Presentacin de PowerPoint

1
Diaposit. 1
INVESTIGACIÓN
Dados N puntos en el plano, averiguar el nº de
rectas determinadas por ellos.
Observaciones
1. Tendremos que hacer uso del intuitivo
axioma de Euclides 2 ptos. determinan una
recta
2 Es necesario saber como están situados dicho
ptos. en el plano. Información que
complementaremos nosotros mediante supuestos.
Empezaremos por el supuesto que algunos ven
implícito en el enunciado original. Supuesto 1
Entre los N ptos. dados, no existen 3 que estén
en la misma recta.
(Después, se pueden plantear supuestos supuesto
2, supuesto 3, etc.)
3. Podemos resolver el problema de forma
INDUCTIVA (lo que se acomoda al conocido
heurístico EMPIEZA POR LO FÁCIL y ve
observando, anotando, analizando lo que pasa,
conforme lo vas haciendo más difícil) o atacarlo
directamente en su formulación general
2
Diaposit. 2
Recordemos enunciado completo en supuesto 1
Dados N ptos. en el plano, averiguar el nº de
rectas determinadas por ellos. Entre los N ptos.
dados, no existen 3 que estén en la misma recta.
En nuestro caso lo fácil o difícil depende del
valor de N, así que, construyamos una tabla
empezando por lo más sencillo N 2, 3, 4, 5,
6... N.
N(nº de ptos.) Representación
(nº de rectas determinadas) R
2
1
3
3
4
6

4 rectas desde el vértice elegido. y
desde
los otros vértices? otras 4!
4520.
5
20/2 10
Pero cada recta
está contada 2 veces! Para arreglarlo tendré
que contar sólo la mitad de ellas
.....
3
Diaposit. 3
N(nº de ptos.) Representación
(nº de rectas
determinadas) R
6
5 rectas desde el pto elegido (las que resultan
al unir con el resto de ptos.)
5desde cada vértice6vértices 30
Al igual que en el caso anterior,si cuento todas
las rectas que pasan por cada pto., cada recta la
habré contado en 2 ocasiones (en los 2 ptos. que
la determinan), luego he de arregrarlo
30/2 15
4
Diaposit. 4
Y ahora, supongamos que tengo N ptos. (o
vértices) numerados.
1
2
Enlacemos uno de ellos (p. e. el N) con el
resto.
N
3
N-1
4
Cuántas rectas salen?
N-2
5
6
Tantas como ptos. con los que unir N, es decir
N-1 rectas!
7
Luego si de un pto cualquiera (todos son
iguales), salen N-1 rectas, dado que tengo N
ptos., está claro (casi) que en total tendré
N(N-1) rectas.
El casi es una pequeña metedura de pata,
porque por ese procedimiento cada recta la he
contado exactamente 2 veces y sólo debo
contarla 1 vez... El asunto tiene fácil arreglo
si la descuento 1 vez de cada 2 contadas, lo
cual equivale contar sólo la mitad de las que
salían en el párrafo anterior, es decir,
quedaría N(N-1)/2 rectas
5
Diaposit. 5
Enunciados alternativos en el supuesto 1

• Contexto no geométrico A una fiesta acuden N
  amigos, todos se
• saludan entre sí. Cuántos saludos se producen?

1
OBSERVACIÓN
METODOLÓGICA Contar doble N(N-1) , para
luego dividir por 2 N(N-1)/2 , resulta, sin
duda, más artificioso que ir sumando
ordenadamente (N-1) (N-2)
543210) en alusión a los
desplazamien- tos que realizan, respectivamente,
desde el gato N, hasta el gato 1 (que no
necesita moverse, pues todos han venido a
saludarle). Se podría pues adoptar esta opción
desde el principio (3º columna de diapositivas 3)
y deducir la fórmula del final de la
diapositiva anterior en el nivel puramente
matemático.
2
3
N
4
N-1
5
6
2. Contexto geométrico Cuánto suman los lados y
las diagonales de un N-gono?
PROBLEMA RELACIONADO
CON EL SUPUESTO 1 Si sólo se preguntara por el nº
de diagonales de un N-gono, se podría aprovechar
lo ya hecho (restando N a la expresión obtenida
al final de la diapositiva anterior), o bien
contar directamente las diagonales por parecido
procedimiento al utilizado para las rectas
lógicamente, ambas expresiones algebraicas deben
ser equivalentes.
Presentación realizada con la versión Xp del
Office. Para versiones anteriores pueden
alterarse algunos efectos.
6
Supongamos que los N ptos. están alienados.
(Sería el caso opuesto del supuesto 1). Es
decir
Diaposit. 6
Supuesto 2
Cuántas rectas salen?
1

2
Es obvio que sólo hay una recta determinada
por tales puntos. Justo la recta que indica el
alineamiento!
3
4
5
6
7
N-1
N
7
Supongamos que de los N ptos. (N-1) están
alineados y 1 pto. (el último de ellos) fuera de
dicha línea recta, es decir
Diaposit. 7
Supuesto 3
1
N

2
3
Cuántas rectas salen?
4
5
6
7
N-1
Serán N 1 (del alineamiento)
N-1(de unir el N con el resto de ptos.)
8
Diaposit. 8
Etc.
Este etc. es para que tú sigas investigando.
Puedes representar algún supuesto más?
Se podrá hacer algún tipo de generalización en
función del número grupos de ptos. alineados, el
número ptos. que conforman cada grupo alineado,
el número de ptos. que pertenecen a varios
alineamientos a la vez ?
Domingo Revilla Martínez. Dpto Didáctica de las
Cc. Experimentales y las Matemáticas. Fac
Formación del Profesorado. Univ. de Extremadura.
Cáceres. España E-mail drevilla_at_unex.es