III. IDENTIFICATION

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III. IDENTIFICATION PARAMETRIQUE
DES SYSTEMES LINEAIRES

• Le processus de lidentification paramétrique

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1. MOINDRES CARRES RECURSIFS
Admettons pour le moment que la perturbation
v 0
Choisissons les degrés m et n du numérateur et du
dénominateur de la FT du
système à modéliser.
Forme du modèle
Soient
les valeurs associées aux paramètres durant la
période t c.à.d durant t-1, t
t-1
t
Prédiction de la valeur de y(t)
(1)
Vecteur des paramètres
En posant
Regresseur
(1) ?
Prédiction
3
Erreur de prédiction
(2)
Soit
(3)
où ai facteurs de pondération
Critère
Or (3) ?
(4)
et (4) ?
4
Si la matrice
(5)
est inversible, on tire
(6)
Mais (6) est non récursive. Elle nécessite

• la mémorisation de tous les j(i), i 1, , t,
• linversion de la matrice P-1(t).

Expressions récursives
gt
(7)
gt
Il reste à trouver une relation récursive pour
P(t)
5
(8)
Pour éviter les inversions, on utilise le
Pour A P-1(t-1), B j(t), C at et D jT(t),
et si P-1(t-1) est inversible, (8) ?
ou
(9)
Remarque si P-1(t-1) inv. gt P-1(t),
P-1(t1),... inv.
6
Algorithme du moindre carré récursif
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INTERPRETATION du MCR PAR KALMAN CONVERGENCE DU
MCR
En supposant que le système reste invariant entre
t et t1,
et
lécart bt.n(t) provient de limprécision du
modèle et de mesure n(t) aléatoire de moyenne
nulle et de variance s2 bt facteur qui diminue
quand linformation sur q augmente
Les équations précédentes sont détat avec
Appliquons Kalman
8
En posant
on retrouve
()
les mêmes relations quen MCR
On déduit les propriétés suivantes
9
1)
2)
gt trP(t) est une mesure de lerreur
destimation en t
3)
trP(t) décroissante. En effet
Trace de
gt 0 car
(1) gt trP(t1) lt trP(t)
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4)
En effet
trP(t) décroissante et bornée par 0 L ?
(limite)
Lalgorithme MCR converge en moyenne quadratique
vers les vrais paramètres en admettant que le
modèle représente correctement la dynamique du
système.
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Initialisation du MCR
et au lieu de P(0) qui nexiste pas car P-1(0)
0, on pose P(0) P0 c.I c grand (1000)
et I matrice unitaire
(d 0.001)
P-1(0) d.I
et, daprès (5) et (6), MCR donne
Comme les éléments diagonaux de j(i).jT(i)
jk2(i) gt 0, ? devient rapidement négligeable.
Choix des facteurs de pondération ai
a) Cas dun système invariant
En principe on donne la même importance à toutes
les périodes
? ai 1 ?i. Mais pour accélérer la
convergence, on prend
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b) Cas dun système variant
b(t,i) est dautant plus faible que i est loin de
t.
(5) et (6) deviennent
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(10) et (11) ?
Donc la relation
du MCR
doit être remplacée par
Choix de at et l(t)
1) Si q varie lentement ? at 1 et l(t) l
cte
1
b(t,i)
t-i
2) Si q varie rapidement il faut pouvoir le
suivre gt les pas ditération doivent rester
grands gt trP(t) ne doit pas diminuer
On procède comme suit
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a) On pose l(t)/at k cte arbitraire mais
dautant plus
faible que q est rapide
b) On détermine l(t) en résolvant à chaque pas
trP(t) trP(t-1) tr
c.a.d
()
ou
et non à lerreur destimation.
Or, au départ, cest lerreur destimation qui
lemporte.
Remède 1) On commence par supposer que le
système est invariant jusquà linstant t0
où trP(t0) lt (mn).c, 0 lt c lt 4.
Typiquement, c 2. 2) On applique () à partir
de t0.
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• A linstant t, on lit les valeurs de y(t) et de
  u(t).
• 2) Durant létape t1, cest-à-dire entre t et
  t1, on effectue successivement les
  opérations suivantes

c) Si t gt t0, on passe à f).
e) Si trP(t) (n m).c, on pose t0 t et tr
trP(t), on passe à h).
.
i) ?T(t1) -y(t), ?1(t),., ?(n-1)(t), u(t),
?(n1)(t),., ?(nm-1)(t).
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S-function mcri
function sys,x0,str,ts mcri(t,x,v,flag,n,m,lam
da,dt)
MCRI est une fonction-S pour estimer les
paramètres d'un système linéaire invariant non
perturbé. Les arguments t, x, v et flag sont
introduits à chaque pas par simulink. t
instant du simulateur v u(t),y(t)' entrée
à l'instant t x thetaP()phialpha
vecteur colonne contenant les estimations des
paramètres, les éléments de la matrice P, le
vecteur phi et le facteur alpha à l'instant t.
flag code qui indique à la fonction-S ce
qu'elle doit associer à sys. Les paramètres
à introduire dans la fenêtre du bloc mcri sont
n et m les degrés respectivement du
dénominateur et du numérateur, lamda le
facteur d'oubli et dt la période
d'échantillonnage. Voir SFUNTMPL pour la
signification des valeurs de flag.
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r nm  if flag 2 associe à
sys le nouveau état x(t1). theta
x(1r) P zeros(r,r) P()
x(r1r(r2)) phi x(r(r2)12r(r2))
alpha x(2r(r2)1) u v(1) y v(2)
epsilon y - theta'phi den (1/alpha)
phi'Pphi nvP P - (Pphiphi'P)/den
nvtheta theta alphanvPphiepsilon nvphi
-y phi(1n-1)uphi(n1r-1) nvalpha
1 - amda(1 - alpha) sys nvthetanvP()nvp
hinvalpha
elseif flag 0 dimensions
et initialisation. dimensions sys(1)
0 pas d'états continus.
sys(2) 2r(r2)1 dimension de x 
sys(3) r1 dimension de la
sortie theta trace. sys(4) 2
dimension de l'entrée v. sys(5) 0
pas de racines a
déterminer. sys(6) 0
l'entrée ne sera pas lue durant flag 3. sys(7)
1 la periode
déchantillonnage est
toujours la même
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initialisation P 1000eye(r) x0
zeros(r,1)P()zeros(r,1)0.98 str
c'est toujours vide.
ts dt 0 calcul aux
instants nT sans décalage.
elseif flag 3 définition
de la sortie. P zeros(r,r) P()
x(r1r(r2)) tr trace(P) sys
x(1r)tr c'est-à-dire theta
et la trace de P. sys sys() else
sys les autres
flags n'ont pas de rôle ici. end
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a) Identification dun système variant sur
SIMULINK