BILAN THERMIQUE

1
BILAN THERMIQUE
Conduction dans les solides   MISE EN EQUATION DU
BILAN THERMIQUE
SOMMAIRE
PAGES
Introduction Mise en équation du bilan
thermique Cas simple du système cartésien
monodimensionnel cas du mur Coordonnées
cylindriques à symétrie axiale Cas simple des
coordonnées cylindriques à symétrie axiale avec L
gtgt R Cas simple des coordonnées sphériques à
symétrie centrale
2
3
10
11
12
13
RETOUR
Denis BARRETEAU Jean - Stéphane CONDORET Nadine
LE BOLAY
SOMMAIRE GENERAL
2
Introduction
2
Retour
INTRODUCTION
sommaire
Dans ce chapitre, nous allons établir léquation
de conservation de lénergie thermique par bilan
sur un élément de volume.
Chaque terme du bilan sera explicité, puis nous
nous intéresserons à des cas simples, comme un
volume plan ou un volume cylindrique.
3
Mise en équation
3
Retour
MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE
sommaire
Ecrivons la conservation de l'énergie thermique
dans un élément de volume de solide quelconque V
P
flux de chaleur entrant
- flux de chaleur sortant
flux de chaleur générée
accumulation d'énergie interne
4
4
Retour
La chaleur entre dans lélément et en sort par
conduction.
sommaire
On définit le vecteur normal unitaire orienté
vers l'extérieur
Alors
flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant

flux de chaleur à travers la surface
Remarque Le signe moins est dû au fait que la
normale est dirigée vers l'extérieur et que, par
convention, tout ce qui entre dans le volume V
est compté positivement.
5
5
Retour
sommaire
P est la puissance générée (au sens large) par
unité de volume en J.s-1.m-3. Elle peut être
générée dans lélément par dégradation dénergie
électrique (effet joule), par fission ou comme le
résultat dune réaction chimique.
flux de chaleur générée
Il est compté positivement si il génère de
l'énergie, et négativement si il en consomme.
6
6
Retour
sommaire
Si U représente l'énergie interne par unité de
masse
accumulation d'énergie interne
Dans le cas d'un solide, l'énergie interne par
unité de masse U s'écrit
7
7
Retour
Le bilan de conservation de l'énergie thermique
sommaire
devient alors
En transformant l'intégrale de surface en
intégrale de volume (théorème de
GREEN-OSTROGRADSKI) et en revenant à l'élément
différentiel, on écrit alors
démonstration
8
8
Retour
sommaire
Dans l'équation générale que nous venons de
démontrer
est la densité de flux thermique, par conduction
dans le cas de solides qui s'exprime par la loi
de Fourier
9
9
Retour
sommaire
Ces équations seront écrites dans les
configurations géométriques habituelles, en
utilisant les expressions des div et grad
adaptées.
les équations ci-dessus conduisent à
10
Cas du mur
10
Retour
CAS SIMPLE DU SYSTEME CARTESIEN MONODIMENSIONNEL
CAS DU MUR
sommaire
Considérons le mur représenté ci-dessous
Dans léquation générale
seule la variable x intervient.
Il reste
11
Cylindre
11
Retour
COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE
sommaire
Léquation générale sécrit dans ce cas
12
L gtgt R
12
Retour
CAS SIMPLE DES COORDONNEES CYLINDRIQUES A
SYMETRIE AXIALE AVEC L gtgt R
sommaire
Dans léquation générale
la variable z n'intervient plus. On a donc
13
sphère
13
Retour
CAS SIMPLE DES COORDONNEES SPHERIQUES A SYMETRIE
CENTRALE
sommaire
r
Léquation générale sécrit dans ce cas
Les résultats présentés précédemment ont été
obtenus d'une manière purement mathématique,
certes élégante, mais peut être difficile à
raccrocher au sens physique.
Vous trouverez sous ce lien une démonstration par
bilan direct sur un élément différentiel (ici le
cas cylindrique). On retrouve les résultats de
l'équation générale, après adaptation et
simplification, mais on visualise mieux la
démarche.
démonstration
FIN CHAPITRE