Inteligencia Artificial

1
Inteligencia Artificial

• PARTE 5
• CONOCIMIENTO INCIERTO Y RAZONAMIENTO

2
Inteligencia Artificial

• 5.1 Incertidumbre

3
CÓMO ACTUAR ANTE LA INCERTIDUMBRE

• Los agentes casi nunca tienen acceso a toda la
  verdad acerca de su ambiente.
• El agente debe, por lo tanto, actuar bajo
  condiciones de incertidumbre.
• La incertidumbre es también producto de la
  incompletez y de la inexactitud del conocimiento
  del agente sobre las características del
  ambiente.
• La decisión racional dependerá tanto de la
  importancia relativa de las diversas metas así
  como de la posibilidad y grado correspondiente en
  que esperamos que sean logradas.

4
El manejo del conocimiento incierto

• Ejemplo de regla de lógica de primer orden
• Si queremos más detalle
• Cambiando la regla a forma causal

5
El manejo del conocimiento incierto

• El uso de la lógica de primer orden en este
  ejemplo es fallido por
• Pereza
• Listar todos los antecedentes o consecuentes
  necesarios es mucho trabajo, y las reglas sería
  difíciles de emplear.
• Ignorancia teórica
• La ciencia médica no cuenta aún con una teoría
  completa sobre este dominio.
• Ignorancia práctica
• Aún conociendo todas las reglas, si no es posible
  hacerle todas las pruebas a un paciente,
  permanecerían dudas sobre el caso particular de
  dicho paciente.

6
El manejo del conocimiento incierto

• En el mejor de los casos, lo que el conocimiento
  del agente puede ofrecer es sólo un grado de
  creencia en las oraciones correspondientes.
• La herramienta principal para manejar los grados
  de creencia es la teoría de la probabilidad, que
  asigna a las oraciones un grado numérico de
  creencia que está entre 0 y 1.

7
El manejo del conocimiento incierto

• La probabilidad es una forma de resumir la
  incertidumbre originada en nuestra pereza e
  ignorancia.
• Por ejemplo, podemos observar que el 80 de los
  pacientes que padecen dolores en la dentadura
  tienen caries. Por lo tanto, existe una
  probabilidad de 0.8 de que el motivo del dolor de
  dientes sea caries. El 0.2 restante resume todas
  las otras posibles causas de dolor dental, las
  cuales se ignoran o no se confirman por pereza.

8
El manejo del conocimiento incierto

• Las probabilidades situadas entre 0 y 1
  corresponden a grados intermedios de creencia en
  la verdad de la oración.
• La oración en sí es, de hecho, verdadera o falsa.
  
• No es lo mismo el grado de creencia y el grado de
  verdad. Si el grado de creencia es 0.8, esto no
  quiere decir que haya 80 de verdad, sino que hay
  muchas posibilidades de que la oración sea
  cierta.
• El grado de verdad es el tema de estudio de la
  lógica difusa.

9
El manejo del conocimiento incierto

• Las aseveraciones probabilísticas no operan el
  mismo tipo de semántica que la lógica de primer
  orden.
• La probabilidad que un agente asigna a una
  proposición dependerá de las percepciones que
  éste haya recibido hasta el momento (evidencia).
• Antes de las evidencias, se habla de la
  probabilidad a priori o incondicional. Después de
  las evidencias, se habla de probabilidad a
  posteriori o condicional.

10
La incertidumbre y las decisiones racionales

• La presencia de la incertidumbre modifica
  radicalmente la forma de tomar decisiones de un
  agente.
• El agente debe tener preferencias por los
  posibles resultados de cada uno de sus planes.
• Pera la representación y razonamiento con las
  preferencias, se requiere de la teoría de la
  utilidad.
• El término utilidad se refiere a la calidad de
  ser útil. Esta teoría sostiene que cada estado
  implica cierto grado de utilidad para un agente,
  y que el agente prefiere aquellos estados que le
  representen mayor utilidad.

11
La incertidumbre y las decisiones racionales

• Las preferencias, expresadas en función de las
  utilidades, se combinan con las probabilidades en
  la teoría general de las decisiones racionales,
  conocida como teoría de decisiones
• Teoría de decisiones Teoría de probabilidad
  Teoría de utilidad
• La idea básica de la teoría de decisiones es que
  un agente será racional si y sólo si elige una
  acción que le produzca la mayor de las utilidades
  esperadas, prorrateada ésta tomando en cuenta
  todos los resultados posibles de la acción.

12
NOTACIÓN BÁSICA DE PROBABILIDAD

• Se requiere un lenguaje formal para representar
  el conocimiento incierto y trabajar con él.
• Esta caracterización debe incorporar dos aspectos
  fundamentales
• La naturaleza de las oraciones a las que se
  asignan gradaciones.
• La dependencia del grado de creencia en relación
  con el estado de conocimiento del agente.

13
Probabilidad a priori

• La notación P(A) indica la probabilidad a priori
  o incondicional de que la proposición A es
  verdadera.
• P(Caries) 0.1
• P(A) sólo se utiliza cuando no se dispone de más
  información. En cuanto se disponga de información
  adicional B, es necesario razonar la probabilidad
  condicional de A considerando B.

14
Probabilidad a priori

• En las proposiciones puede también haber
  desigualdades que involucren lo conocido como
  variables aleatorias.
• P(EstadoDelTiempoSoleado) 0.7
• P(EstadoDelTiempoNublado) 0.2
• P(EstadoDelTiempoLluvia) 0.08
• P(EstadoDelTiempoNieve) 0.02

15
Probabilidad a priori

• A toda variable aleatoria X le corresponde un
  dominio de valores que dicha variable puede
  asumir ltx1, ..., xngt.
• Las proposiciones se pueden considerar también
  como variables aleatorias y se supone que su
  dominio es ltverdadero, falsogt
• P(Caries) sería una abreviación de
  P(Cariesverdadero)
• P(?Caries) sería una abreviación de
  P(Cariesfalso)

16
Probabilidad a priori

• Por lo general, se usan las letras A, B, etc.
  Para representar variables aleatorias booleanas
  (proposiciones) y las letras X, Y, etc. Para
  variables que pueden tener varios valores.
• Se puede definir una distribución de probabilidad
  de una variable aleatoria de la siguiente manera
• P(EstadoDelTiempo) lt0.7, 0.2, 0.08, 0.02gt

17
Probabilidad a priori

• Se pueden usar expresiones como
  P(EstadoDelTiempo,Caries) para representar las
  probabilidades de todas las combinaciones de
  valores del conjunto de variables aleatorias.
• Podemos usar también conectores lógicos para
  construir oraciones más complejas y asignarles
  probabilidades
• P(Caries ? ?Asegurado) 0.06

18
Probabilidad condicional

• Las probabilidades condicionales o a posteriori
  representadas como P(AB) se interpretan como la
  probabilidad de A, considerando que todo lo que
  sabemos es B.
• P(CariesDolorDientes) 0.8
• Si se sabe C, ahora debe calcularse P(AB?C) en
  vez de P(AB).

19
Probabilidad condicional

• La ecuación
• Se cumple cuando P(B) gt 0. También puede
  escribirse como
• A esto se le conoce como la regla del producto.

20
LOS AXIOMAS DE PROBABILIDAD

• 1. Todas las probabilidades están comprendidas
  entre 0 y 1.
• ?0 ? P(A) ? 1
• 2. La probabilidad de las proposiciones
  necesariamente verdaderas es de 1, y de las
  necesariamente falseas es de 0.
• P(Verdadero) 1 P(Falso) 0

21
LOS AXIOMAS DE PROBABILIDAD

• 3. La probabilidad de una disyunción se expresa
  de la siguiente manera
• P(A ? B) P(A) P(B) - P(A ? B)

Verdadera
A
B
A ? B
22
La distribución de probabilidad conjunta

• Mediante la distribución de probabilidad conjunta
  se especifican completamente las asignaciones
  probabilísticas que un agente da a todas las
  proposiciones del dominio (tanto simples como
  complejas).
• El modelo probabilista de un dominio está formado
  por un conjunto de variables aleatorias que
  asumen determinados valores con ciertas
  probabilidades. Sean las variables X1, ..., Xn.
• Un evento atómico es la asignación de valores
  particulares a todas las variables, es decir, la
  especificación total del estado del dominio.

23
La distribución de probabilidad conjunta

• Mediante la distribución de probabilidad conjunta
  P(X1, ..., Xn) se asignan probabilidades a todos
  los eventos atómicos posibles.
• La probabilidad conjunta es una tabla
  n-dimensional, en la que hay un valor en cada
  celda que especifica la probabilidad de que se
  produzca un determinado estado.

DolorDientes ?DolorDientes
Caries 0.04 0.06
?Caries 0.01 0.89
24
LA REGLA DE BAYES Y SU USO

• Las dos formas de la regla del producto son
• Igualando los lados derechos y dividiendo entre
  P(A)
• A la ecuación se le conoce como regla de Bayes (o
  ley de Bayes, o teorema de Bayes), y es la base
  de todos los sistemas modernos de IA para
  inferencia probabilista.

25
LA REGLA DE BAYES Y SU USO

• Para variables multivaluadas
• Si se cuenta con cierta evidencia base E

26
Cómo aplicar la regla de Bayes

• EJEMPLO Un doctor sabe que la meningitis provoca
  una rigidez en el cuello del paciente, digamos el
  50 de las veces. El doctor también conoce
  algunos hechos incondicionales la probabilidad a
  priori que un paciente sufra de meningitis (M) es
  de 1 en 50,000, y la probabilidad a priori de que
  algún paciente sufra rigidez en el cuello (S) es
  de 1 en 20.

27
Cómo aplicar la regla de Bayes

• Es de esperar que sólo uno de cada 5000 pacientes
  que padece rigidez de cuello tenga meningitis.
• Qué pasaría si aumenta repentinamente P(M)?

28
Normalización

• Considérese el cálculo de la probabilidad de la
  meningitis con base a la rigidez del cuello
• Supóngase que también interesa la posibilidad que
  el paciente sienta latigazos (W), consecuencia
  de la rigidez del cuello

29
Normalización

• Comparando las ecuaciones anteriores, se puede
  calcular la posibilidad relativa de la meningitis
  y el latigazo dado que hay rigidez de cuello.
  Supongamos que P(SW) 0.8 y que P(W) 1 / 1000
  0.001
• En otras palabras, el latigazo tiene 80 veces
  más posibilidades de presentarse que la
  meningitis, en el caso de un cuello rígido. En
  ocasiones la probabilidad relativa es suficiente
  para tomar una decisión.

30
Normalización

• Es posible escribir las ecuaciones
  correspondientes a M y a ??M
• Si sumamos ambas y consideramos que P(MS)
  P(?MS) 1
• Si sustituimos en la ecuación de P(MS), tenemos
  que
• A esto se le llama normalización, y 1/P(S) se
  maneja como constante de normalización mediante
  la que los terminos condicionales suman 1.

31
Uso de la regla de Bayes Combinación de la
evidencia

• Si se sabe que P(CariesDolorDientes) 0.8 y que
  P(CariesEnganchar)0.95
• Qué se podría concluir si el gancho de acero
  queda enganchado en un diente que produce dolor?
  Se desea saber P(CariesDolorDientes ? Enganchar)
  
• Usando la regla de Bayes, esto se puede
  reformular así
• Cómo se calcula P(DolorDientes ?
  EngancharCaries)? El problema se da además si se
  requiere el calculo de las probabilidades
  condicionales de muchas variables y no sólo de
  dos.

32
Uso de la regla de Bayes Combinación de la
evidencia

• El primer paso consiste en adoptar una
  perspectiva ligeramente distinta del
  procedimiento de incorporación de los diversos
  elementos de evidencia.
• Mediante el procedimiento de actualización
  bayesiana se incorporan las evidencias de una en
  una, y es modificada la creencia anterior
  relativa a la variable desconocida.

33
Uso de la regla de Bayes Combinación de la
evidencia

• Empezando por DolorDiente
• Al observar Enganchar, podemos aplicar nuevamente
  la regla de Bayes con DolorDiente como contexto
  uniforme de condicionamiento
• Sustituyendo
• Este proceso es independiente del orden.

34
Uso de la regla de Bayes Combinación de la
evidencia

• Es necesario aún así hacer una suposición
  fundamental, para simplificar las expresiones.
• En este caso, la suposición fundamental es que la
  caries es la causa directa del dolor de diente y
  del enganchamiento de la cala en el diente
• En otras palabras, si se sabe que el paciente
  tiene caries, no se esperará que la probabilidad
  de enganchamiento dependa de la presencia de un
  dolor de diente, ni el enganchamiento modificará
  la probabilidad de que la caries esté produciendo
  dolor de diente.

35
Uso de la regla de Bayes Combinación de la
evidencia

• Por lo tanto
• P(EngancharCaries ? DolorDientes)
  P(EngancharCaries)
• P(DolorDientesCaries ? Enganchar)
  P(DolorDientesCaries)
• Estas ecuaciones expresan la independencia
  condicional de DolorDientes y Enganchar,
  suponiendo la existencia de caries.

36
ORIGEN DE LAS PROBABILIDADES

• Punto de Vista Frecuentista
• Las probabilidades solo pueden originarse en
  experimentos, ejemplo si después de una revisión
  a 100 personas, 10 de ellas tienen caries, se
  puede decir que la probabilidad de caries es 0.1
• Punto de Vista Objetivista
• Las probabilidades son aspectos reales del
  universo la propensión de los objetos a
  comportarse de cierta forma y no meras
  descripciones del grado de creencia de un
  observador. Las mediciones frecuentistas son
  intentos de obtener el valor real de una
  probabilidad.
• Punto de Vista Subjetivista
• Las probabilidades son una manera de caracterizar
  las creencias de un agente y no se les concede
  ninguna significación externa. Un médico podría
  decir en mi opinión, la probabilidad de que
  haya caries es 0.1.

37
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• La incertidumbre surge en el mundo del wumpus
  porque los sensores del agente solo proporcionan
  información parcial, local, sobre el mundo.

38
Otro enfoque para el mundo del wumpus
1,4 2,4 3,4 4,4
1,3 2,3 3,3 3,4
1,2 B OK 2,2 3,2 4,2
1,1 OK 2,1 B OK 3,1 4,1
Después de encontrar brisa tanto en 1,2 como en
2,1, el agente está atorado (no hay ningún
lugar seguro para explorar).
39
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• 1,3, 2,2 y 3,1 podrían tener un precipicio.
• La inferencia lógica por sí sola no puede
  concluir nada sobre cual celda es la que tiene
  más probabilidad de ser segura, así que un agente
  lógico tendría que elegir forzosamente al azar.
• Un agente probabilístico lo puede hacer mejor.
• Nuestro objetivo es calcular la probabilidad de
  que cada una de las tres celdas contenga un
  precipicio (por el momento, se ignorará el wumpus
  y el oro).

40
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• Las propiedades relevantes del mundo del wumpus
  son que
• (1) Un precipicio causa brisa en todos las celdas
  adyacentes y
• (2) Cada celda, excepto la 1,1, tiene un
  precipicio con una probabilidad de 0.2.
• El primer paso es identificar el conjunto de
  variables aleatorias que necesitamos
• Como en el caso de la lógica proposicional, se
  desea una variable booleana Pij para cada celda,
  la cual es verdadera si y sólo si la celda i, j
  contiene un precipicio.
• También tenemos las variables booleanas Bij, las
  cuales son verdaderas si y sólo si hay brisa en
  i, j. Se incluyen estas variables sólo para las
  celdas observadas (en este caso, 1,1, 1,2 y
  2,1).

41
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• El siguiente paso es especificar la distribución
  conjunta completa, P(P1,1, , P4,4, B1,1, B1,2,
  B2,1).
• Aplicando la regla del producto, se tiene que
• P(P1,1, , P4,4, B1,1, B1,2, B2,1)
• P(B1,1, B1,2, B2,1 P1,1, , P4,4) P(P1,1, ,
  P4,4)

42
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• El primer término es una probabilidad condicional
  de una configuración de brisas, dada una
  configuración de precipicios.
• El segundo término es la probabilidad a priori de
  una configuración de precipicios.
• Cada celda contiene un precipicio con una
  probabilidad de 0.2, independientemente de las
  otras celdas, por lo que
• Para una configuración con n precipicios, esto es
  justo 0.2n ? 0.816-n.

43
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• En nuestra situación , la evidencia consiste de
  la brisa observada (o su ausencia) en cada celda
  que es visitada, combinada con el hecho de que
  cada una de esas celdas no contiene precipicio.
• Abreviaremos esos hechos como b ? b1,1 ? b1,2 ?
  b2,1 y conocido ? p1,1 ? ? p1,2 ? ? p2,1
• Estamos interesados en responder preguntas tales
  como P(P1,3conocido, b) qué tan probable es
  que haya un precipicio en 1,3, dadas las
  observaciones que hemos hecho hasta ahora?
• Para responder a lo anterior, se pude usar el
  procedimiento estándar de sumar entradas de la
  tabla de distribución conjunta completa.
• Sea desconocido una variable compuesta
  consistente de las variables Pij correspondientes
  a las celdas diferentes a las celdas conocidas y
  la celda de la consulta, 1,3.

44
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• Entonces tenemos que
• Hay 12 celdas desconocidas, por lo que la
  sumatoria contiene 212 4096 términos. En
  general, la sumatoria crece exponencialmente con
  el número de celdas.
• En la realidad, no todas las celdas desconocidas
  son relevantes, por ejemplo, el contenido de
  4,4 no afecta si 1,3 tiene un precipicio.

45
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• Sea Frontera las variables (aparte de las
  involucradas en la consulta) que son adyacentes a
  las celdas visitadas, en este caso, sólo son
  2,2 y 3,1.
• Sean Otras las variables para los otras celdas
  desconocidas. En este caso, hay 10 otras celdas.

46
Otro enfoque para el mundo del wumpus
1,4 2,4 3,4 4,4
1,3 2,3 3,3 3,4
1,2 B OK 2,2 3,2 4,2
1,1 OK 2,1 B OK 3,1 4,1
con- sulta
otras
frontera
conocido
Después de encontrar brisa tanto en 1,2 como en
2,1, el agente está atorado (no hay ningún
lugar seguro para explorar).
47
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• Las brisas observadas son condicionalmente
  independientes de las otras variables, dados lo
  conocido, la frontera, y las variables de
  consulta.

otras se elimina por independiencia condicional
48
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• Ahora, el primer término de esta expresión no
  depende de la variable otras, así que se puede
  mover la sumatoria hacia dentro

49
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• Por independencia, el término previo se puede
  factorizar, y entonces los términos se reordenan
• Donde en el último paso P(conocido) se fusiona en
  la constante normalizadora y se utiliza el hecho
  de que ??otrasP(otras) 1.

50
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• Note que la expresión P(bconocido, P1,3,
  frontera) 1 cuando la frontera es consistene
  con las observaciones de brisa, y 0 en caso
  contrario.
• Por lo tanto, para cada valor de P1,3, sumamos
  sobre los modelos lógicos para las variables
  frontera que son consistentes con los hechos
  conocidos.

51
Otro enfoque para el mundo del wumpus

1,3
1,2 B OK 2,2
1,1 OK 2,1 B OK 3,1

1,3
1,2 B OK 2,2
1,1 OK 2,1 B OK 3,1

1,3
1,2 B OK 2,2
1,1 OK 2,1 B OK 3,1
0.8 x 0.2 0.16
0.2 x 0.2 0.04
0.2 x 0.8 0.16
Modelos consistentes con las variables frontera
P2,2 y P3,1, mostrando P(frontera) para cada
modelo. En este caso, los tres modelos suponen
que P1,3 verdadero
52
Otro enfoque para el mundo del wumpus

1,3
1,2 B OK 2,2
1,1 OK 2,1 B OK 3,1

1,3
1,2 B OK 2,2
1,1 OK 2,1 B OK 3,1
0.2 x 0.2 0.04
0.2 x 0.8 0.16
Modelos consistentes con las variables frontera
P2,2 y P3,1, mostrando P(frontera) para cada
modelo. En este caso, los dos modelos suponen que
P1,3 falso
53
Otro enfoque para el mundo del wumpus

• Tenemos que
• P(P1,3conocido,b) ???0.2(0.040.160.16),
  0-8(0.040.16)? ?? ? 0.31, 0.69?
• Esto es, 1,3 (y 3,1, por simetría) tiene un
  precipicio con una probabilidad de 31 (69 que
  no lo contenga).
• Un cálculo similar muestra que 2,2 contiene un
  precipicio con una probabilidad de 86. El agente
  inteligente probabilístico definitivamente
  evitaría irse por 2,2.