Sin t

1
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2
A
3
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4
??
? Percentil al 68.3 , ? ? P(x) dx
0.683
??
5
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6
Si la distribución es continua,
la media viene dada por
y el resto de los momentos por
7
3
8
Si el número de eventos esperados, ?, en un
intervalo de extensión h es ? ? h (? da la tasa
de eventos por unidad de h),
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12
Distribución gaussiana multidimensional
En 2 dimensiones, la distribución centrada en
(0,0) tiene la forma
donde ? es el coeficiente de correlación,
definido por
Sus momentos característicos son
Ejemplo calculo de las probabilidades de
propiedades intrínsecas atribuibles a galaxias (u
otros objetos) a través de mapas color-color
En general, para p dimensiones, la distribución
gaussiana centrada en ? viene dada por
donde x es el vector de la muestra (de p
dimensiones), ? es su valor medio, y ? es la
matriz de correlación entre las variables x
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Distribución de redshifts derivado del diagrama
color-color
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1996, MNRAS, 281,945
22
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• Inferencia Bayesiana
  
• (Loredo T. 1992, en Statistical Challenges in
  Modern Astronomy, ed. Feigelson Babu, Springer,
  http//www.astro.cornell.edu/staff/loredo/bayes/t
  jl.html)
• Dos diferentes intepretaciones del término
  probabilidad
• frecuentista frecuencia con que un cierto
  resultado se obtiene como resultado de la
  repetición infinita de un proceso.
• bayesiana plausibilidad de que una proposición
  (modelo) pueda dar cuenta de un conjunto de
  datos.
• En muchas situaciones se obtiene el mismo
  resultado utilizando las dos técnicas, pero
  existen excepciones notables (ejem. Kraft et al.
  1991, ApJ, 374, 344). Los dos métodos son
  fundamentalmente diferentes. Parten de
  concepciones opuestas sobre cúal es la
  información fidedigna y por evaluar (modelo o
  datos). Los cálculos bayesianos discriminan
  entre hipótesis plausibles, los cálculos
  frecuentistas evaluan la validez del conjunto de
  datos.
• Teorema de Bayes
• Pasos a seguir en la inferencia Bayesiana
• Especificar el modelo, o hipótesis a evaluar en
  general tendremos
• varios Hi a comparar
• Asignar las probabilidades
• anterior P(Hi)
• anterior predictiva P(D)
• de muestreo P(DHi)
• Calcular la probabilida posterior mediante la
  fórmula de Bayes .
• Comparar los resultados entre los diferentes
  modelos, mediante el
• cociente de probabilidades posteriores
  P(HiD)/H(HjD) por ejemplo

25
Ejemplo estimación de una media
poissoniana Supongamos que hemos obtenido una
medida de n eventos en un intervalo de tiempo T,
y que deseamos inferir la frecuencia de eventos,
r . 1.- Especificamos la hipótesis H, que el
proceso es Poissoniano con una frecuencia de
eventos 0 ? r ? rmax. 2.- Asignamos
probabilidades de muestreo a priori
(anterior) anterior predictiva 3.-
Aplicamos el teorema de Bayes para calcular la
probabilidad posterior Si
Trmaxgtgt n, entonces la función incompleta gamma
se puede aproximar y la probabilidad
posterior resulta Para el caso particular de
detectar 7 eventos en 1 segundo, la probabilidad
de que el proceso tenga una media de 10 eventos
por segundo es del 9
P(10 7)
(nota compárese con la probabilidad frecuentista)
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Ejemplo estimación de una media poissoniana
sobre un fondo Supongamos que hemos obtenido una
medida de Non eventos en un intervalo de tiempo
Ton, y que deseamos inferir la frecuencia de
eventos de la señal, s , sobre el fondo, b. Se
pretende estimar el fondo de una medida
independiente de Noff eventos en un intervalo
Toff. Como en el caso anterior p(b?Noff)
Para la medida con señal y fondo
conjuntamente p(sbNon)
p(sb) p(sb)
p(b) donde
es la prob.
de muestreo p(sb) 1/smax

p(b) p(b Noff) p(Non) 1/Tonsmax

prob. anterior predictiva Para calcular la
probabilidad posterior de la señal, hay que
marginalizar el parámetro b, calculando p(sNon)
? db p(sbNon). Realizando la expansión del
término (sb)Non se encuentra
Toff(bToff)Noff e?bToff
Noff!
p(Non sb)
p(Non sb)
p(Non)
p(Non)

dan la probabilidad a priori
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Se debe resaltar que éste es un cálculo ambiguo
bajo la inferencia frecuentista, aunque hay
algunas publicaciones con aproximaciones no
libres de inconsistencias (OMorgain, 1973,
Nature, 241, 376 Cherry et al. 1980, ApJ, 242,
1257)
28
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