Contexte historique et religieux des mathmatiques en Inde

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Contexte historique et religieux des
mathématiques en Inde
Trois grands mathématiciens de cette époque

• Les mathématiques indiennes (particulièrement
  étudiées par les religieux) se manifestent
  brillamment dès le Ve siècle avec
• ARYABHATA
• - affirmation de la rotation de la terre
  alors considérée immobile au centre de l'univers
  (Ptolémée/Aristote),
• - extraction des racines carrées et
  cubiques,
• - résolution déquations diophantiennes,
• - utilisation dun système décimal
  positionnel où zéro apparaît implicitement (?)
• BRAHMAGUPTA
• - invention du zéro liée à l'usage d'un
  système décimal positionnel,
• - règles des signes relatives à la
  multiplication
• BHASKARA
• - a utilisé correctement le zéro,
• - a effectué des calculs avec l'infini et
• - a manié avec facilité les opérations sur
  les racines carrées.

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Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTA

• Classification des mathématiques indiennes
• Les mathématiques pratiques
• - construction régulière (carré, disque,
  trapèze, triangle, etc.)
• - quadrature du cercle, approximations de
  nombres irrationnels
• - triangles rectangles à côtés entiers
  (propriété de Pythagore).
• Les mathématiques théoriques  
• - calcul élémentaire
• - études et résolution déquations
• - calculs trigonométriques. 

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Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTA

• Qui est BRAHMAGUPTA ?
• IL est né dans le nord-ouest de l'Inde en 598 à
  Multan (Pakistan) (?)
• Il dirigeait un observatoire astronomique à
  Ujjain.
• Il a écrit deux livres
• Son premier livre Brahma-sphuta-siddhanta ,
  écrit en 628 à lâge de 30 ans, contient 25
  chapitres de mathématiques.
• Définition du zéro résultat de la
  soustraction d'un nombre par lui-même,
• Il explique la notion décimale de la position
  en utilisant les neuf chiffres et le zéro,
• On trouve la règle des signes sur les biens
  (positifs), les dettes (négatifs) et le néant
  (zéro),
• Il donne une méthode de calcul la gomutrika
  ,
• Il généralise la formule de Héron dAlexandrie,
• Il nous lègue une identité qui porte son nom,
• Il a utilisé la barre de fraction et effectué
  des réductions au même dénominateur pour des
  sommes de fractions,
• Il a commencé à utiliser la notion d'inconnue
  qu'il appelle  ya , (?)
• Il étudie des équations diophantiennes,
• Il a aussi utilisé une technique qui
  s'apparente à un logarithme de base 2,
• Il a établi une règle d'interpolation que
  développera Newton plus tard,
• Son deuxième livre  Khandakhadyaka a été écrit
  à lâge de 67 ans,
• Il avait poursuivi ainsi les travaux
  dARYABHATA (476-550) sur des cas particuliers
  déquations dinconnues entières du type ax by
  c

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Apports de BRAHMAGUPTA

• Arithmétique des nombres négatifs et de zéro
• BRAHMAGUPTA est le premier à présenter, par des
  calculs de pertes et de profits, des règles sur
  les nombres négatifs. Ayant défini le zéro comme
  le résultat de la soustraction dun nombre par
  lui-même, il lui associe ces règles de calculs 
• - Zéro soustrait de zéro est zéro
• - Zéro soustrait dune dette est une
  dette
• - Zéro soustrait dun bien est un
  bien
• - Une dette soustraite de zéro est un
  bien
• - Un bien soustrait de zéro est une
  dette
• - Le produit de zéro multiplié par
  une dette ou un bien est zéro
• - Le produit ou le quotient de deux
  biens est un bien
• - Le produit de zéro multiplié par
  zéro est zéro
• - Le produit ou le quotient de deux
  dettes est un bien
• - Le produit ou le quotient d'une
  dette et dun bien est une dette
• - Le produit ou le quotient dun bien
  et d'une dette est une dette.
• (?) Grâce à Al-Fazari qui avait traduit vers 771
  louvrage de Brahmagupta en arabe, ces nouveaux
  concepts mathématiques auront une grande
  répercussion sur la science dans le monde
  musulman des VIIIe et IXe siècle et par la suite
  dans le monde occidental.

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Évolution des nombres négatifs

• (780 850) (?) Al Khawarizmi accepte les termes
  négatifs dans les équations mais sattache à
  sen débarrasser au plus vite.
• (1445 -1500) Le français Nicolas Chuquet est un
  des premiers à isoler une valeur négative dans
  une équation avant le mathématicien italien
  Gerolamo Cardano (1501 - 1576).
• 1591, François Viète (1540 - 1603) avait aussi
  écarté les solutions négatives des équations.
• 1629, Albert Girard avait admis lexistence de
  racines négatives ou imaginaires dans une
  équation.
• 1637, René Descartes (1596 -1650) qualifie de
  moindres que rien de telles solutions (2).
• 1715, Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 -1736)
  avait conçu en 1715 un thermomètre pourvu dune
  graduation évitant les températures négatives.
• 1742, Anders Celsius (1701- 1744) navait pas
  pris en compte les négatifs en mettant au point
  son thermomètre à mercure gradué entre 0 et 100
  degrés.
• Il a fallu attendre lécossais Colin Maclaurin
  (1698 - 1746) puis le suisse Leonhard Euler (1707
  - 1783) pour voir apparaître des axes aux
  coordonnées positives et négatives.
• 1746, le français Alexis Clairaut (1713 - 1765)
  donne quelques-unes de ces règles et exprime la
  nuance entre le signe dun nombre et celui de
  lopération.
• 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) dans
  son Cours danalyse de lÉcole royale
  polytechnique définit les nombres relatifs
  comme une partie numérique précédée dun signe
  ou dun signe -.
• Enfin, lallemand Hermann Hankel (1839-1873)
  donna aux nombres et en particulier aux nombres
  relatifs le statut dobjet formel obéissant à des
  règles préétablies.

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Apports de BRAHMAGUPTA

• Sa méthode de calcul Gomutrika
• Aire dun quadrilatère inscrit dans un cercle
• Identité de Brahmagupta
• Méthode de calcul  la Gomutrika
• Dans son premier ouvrage, Brahmagupta avait
  présenté une méthode de calcul,
• quil avait nommée  Gomutrika dont la
  traduction est la trajectoire de lurine dune
  vache .
• Cette dernière est semblable à celle que nous
  utilisons encore de nos jours.

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Aire dun quadrilatère inscriptible
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Lidentité de Brahmagupta 
Apports de BRAHMAGUPTA

• En mathématiques, l'identité de Brahmagupta dit
  que le produit de deux nombres, égaux chacun à
  une somme de deux carrés, est lui-même une somme
  de deux carrés.
• Précisément 

• Cette identité peut facilement être vérifiée en
  développant les termes à gauche et à droite 

• Elle est très utilisée pour les entiers.

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Lidentité de Brahmagupta

• Par la suite Euler a élargi cette identité à
  lidentité des quatre carrés, énonçant que
• le produit de deux nombres, chacun étant la somme
  de quatre carrés, est lui-même
• une somme de quatre carrés .

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Apports de BRAHMAGUPTA

• Le parcours du zéro
• Avant le zéro, quand un marchand d'esclaves
  achetait cinq esclaves qu'il revendait par la
  suite, il disait il me reste cinq moins cinq
  esclaves.
• On était incapable d'exprimer le nul, le rien,
  par un signe symbolique.
• Cest le chiffre qui est apparu en dernier.
  Celui-ci était nommé sifr en arabe qui
  signifiait vide .
• On imagine difficilement la somme d'efforts qu'il
  a fallu déployer pour circonscrire le concept de
  zéro. Essayez donc de figurer  quelque chose 
  là où il n'y a  rien  !
• Selon les Grecs, le nombre zéro est en quelque
  sorte un nombre associé au vide, au néant.
• C'est seulement au Ve siècle après JC., que l'on
  voit apparaître, chez les Indiens, le zéro à la
  fois comme chiffre et comme nombre.

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Le parcours du zéro

• 5.1. Repère chronologique

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Repère chronologique

• Il a fallu attendre le VIIIe siècle pour voir le
  zéro apparaître dans le monde arabe. Il fut
  introduit par un astronome indien à la cour du
  calif Al-Mansur, à Bagdad en même temps que tout
  le système de numération indien.
• Ce n'est quà partir du XIIe siècle que le zéro
  commença à se répandre en Occident, grâce
  notamment à la traduction du livre d'arithmétique
  publié en 820 par le grand mathématicien
  El-Khawarizmi.
• Mais, durant tout le Moyen-Âge on discuta encore
  en Occident pour savoir si le zéro était
  seulement un chiffre ou pouvait être considéré
  comme un nombre.
• Finalement, son statut de nombre fut admis par
  tous. Et l'on ajouta le zéro à ce que l'on
  appelle les entiers naturels. Avant d'être
  considéré comme un chiffre, il avait en effet
  pour but de remplir les vides.

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Apports de BRAHMAGUPTA

• ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES
• Un des premiers mathématiciens à avoir considéré
  ce genre de question est Diophante dAlexandrie
  (325409).
• La traduction, par Bachet de Méziriac (15811638)
  de la partie de ses uvres qui était parvenue
  dans le monde occidental grâce aux mathématiciens
  arabes a été la source dinspiration de Fermat
  (16011665).
• Léquation diophantienne y2 - dx2 1 dont les
  inconnues x et y sont dans Z, où d est un entier
  positif qui nest pas un carré, porte le nom de
  PellFermat, mais c'est une erreur due à Euler
  qui lui attribua faussement son étude.
• Pourtant elles ont été étudiées par le
  mathématicien indien Brahmagupta (598670) bien
  avant Pell (16111685) et Fermat. Ce
  mathématicien indien sest attaqué dabord aux
  équations du type Nx2 k y2 et a donné une
  manière dobtenir des solutions à partir dun
  couple de solutions connu. Il a trouvé la plus
  petite solution en entiers positifs de léquation
• x2-92y2 1,
  qui est (x, y) (1 151, 120)

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ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

• Au XIIe siècle Bhaskara ( indien) a trouvé pour
  léquation
• x2-61y2 1
• (qui sera plus tard considérée par Fermat) la
  solution
• (x, y) (1 766 319 049, 226 153 980).

• Plus tard Narayana (1340 1400), qui est aussi
  dorigine indienne, a obtenu pour x2-103y2 1
  la solution (x, y) (227 528, 22 419).
• Ses résultats étaient totalement inconnus des
  mathématiciens européens du XVIIe siècle, et
  c'est Fermat qui remit cette équation au goût du
  jour, conjecturant qu'elle avait toujours une
  infinité de solutions.
• Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard,
  qui utilisera pour résoudre cette équation la
  théorie des fractions continues pour obtenir une
  nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait
  !