moins connue.

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• Preuves avec zéro-connaissance
• Plaçons nous dans un contexte plus
  cryptographique. Est-il possible pour le prouveur
  de convaincre le vérificateur que deux graphes
  sont isomorphes sans pour autant permettre au
  vérificateur davoir de linformation
  intéressante pour construire un tel isomorphisme?
• Ce genre de questions conduit naturellement à la
  notion de preuve avec zéro-connaissance.
• La définition formelle est délicate mais
  lexemple suivant capte raisonnablement bien
  lintuition.

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• Un autre système de preuves pour GI
• Soit G0, G1 deux graphes isomorphes et supposons
  que le prouveur connait une permutation ? telle
  que ?(G0) G1.
• P choisit aléatoirement i ? 0,1 et ? ? Sn puis
  envoie H ?(Gi).
• V choisit j ? 0,1 aléatoirement et lenvoie à
  P.
• P envoie à V une permutation ?.
• V accepte si ?(Gj) H.
• Notez que si, par exemple, i 0 et j 1 alors P
  na quà envoyer la permutation ? ? ?-1.
  Dans tous les cas, P peut en temps polynomial
  calculer un ? qui convaincra V. Mais il ne
  pourra le faire que si G0 et G1 sont bien
  isomorphes.
• Au moins intuitivement, il est clair que V
  nobtient aucune information de qualité sur une
  permutation telle que ?(G0) G1.