Infini et infiniment inextricable

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Infiniet infiniment inextricable

• 1er février 2006

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Correspondance bi-univoque (bijection) entre
ensembles
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Parties dun ensembleDéfinition dun ensemble
infini

• Soit un ensemble E à 3 éléments E abc
• On appelle partie de E tout ensemble inclus dans
  E
• Quelles sont les parties de E ?
• a b c
• ab ac bc
• sans oublier abc et
• Les parties de E strictement incluses dans E sont
  appelées les parties propres de E
• Par définition E est un ensemble infini si et
  seulement sil existe une bijection entre E et
  lune de ses parties propres (Cantor)

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Un spectateur en surnombre
f(n) n1
5
Une infinité de spectateurs en surnombre
f(n) 2n
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Une infinité dinfinitésde spectateurs en
surnombre
?x?
f(p,q) (pq)(pq1)/2 q
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Une infinité dinfinitésde spectateurs en
surnombre
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?
0,0 0,1 1,0 0,2 1,1 2,0 0,3 1,2 2,1 3,0 ?x?
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• Les infinis en mathématiques

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Les ensembles de nombres

• ? 012
• ? -2-1012
• Q p/q, avec p et q entiers et sans diviseur
  commun
• R tous les résultats dune mesure
• ?, Q
• les nombres irrationnels v2, nombre dor, etc
• les nombres transcendants p, e

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Il y a  autant  délémentsdans ? que dans ?...

• Avec ce quon sait, cest assez évident
• Mais, plus surprenant, il y a  autant 
  délémentsdans ? que dans Q !!

?, ? et Q sont des ensembles dénombrables
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Développement décimaldes nombres

• ? 1, 2, 3 pas de développement décimal
• Q 3/2 1,5 mais aussi 1/3 0,3333333
• 1/7 0.14285714285714 suite infinie mais
  prévisible à partir dun certain rang
• irrationnels et transcendants suite infinie non
  prévisible
• 0.425885139279393
• 0.831362529647847
• 0.022730671503899
• 0.449251839790578
• 0.313645583266323
• 0.524600258557881
• 0.310466296949897
• 0.300829344934320
• 0.656323599954626
• 0.965402154377281
• ...

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Il y a  beaucoup plus  de réels que dentiers
(Cantor)
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• 0.425885139279393
• 0.831362529647847
• 0.022730671503899
• 0.449251839790578
• 0.313645583266323
• 0.524600258557881
• 0.310466296949897
• 0.300829344934320
• 0.656323599954626
• 0.965402154377281

2
1
0.2217290176 nest pas dans la liste !
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Puissance du dénombrable, puissance du continu

• ?, ? et Q sont  dénombrables 
• R est  continu 
• Y a-t-il dautres ensembles continus ?
• analogie entre R et une droite
• il y a  autant  de points sur une droite que
  sur un segment de droite
• il y a  autant  de points sur un segment de
  droite que
• dans un carré !!
• dans un cube, un hyper-cube, dans lespace tout
  entier

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Segment de droite et carré
1
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• Linfiniment inextricable les fractales

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Courbe de Von Koch
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Courbe de Von Koch
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Courbe de Von Koch
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Courbe de Von Koch
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Courbe de Von Koch
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Courbe de Von Koch
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Courbe de Von Koch
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Flocon de Von Koch
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Pavage du plan avec les flocons de Koch
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Longueur de la courbede Von Koch
L0 1
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Longueur de la courbede Von Koch
1/3
1/3
1/3
1/3
L1 4 x 1/3
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Longueur de la courbede Von Koch
1/9
1/9
1/9
1/9
L2 4 x 4 x 1/9
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Flocon de Von Koch une courbe paradoxale
Une courbe de longueur infinie, de surface 8/5 !
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Quelle est la longueurdes côtes de Bretagne ?
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Extension des courbesde von Koch
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Courbe de Cesaro (1905)
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Autre exemple
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Fougère de Barnsley
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Si on se plante (sic), voilà ce que cela donne
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Arbre fractal
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Fractales de Sierpinski en 2D
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Fractales de Sierpinski en 3D
38
Dans quel massif a été prise cette photo ?
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Fractales et chaos la fontaine turbulente
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(No Transcript)
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Linfini dans lart Escher
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Linfini dans lart Escher
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Linfini dans lart Escher
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Quelques références

• sur les infinis en mathématiques
• http//perso.wanadoo.fr/matt95/infini/INFtheorie.h
  tm
• sur les fractales
• http//www.mathcurve.com/fractals/fractals.shtml
• Benoît Mandelbrot les objets fractals
  (Flammarion)
• sur Escher
• http//home.comcast.net/eschermc/
• sur les maths
• Jean-Paul Delahaye les inattendus mathématiques
  (Belin pour la science)

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• Merci pour votre attention