La disjonction : R ou S

1
CHAPITRE 10
Equations différentielles
2
Equations différentielles
ordre 1
F ( t , y(t) , y(t)) 0 , t e I
vitesse
Temps
position
F ( t , y(t) , y(t) , y (t)) 0 , t e I
ordre 2
accélération
3
Equations linéaires dordre 1
y (t) a(t) y(t) b(t) , t e I
(a et b fonctions continues de I dans R ou C)

Condition  initiale  y(t0) y0
(t0 e I , y0 e R ou C)
4
Lapproche numérique méthode dEuler

• Se fixer des conditions initiales t0, y0
• Choisir un pas de temps t

• Choisir T  durée de vie  tel que t0, T soit
  inclus dans I

approximation de y(t0 nt)
ut,0 y0 ut,n1 ut,n t ( a(t0 nt) ut,n
b(t0nt)) (tant que t0 nt
b T)
5
Le théorème de Cauchy
Hypothèses
- I intervalle ouvert de R - a et b fonctions
continues de I dans R (ou C) - t0 e I y0
e R ou C (données initiales)
Conclusion
Il existe une unique courbe intégrale de
léquation différentielle y(t) a(t) y(t)
b(t) passant par le point (t0,y0)
Il existe une unique fonction y I ? R (ou C)
telle que y (t) a(t) y(t) b(t)
pour t dans I y(t0) y0 (condition
initiale)
6
Lattaque du problème étape 1 résolution de
léquation homogène
Y 0
y (t) a(t) y(t) b (t)
Y constante
t
!
A (t) a(t) dt
t0
fonction auxiliaire Y(t) y(t) exp (-A (t))
1 degré de liberté
y (t) C exp (A (t))
7
Lattaque du problème étape 2 recherche
dune solution particulière de léquation
complète
y (t) a(t) y(t) b (t)
variation de la constante
y (t) C(t) exp (A (t))
(C(t) a(t) C(t)) exp(A(t)) a(t) C(t) exp
(A(t)) b(t)
t
C (t) b(t) exp (-A (t))
C(t) C !b(u) exp (-A(u)) du
ypart (t)
exp(A(t))
t0
8
Le bilan final
Solutions de léquation y(t)a(t) y(t) b(t)
avec condition initiale y(t0) y0
y(t) exp(A(t)) ( C !b(u) exp(-A(u)) du )
t
z0
t0
z0y0 exp(-A(t0))y0
Condition initiale y(t0) y0
9
Les équations de J. Bernouilli
y(t) a(t) y(t) b(t) y(t)a (a e R
\ 0,1)
z(t) (1-a) a(t) z(t) (1-a) b(t)
Condition initiale y(t0) y0 gt 0
z(t0) y01-a
Fonction auxiliaire z(t) y(t) 1-a
10
Equations linéaires dordre 2
y (t) a(t) y(t) b(t) y(t) c(t) , t e I
(a,b,c fonctions continues de I dans R ou C)

Conditions  initiales  y(t0) y0
y(t0)v0
(t0 e I , y0 , v0 e R ou C)
11
Un exemple de motivation une cellule
electronique dordre 2
i ?
(UA UC ) (t) R i(t) L di/dt
c (UC-UD) (t) i (t)
f(t) UA UB (t)
y(t) Uc UD (t)
Lc y (t) R c y(t) y(t) f(t)
12
Lapproche numérique méthode dEuler

• Se fixer des conditions initiales t0 , y0 , v0
• Choisir un pas de temps t

approximation de y(t0 nt)

• Choisir T  durée de vie  tel que t0, T soit
  inclus dans I

ut,0 y0 , ut,1y0 t v0 ut,n2 ut,n
(t2 b(t0nt) t a(t0nt)-1)
ut,n1 ( t a(t0 nt) 2) t2 c(t0nt)
(tant que t0 nt b T)
13
Le théorème de Cauchy
Hypothèses
- I intervalle ouvert de R - a , b , c fonctions
continues de I dans R (ou C) - t0 e I y0
, v0 e R ou C (données initiales)
Conclusion
Il existe une unique fonction y I ? R (ou C)
telle que y (t) a(t) y(t) b(t) y(t)
c(t) pour t dans I y(t0) y0 , y(t0)v0
(conditions initiales)
Il existe une unique courbe intégrale de
léquation différentielle y(t) a(t) y(t)
b(t) y(t) c(t) passant par le point (t0,y0)
et ayant au point (t0,y0) une tangente de pente
v0
14
Le cas  à coefficients constants 
Hypothèses
- I intervalle ouvert de R - a , b e R ou C , c
fonction continue de I dans R (ou C) - t0 e I
y0 , v0 e R ou C (données initiales)
Conclusion
Il existe une unique fonction y I ? R (ou C)
telle que y (t) a y(t) b y(t) c(t)
pour t dans I y(t0) y0 , y(t0)v0
(conditions initiales)
Il existe une unique courbe intégrale de
léquation différentielle y(t) a y(t) b
y(t) c(t) passant par le point (t0,y0) et
ayant au point (t0,y0) une tangente de pente v0
15
Lattaque du problème étape 1 résolution de
léquation homogène
y(t) a y (t) b y(t) 0 , t e R
a , b e C
?
y(t) exp ( w t) solution ?
w2 a w b 0
X2 a X b 0 (équation caractéristique)
(X- w1) (X-w2)
cas 1 a2 4 b non nul
w1 et w2 distinctes
y C1 exp(w1t) C2 exp (w2 t) OK

cas 2 a2 4 b 0
y C1 exp(w t) C2 t exp (w t) OK
w1 w2 w
16
Lattaque du problème résolution de léquation
homogène (cas complexe (2))a , b complexes
conditions initiales (y0 , v0 e C)
cas 1 a2 4 b non nul
w1 et w2 distinctes
y C1 exp(w1t) C2 exp (w2 t) OK
y1(t)
y2(t)
cas 2 a2 4 b 0
y C1 exp(w t) C2 t exp (w t) OK
y2(t)
y1(t)
w1 w2 w
C1 y1(t0) C2 y2(t0) y0 C1 y1(t0) C2
y2(t0) v0
solution (C1,C2) unique !!

système de Cramer !
17
Lattaque du problème léquation homogène dans
le cas réel (1)
l a/2 gt0 oscillations amplifiées
l a/2 lt0 oscillations amorties
y(t) a y (t) b y(t) 0 , t e R
a , b e R
X2 a X b 0 (équation caractéristique)
(X- l1) (X-l2)
cas 1 a2 4 b gt 0
inf(lj)gt0  explosion 
y C1 exp(l1t) C2 exp (l2 t) OK
l1 et l2 réels distincts
sup(lj)lt0  extinction 
cas 2 a2 4 b 0
lgt0  explosion 
y C1 exp(l t) C2 t exp (l t) OK
l racine réelle double

cas 3 a2 4 b lt 0
llt0  extinction 
y exp(l t) (C1 cos(wt) C2 sin (w t)) OK
racines l /- i w
18
Lattaque du problème résolution de léquation
homogène (cas réel (2))a , b réels conditions
initiales (y0 , v0 e R)
cas 1 a2 4 b gt 0
y1(t)
y2(t)
y C1 exp(l1t) C2 exp (l2 t) OK
cas 2 a2 4 b 0
y C1 exp(l t) C2 t exp (l t) OK
y1(t)
y2(t)
cas 3 a2 4 b lt 0
y C1 exp(l t) cos (w t) C2 exp (l t) sin (w
t) OK
y1 (t)
y2 (t)
C1 y1(t0) C2 y2(t0) y0 C1 y1(t0) C2
y2(t0) v0
solution (C1,C2) unique !!

système de Cramer !
19
Recherche dune solution particulière de
léquation  avec second membre 
!
t
y2 (u) c(u) C1(u)
- ------------------
(y1 y2 y2 y1)(u)
y1 (u) c (u) C2(u)
------------------ (y1
y2 y2 y1)(u)
du
C1(t)
I . Méthode de  variation des constantes
y(t)a y(t) b y(t) c(t)
c(t)
t0
!
t
OK dès que
système de Cramer !
C2(t)
du
C1 y1 C2 y2 0 C1 y1 C2 y2 c
Solution unique (C1,C2)
t0
y(t) C1 y1(t) C2 y2(t)
C1(t)
C2(t)
ypart(t)
20
Bilan la solution du problème de Cauchy
(cond. initiales y0,v0)
solution générale de léquation y(t) a y(t)
by(t)0
!
t
c(u) (y1(u) y2 (t) y2 (u) y1 (t)) --------------
---------------------- du y1(u) y2(u)
y2(u)y1(u)
y (t) C1 y1(t) C2 y2 (t)
t0
C1 y1(t0) C2 y2 (t0) y0 C1 y1(t0) C2
y2(t0) v0
solution particulière de léquation y (t) a
y(t) b y(t) c(t)
21
Remarque II. Une autre méthode pour la recherche
dune solution particulière de y(t) a y(t)
by(t) c(t)
Si le second membre c est de la forme P(t)
exp(w t) , w e C P(t) cos (wt) , w e R P(t)
sin (wt) , w e R
On cherche une solution particulière de la forme
ypart(t) Q (t) exp (wt), deg (Q) b deg (P)
2
(par exemple par identification)
22
Fin du chapitre 10