UNIVERSIDAD%20COMPLUTENSE%20DE%20MADRID

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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

• Indices de Desigualdad
• Rafael Salas
• Abril de 2009

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Referencia básica

• Peter Lambert (2001), The distribution and
  redistribution of Income, 3rd. Edition,
  Manchester University Press.
• Cap. 5
• Referencias adicionales
• Atkinson, A. (1970) JPE
• Sen (1973)
• Cowell (1985)

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Introducción

• Pasamos de un orden parcial a un orden completo
• Definimos un índice de desigualdad
• IRN ? R
• Con unas propiedades
• Coherente con el Bienestar W(x1, x2, , xN
  )V(µ,I)
• donde V(.) es un índice abreviado de
  bienestar y derivada positiva con µ y negativa
  con I.

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Índices de Atkinson

• Es una clase de índices que se derivan partiendo
  de
• (1) Función individualista WRn?R como
• donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava.
  En términos discretos

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Índices de Atkinson

• (2) Expresable como V(µ,I)
• donde V(.) es un índice abreviado de
  bienestar y derivada positiva con µ y negativa
  con I.
• (3) Índice AKS WVµ(1-I) I es el coste per
  cápita de la desigualdad
• Implica que I 1- ?/µ donde ? es la renta
  equivalente uniformente distribuída
• W(?,?,,?) W(x1, x2, , xN)
• (4) Índice relativo I no cambia
• I(x1, x2, , xN )I(kx1,k x2, ,kxN ) , kgt0
• Implica que ?/µ no cambia, pues se transorma en
  k?/kµ.
• Implica homoteticidad de W en xi

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Índices de Atkinson

• Teorema el único índice que cumple las
  propiedades (1) a (4) es el índice de Atkinson
  que se deriva de esta función de utilidad de
  aversión constante a la desigualdad
• donde e gt0 es el párametro de aversión a la
  desigualdad relativa constante (-xu/u)

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Índices de Atkinson

• Índice Atkinson derivamos
• Y calculamos I 1- ?/µ. Nótese cómo ?ltµ para egt0

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Índices de Atkinson

• Además para e ?0, ??µ con lo cual I?0. La
  desigualdad no importa
• A medida que aumenta la aversión a la desigualdad
  egt0, la desigualdad aumenta, fijado F
• Si e ? 8, ??min xi e I 1- min xi/µ

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I. Gini
Newbury 1970 demuestra que no se puede obtenerse
como un índice AKSV µ(1-G) de ninguna
función individualista aditivamente separable.
Implícitamente está en el teorema de Atkinson
anterior, puesto que es un índice relativo.
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I. Gini

• Sen 1973 dice que puede serlo de una no
  individualista, en donde el nivel de bienestar de
  dos individuos es una función del peor
  posicionado
• Por lo tanto el bienestar social sería el
  promedio de todos los pares implicados. No es
  individualista porque en el bienestar de un
  individuo importan las rentas del resto. Lambert
  1985 lo racionaliza como que la función de
  bienestar sería del tipo

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I.Gini
De hecho depende del rango de cada individuo. Se
ve en esta otra formulación
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I.Gini
De hecho depende del rango de cada hogar. Se ve
en esta otra formulación
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I.Gini
Si agrupado x1, w1 veces,., xN, wN veces
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I. Gini

• El índice de Gini en términos contínuos se puede
  escribir como
• que coincide con dos veces el área debajo
  de la curva de Lorenz

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I. Gini

• El índice de Gini extendido por Yitzhaki 1983
• Converge al Gini clásico con v2

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Índices de Gini

• v es el párametro de aversión a la desigualdad
  como lo era e en los índices de Atkinson
• Si v ?1, ??µ con lo cual G?0. La desigualdad no
  importa
• A medida que aumenta la aversión a la desigualdad
  vgt1, la desigualdad aumenta, fijado F
• Si v ? 8, ??min xi y G 1- min xi/µ

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Índices de Gini

• Descomponibilidad GGBGWS
• Lambert y Aronson 1993
• S0 si son particiones disjuntas
• Descomponibilidad por fuentes de renta YXZG
• Aplicación a los impuestos YX-T y subvenciones
  YXS

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C. Concentración

• Definimos el coeficiente de concentración de
  impuestos T como
• Entonces índice de progresividad de impuestos de
  Kakwani
• Veremos su relación con el índice de
  redistribución

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Redistribución

• Podemos descomponer la redistribución global RS
• IH 0 Atkinson y Plotnick 1980

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Personal Income Tax

• Progressivity and redistribution are related by
  the average tax rate

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Sales Taxes

• Mainly slightly regressive as in the OECD

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Índices de Entropía Generalizada

• Si imponemos la propiedad de descomponibilidad
  aditiva IIBIW
• donde IB es el índice entre grupos como el índice
  de desigualdad en el caso de que todos los
  hogares de cada grupo tengan su renta media µi y
• A que el índice sea relativo I(x1, x2, , xN
  )I(kx1,k x2, ,kxN ) , kgt0
• Simétrico
• Cumpla el principio de transferencias
• Nos sale como única opción los índices de
  Entropía Generalizada (Shorrocks, Cowell)

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Índices de Entropía Generalizada
Caso c0, es el Theil cero ó desviación
logarítmica media. Caso c1, Theil 1 (Theil 1967)
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Índices de Entropía Generalizada

• Las ponderaciones de la descomponibilidad son
• Son interesantes en Theil cero y en el Theil 1
  suman la unidad
• Especialmente interesantes en el Theil 0 son
  poblacionales

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Índices de Entropía Generalizada

• Los índices de Theil c1-e son ordinalmente
  equivalentes a los índices de Atkinson egt0
• Para c1- e
• Para c0 y e1 la equivalencia es

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Índices de Entropía Generalizada

• Los índices de Theil c2 tienen una
  particularidad
• Es coherente con el principio de la réplica de la
  población.

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Índices de Entropía Generalizada

• Problemas
• No están normalizados entre 0 y 1
• Pueden ser superiores a 1. El valor extremo del
  Theil 1 es Ln N
• No puede deducirse de una FBS
• Ni interpretación como

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• Abril de 2009