La voie intuitionniste

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La voie intuitionniste

• de Heyting à Kripke

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Système déductif (déduction naturelle)

• ?  de ?, A -- B
• on peut déduire 
• ? -- A ? B
• A, B -- A ? B
• A -- A ? B
• B -- A ? B

• A, A ? B -- B
• (modus ponens)
• A ? B -- A
• A ? B -- B
• de ?, A -- C et
• ?, B -- C
• on peut déduire 
• ?, A ? B -- C

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Système déductif (déduction naturelle)

• de ?, A -- B et ?, A -- ?B on peut déduire 
• ? -- ?A (red. à labsurde)
• de ? -- ?(x), où x est libre et napparaît pas
  dans ?, on peut déduire  ? -- ?x ?(x)
• ?(t) -- ?x ?(x)

• ?A, A -- B
• ?x ?(x) -- ?(t)
• de ?, ?(x) -- C, où x est libre et napparaît
  pas dans ?, on peut déduire ?, ?x ?(x) -- C

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Modèle de Kripke

• On définit une structure comme un triplet (e0, K,
  ?) où K est un ensemble, e0 un élément de K et ?
  une relation réflexive et transitive (un
  préordre) sur K
• Soit P un ensemble de variables
  propositionnelles, un modèle intuitionniste sur
  (e0, K, ?) est une fonction ?
• ? P?K ? V, F
• telle que
• Si ?(p, h) V et si h ? h, alors ?(p, h) V

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interprétation

• Linterprétation quon peut donner est celle dun
  mathématicien idéalisé dont on modélise
  lactivité mentale. Celle-ci se structure sous la
  forme de suites détats, pouvant se représenter a
  priori comme un arbre. K est donc lensemble des
  états de la connaissance et e0 est létat
  initial. La relation est simplement un
  ordonnancement des états.
• On fait lhypothèse dune croissance monotone des
  connaissances, de sorte que si deux états h et h
  sont tels que h?h et si Sh et Sh désignent les
  ensembles de propositions connues dans les états
  respectifs h et h, alors Sh ? Sh

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Valeur de vérité dune formule

• Comme dans le cas de la logique propositionnelle
  classique, on peut étendre la définition de ?,
  initialement définie seulement sur les
  propositions atomiques, à toute formule
  propositionnelle, au moyen de la définition
  récursive suivante
• a) ?(A?B,h) V ssi ?(A,h) ?(B,h) V
• b) ?(A?B,h) V ssi ?(A,h) V ou ?(B,h) V
• c) ?(A?B,h) V ssi pour tout h tel que h?h,
• ?(A,h) F ou ?(B,h) V
• d) ?(?A,h) V ssi pour tout h tel que h?h,
  ?(A,h) F

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commentaires

• (a) et (b) ne sont pas étonnants je connais A?B
  dans un état h si et seulement si, dans cet état,
  je connais à la fois A et B, idem pour A?B
• (c) signifie que A?B est connu dans un certain
  état si et seulement si dans cet état et dans
  tout état futur, on ne pourra pas connaître A
  sans connaître B
• (d) signifie que la négation de A est vraie dans
  un état si dans cet état et tous les états
  futurs, A est faux
• On peut vérifier facilement que la propriété de
  monotonie vraie pour les atomes lest encore pour
  les formules quelconques
• Si ?(A, h) V alors pour tout h tel que h?h,
  ?(A, h) V

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remarque

• Les états peuvent aussi sinterpréter comme des
  mondes possibles et la relation ? comme relation
  daccessibilité sur ces mondes on obtient alors
  un plongement dans une logique modale.
• Nous reviendrons plus loin sur ce point il
  sagira de la logique modale S4.

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Lensemble K(la formule ??? est vraie à e0)
e8
e9
?
?
?
?
?
?
e10
e6
e5
?
?
?
?
?
e7
e3
e4
?
?
?
e1
?
e2
e0
(Le fait quune variable propositionnelle ?
figure à côté du nom dun état signifie que dans
cet état, ? est vraie. Par défaut, ? est fausse).
10
commentaires

• Selon Kripke (1963), les états sont des instants
  auxquels on dispose de plus ou moins
  dinformation. Si à un instant h, on dispose
  dassez dinformation pour prouver A, alors on
  dit que ?(A, h) V, si nous navons pas assez
  dinformation, on dit que ?(A, h) F.
• Si ?(A, h) V, on dit que A a été vérifié au
  temps h, si ?(A, h) F, que A na pas été
  vérifié au temps h.
• Bien noter que ?(A, h) F ne signifie pas que A
  a été prouvé faux au temps h, mais seulement que
  A na pas (encore) été prouvé au temps h.

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Commentaires (suite)

• Dans ce modèle, le passage de e0 à e2 indique que
  nous avons gagné assez dinformation pour pouvoir
  affirmer R, en plus de P,
• Apparemment, le passage de e1 à e4 ne fait gagner
  aucune information (même ensemble de propositions
  vraies P et Q), il y a cependant un gain
  dinformation qui réside en ceci que de e1 on
  peut passer à e3, alors que de e4, on ne le peut
  plus, donc linformation acquise est celle qui
  exclut R.

P,Q
P,Q,R
e3
e4
P,R
P,Q
e2
e1
P
e0
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Commentaires -3

• Il est préférable de ne pas interpréter V et F
  comme vrai et faux , par exemple asserter
  intuitionnistiquement ?A à h ne signifie pas
  que A est faux à linstant h , mais que nous
  naurons jamais aucune preuve de A à partir de
  linstant h
• De même, asserterintuitionnistiquement que A?B
  à h ne signifie pas que A est faux ou B est vrai
  à h, mais que dans toute situation future (après
  h), chaque fois que nous aurons une preuve de A,
  alors nous aurons aussi une preuve de B.

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Formule valide

• Une formule A est dite valide si et seulement si
  ?(A, e0) V pour tout modèle ? sur une structure
  (e0, K, ?)
• Un modèle ? sur une structure (e0, K, ?) tel que
  ?(A, e0) F est appelé un contre-modèle de A

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Exemples de contre-modèles

• Dans ce modèle ?, on a
• ?(P,e1) V
• et ?(P,e0) F,
• Puisque ?(P,e1) V, ?(?P,e0) F,
• Donc ?(P? ?P,e0) F

P
e1
e0
Ceci est donc un contre-modèle de P? ?P (le
tiers-exclu)
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Commentaire 1

• Nous trouvons ainsi immédiatement un
  contre-modèle du tiers-exclu, ce qui signifie que
  celui-ci nest pas valide en logique
  intuitionniste
• Nous ne sommes pas surpris vu que nous savons que
  la perspective initiale de Brouwer (fondateur de
  lintuitionnisme) était justement de bannir une
  telle loi du raisonnement mathématique
• Intuitivement à linstant e0, nous navons pas
  encore prouvé P, nous ne pouvons pas non plus
  asserter ?P puisquil reste la possibilité que
  nous gagnions plus tard assez dinformation pour
  aller vers e1 et ainsi pouvoir asserter P.

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Commentaire 2

• Cette même structure permet de réfuter
• ? ?P ? P
• En effet ?(??P ? P,e0) F pour les raisons
  suivantes
• ?(??P,e0) V puisque ?(?P,e0) ?(?P,e1) F
• Mais ?(P,e0) F,
• donc ?(??P ? P,e0) F

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Exercices

• Prouver que la structure suivante réfute
• ?(P?Q)? ?P ? ?Q
• (P ? Q) ? (Q ? P)

Q
P
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• Trouver une structure permettant de réfuter
• (?P? ?Q) ? (Q ? P)
• Trouver une structure permettant de réfuter
• (P ? Q) ? (?P ? Q)
• Trouver une structure permettant de réfuter
• ?P ? ??P