La disjonction : R ou S

1
CHAPITRE 5
Suites réelles
2
Quest ce quune suite de nombres réels ?
(un)n
Application de N dans R
n
un
Ne pas confondre la suite (un)n avec lensemble
un n 0,1,2, des valeurs de la suite !
3
Suites de nombres réels et convergence
un u(n)
un mn 0, dn,1 dn,2 dn,3 dn,4 dn,p
l m 0, d1 d2 d3 d4 dp
La suite de nombres réels (un)n converge vers le
nombre réel l si et seulement si 1. La suite
dentiers relatifs (mn)n finit par  stationner 
pour n assez grand à lentier relatif m 2. Pour
tout entier positif p, la suite de chiffres
(dn,p)n finit par  stationner  pour n assez
grand à lentier dp
4
Quantifier la notion de convergence
Une suite (un)n de nombres réels converge vers un
nombre réel l si et seulement si
Pour tout e positif,
il existe N(e) dans N ,
tel que
un- l b e
n rN(e)
5
Propriétés des suites convergentes

• Toute suite convergente est bornée (cest-à-dire
  lensemble des termes de la suite est minoré et
  majoré)
• Toute suite extraite dune suite convergente est
  aussi convergente et a même limite que la suite
  initiale donnée
• Toute suite convergeant vers un nombre réel l gt0
  est minorée au-delà dun certain cran n0 par l/2
  gt0.

6
Une propriété essentielle des suites monotones de
nombres réels

• Toute suite (un)n de nombres réels croissante (au
  sens de lordre) et majorée est convergente (vers
  la borne supérieure de lensemble des termes de
  la suite)
• Toute suite (vn)n de nombres réels décroissante
  (au sens de lordre) et minorée est convergente
  (vers la borne inférieure de lensemble des
  termes de la suite)

7
Suites adjacentes et lemme  des gendarmes 
Soient deux suites (un)n et (vn)n de nombres
réels telles que

• Pour tout n dans N, les nombres
• un, un1, vn1, vn sont rangés dans cet
• ordre (croissant)
• 2. La suite (vn-un)n converge vers 0

Les deux suites (un)n et (vn)n sont dites
adjacentes
Lemme des gendarmes  deux suites de nombres
réels adjacentes sont toutes deux convergentes
vers un même nombre réel 
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Suites  pincées  et lemme  des gendarmes  bis
Soient trois suites (un)n , (vn)n (wn)n de
nombres réels telles que

• Pour tout n dans N, les nombres
• un , vn , wn sont rangés dans cet
• ordre (croissant)
• Les suites (un)n et (wn)n convergent vers la
• même limite l

La suite  pincée  (vn)n converge alors aussi
vers l
9
Limites et opérations

• lim (un) l et lim (vn)l lim (unvn)
  ll
• lim (un) l et lim (vn) l lim (un vn)
  l l
• lim (un) l et l _ 0 lim
  (1/un) 1/l
• lim (un) l
  lim (un) l

() un est forcément non nul pour n assez grand
10
Sous-ensembles ouverts
Un ouvert U de R est un sous-ensemble voisinage
de chacun de ses points, ce qui signifie
Pour tout x dans U,
il existe un intervalle ouvert borné Ix
contenant x et inclus dans U

x
U
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Sous-ensembles fermés
Un sous-ensemble F de R est dit fermé si et
seulement si son complémentaire est ouvert.
12
Intérieur, adhérence, frontière dun
sous-ensemble E de R
o Lintérieur E dun
sous-ensemble E de R est le plus grand
sous-ensemble ouvert de R inclus dans E
_ Ladhérence E dun
sous-ensemble E de R est le plus petit
sous-ensemble fermé de R contenant E
_ o Frontière
de E E \ E
13
Caractérisation de ladhérence
Un point x de R est adhérent à un sous-ensemble
E si et seulement si on peut latteindre comme
limite dune suite de points de E.
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La droite numérique  achevée 
R
- linfini
linfini
Adjonction à R de deux éléments
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La droite numérique  achevée (une autre
manière de procéder)
m
R
0
x
Linfini
Adjonction à R dun élément
16
Retour au premier point de vue (deux points à
linfini)
Une suite (un)n de nombres réels tend vers
 plus linfini  si et seulement si
Pour tout A gt 0 ,
il existe un entier NN(A) dans N tel que
n r N(A)
un r A
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Une suite (un)n de nombres réels tend vers
 moins linfini  si et seulement si
Pour tout A gt 0 ,
il existe un entier NN(A) dans N tel que
n r N(A)
un b - A
18
Attention aux formes indéterminées !
?
n2 n
?
(log n) /n (1/n) x log n
quand n tend vers linfini
Lim (a0 np a1 np-1 ap)
linfini si a0 gt 0
- linfini si a0 lt 0
19
(No Transcript)
20
Fin du chapitre 5