Systmes de particules, masseressorts, contraintes, solides

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Systèmes de particules,masse-ressorts,contrainte
s,solides

• Nicolas Holzschuch
• Cours dOption Majeure 2
• Nicolas.Holzschuch_at_imag.fr

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Plan du cours

• Systèmes de particules
• Systèmes masse-ressort
• Contraintes
• Animations de solides

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Sources

• Très inspiré par le cours
• A. Witkin D. Baraff, Physically Based
  Modelling, cours à Siggraph 2001
• http//www.pixar.com/companyinfo/research/pbm2001/
  index.html
• (pointeur sur la page web)
• Et surtout
• Particle Dynamics
• Rigid Body Dynamics
• Constrained Dynamics

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Systèmes de particules

• Ensemble de particules
• Position, vitesse, masse
• Déplacement équations de la dynamique
• Somme des forces masse accélération
• Générateur source de particules
• Durée de vie limitée
• Très utiles pour
• Poussière, fumée, étincelles, flammes, liquides

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Déplacement dune particule

• Masse m, position x, vitesse v
• Équation différentielle

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Équation différentielle

• Pour une particule

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Pour toutes les particules
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Implémentation

• Structure particule
• Masse m, position x, vitesse v,force f
• Version simple
• typedef struct
• float m
• float x3
• float v3
• float f3
• Particule
• Vecteur global particules stocke toutes les
  particules

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Version moins simple

• Tableau des positions
• Particule index i dans tableau des positions X
• Xi0 ? particule.position.x
• Xi1 ? particule.position.y
• Xi2 ? particule.position.z
• Xi3 ? particule.vitesse.x
• Xi4 ? particule.vitesse.y
• Xi5 ? particule.vitesse.z
• Calcul de la fonction dérivée
• Fi0 ? particule.vitesse.x
• Fi1 ? particule.vitesse.y
• Fi2 ? particule.vitesse.z
• Fi3 ? particule.force.x/mi
• Fi4 ? particule.force.y/mi
• Fi5 ? particule.force.z/mi

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Quel genre de force ?

• Force est une structure
• Calcule la fonction dérivée pour chaque particule
• Somme des forces dans particule.force
• Vecteur global Forces pour toutes les forces
• Forces
• Unaires, binaires, à distance
• Constantes, dépendant de position, vitesse

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Force unaire gravitation

• Lié seulement à la masse de la particule
• f(X,t) constante
• Fumée, flammes la gravité pointe vers le haut!

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Forces amortissement

• La force ne dépend que de la vitesse
• Amortissement visqueux
• Force qui soppose au mouvement
• Fait baisser lénergie stabilise le système
• En petites quantités, stabilise la solution EDO
• Grandes quantités freine tout, mélasse

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Forces champs vectoriels

• La force ne dépend que de la position
• Fonctions quelconques
• Vent
• Courants
• Attractions/répulsions
• Tourbillons
• Éventuellement dépendant du temps
• Note augmente lénergie du système, besoin
  amortir

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Forces attraction spatiale

• Par exemple Lennard-Jones
• O(N2) pour tester toutes les paires
• Faible rayon daction en général
• Tests par buckets spatiaux

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Lennard-Jones

• Interaction entre molécules (Van der Waals)
• Attraction en 1/r6, répulsion en 1/r12
• Fluides, écoulements
• Rapport s1/s2 attraction, répulsion, équilibre
• Dérivée du potentiel force de Lennard-Jones

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Lennard-Jones
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Forces ressort

• Force classique des ressorts
• f(xi)-k(xi-x0)
• Particule attirée par le point x0
• Ressort de longueur nulle à léquilibre

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Collisions

• Pas de collisions entre particules
• Collisions avec lenvironnement (sol, murs)
• Itération dépasse la collision
• Pénétration
• Recul ou interpolation

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Effet dune collision

• Vitesse tangentielle inchangée
• Vitesse normale retournée
• Coefficient de restitution

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Origine des particules

• Générateurs
• Attachés au modèle
• Flux de création particules/seconde
• tlast, date dernière création de particule
• Création n particules, tlastt si n gt 0
• Distribution (aléatoire) vitesse/position
• Si n gt 1, étalement de valeurs

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Durée de vie des particules

• Date de création pour chaque particule
• Durée de vie donnée
• Age de la particule
• Suppression des particules après la durée de vie
• Changement de couleur (refroidissement)
• Changement dopacité
• Parfois supprimer les particules qui sortent de
  lécran

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À chaque étape

• Ajuster létat des particules
• Éliminer les particules trop âgées
• Collisions
• Créer les nouvelles particules
• Recalculer les index des particules

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Systèmes de particules en pratique

• Grand nombre de particules 104, 105
• Code optimisé
• Travail direct dans les tableaux
• Tableau de taille fixé (nb. max particules)
• Pas besoin de création/destruction, marquer si
  actif
• Forces principales  en dur  (gravité)
• Méthode de résolution simple (Euler ?)
• À pas constant
• Un pas par image ?

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Plan du cours

• Systèmes de particules
• Systèmes masse-ressort
• Contraintes
• Animations de solides

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Systèmes masse-ressort

• Idem systèmes de particules
• Particules appelées  masses 
• Structure donnée
• Les masses font partie du modèle
• Pas de création, pas de destruction, pas dâge
• Ressorts qui relient les masses
• Les forces ne sont plus universelles
• Chaque force connaît les masses sur lesquelles
  elle agit

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Systèmes masse-ressort

• Points en ligne
• Cheveux, ressorts, chaines
• Points sur une surface
• Habits, tissus, peau
• Points dans un réseau 3D
• Structures semi-rigides
• Modèles souples, muscles,

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Quels ressorts ?

• Ressort vers un point fixe
• Attire la masse vers le point x0
• Oscillations autour de lorigine

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Ressort amorti

• Ressort plus freinage
• Suspension de voiture
• Ralentit les mouvements dans la direction du
  ressort

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Ressort amorti

• Rapport ks/kd détermine
• Sur-amortissement, sous-amortissement,
  amortissement critique
• si le système est isolé
• Toujours un certain amortissement

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Longueur au repos non-nulle

• Ressort avec longueur au repos non-nulle
• Pousse/tire la masse à une distance d de x0

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Ressort entre deux masses

• Symétrique
• Forces radiales
• Pousse/tire les masses à une distance d lune de
  lautre

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Construction avec masse-ressorts

• Connexion des masses pour modéliser
• Les objets peuvent se plier, sécraser, se tordre
• Liaisons supplémentaires pour rigidité
• Difficile davoir le bon comportement

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Masse-ressort

• On peut tout modéliser
• Tissus, solides, objets mous, semi-rigides
• Rigidité variable
• En théorie, cest parfait
• Si distance entre massesdist. intra-moléculaires
• En pratique, cest pas idéal
• Parfait si on ne veut modéliser que de la gelée
• Objets trop rigides
• Divergence, petit pas, temps de calcul prohibitif

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Modélisation énergétique

• Plus simple que modélisation masse-ressort
• Fonction énergétique générale
• Sapplique à tout le modèle
• Dépend de la position
• Décrit létat idéal
• Potentiel lié à cette énergie
• Force dérivant du potentiel
• Appliquée aux particules

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Modélisation énergétique

• Fonction de comportement
• Dépendant seulement de la position des points
• Pas de la vitesse
• C(x0, x1, , xn)
• C 0 à léquilibre
• Énergie de déformation liée à la fonction
• E 1/2 ks C2
• E 0, système à léquilibre
• E gt 0, énergie de déformation

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Force liée au potentiel

• Force - gradient de lénergie potentielle

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Force liée au potentiel

• Avec amortissement
• Description simple dun système complex
• Reste à écrire le potentiel

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Exemples ressort standard
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Exemples triangle daire constante
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Exemples, suite tissus

• Modèle 2D, à plat
• Coupé suivant le patron
• Assemblé (cousu) sur le modèle
• Contraintes le tissu résiste
• Étirement
• Pliage
• Directions privilégiées
• Fonction dénergie

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Plan du cours

• Systèmes de particules
• Systèmes masse-ressort
• Contraintes
• Animations de solides

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Contraintes multiples

• Contraintes
• Restriction sur la position dun objet
• Relation entre objets
• Contraintes permanentes
• Holonomes équation C() 0
• Articulations
• Contraintes temporaires
• Non-holonomes équation C() 0
• Contact, non-pénétration
• Limites aux articulations

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Masse-ressort ?

• Contraintes par ressorts pénalité
• Force de rappel vers position équilibre
• Pas idéal
• Si position correcte, force de rappel nulle
• Sil y a une autre force (gravité) on sécarte
• Besoin ressort de rappel très rigide
• Très instable
• Pas garanti que ça marche

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Satisfaction des contraintes

• Forces de contrainte
• Dabord calculer forces  normales 
• Gravité, ressorts, etc
• Puis calculer forces de contrainte
• Prise en compte de leffet des forces normales
• Plusieurs contraintes
• Chacune tient compte de leffet des autres
• Ajouter forces de contraintes aux autres forces
• Simulation normale

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Forces de contrainte

• Contrainte C(x) 0
• Positions autorisées C(x) 0
• Vitesses autorisée
• Accélérations autorisées
• Force supplémentaire (force de contrainte)
• Calculée pour vérifier

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Conservation de lénergie

• La force de contrainte ne doit modifier lénergie
  du système
• La force de contrainte ne doit pas travailler

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Cas à un corps perle sur un fil
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Cas général

• Vecteur des positions des particules q
• Matrice des masses M, inverse W
• Vecteur des forces Q
• Contrainte C(q)
• C vecteur à m éléments
• q vecteur à 3n éléments

49
Trouver la force de contrainte
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Stabilité numérique
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Plan du cours

• Systèmes de particules
• Systèmes masse-ressort
• Contraintes
• Animations de solides

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Solides

• Presque pareil que les particules
• m masse totale du solide
• r position du centre de gravité
• v vitesse du centre de gravité
• Plus termes de rotation
• J tenseur dinertie (matrice en 3D, scalaire en
  2D)
• q orientation du solide (angle en 2D, quat en
  3D)
• w vitesse de rotation (scalaire en 2D, vecteur
  en 3D)
• Coordonnées du solide
• Origine en r, rotation q par rapport au monde
• Pour tout solide, m et J décrivent mouvement

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Tenseur dinertie

• Déjà vu ?
• Description de la répartition des masses
• Densité r(r), r coordonnées par rapport au centre

3D
2D
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Examples (densité uniforme)

• Rectangle
• Disque
• Source de plein dexercices marrants

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Équation du mouvement des solides

• Équation du mouvement
• T est le couple
• Torque en anglais

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Couple (Torque)

• Chaque force f agit en un point du solide
• r vecteur du centre de gravité au point daction
• solide.F f
• Solide.T r?f
• Le moment fait tourner le solide
• Si la force agit au centre de gravité, moment nul
• Gravitation
• Si la force pointe vers le centre de gravité,
  moment nul
• f en r et -f en -r force nulle, couple non-nul

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Amortissement visqueux

• Dépend de la vitesse linéaire des points

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Collisions

• Collisions entre deux solides
• Point de collision et vecteur normal
• Pb complexe, nbx algorithmes
• Collision solide-particule
• Se ramener en coordonnées locales au solide
• Collision en coordonnées locales
• Impulsion sur le solide
• Rebond de la particule

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Impulsion

• Impulsion I, normale à la collision
• Effet de limpulsion

(2D)
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Résumé

• Systèmes de particules
• Fluides, poussière, flammes, fumée
• Oiseaux, poissons
• Systèmes masse-ressort
• Solides, tissus
• Énergie de déformation
• Solides
• Couple, moment, équation dynamique
• Contraintes sur les solides
• Impulsions

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Encore très peu

• Sujet à peine effleuré
• Contraintes de non-pénétration entre solides
• Quaternions pour les rotations
• Frottements solides