La din

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La dinámica de reservas y flujos

• Charles Nicholson
• Department of Applied Economics and Management,
  Cornell University

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La relación entre reservas y flujos

• Para comprender la dinámica de un sistema, es
  importante relacionar los comportamientos de las
  reservas y flujos en el sistema, por ejemplo
• Dado los flujos hacia la reserva, cuál es el
  comportamiento en tiempo del valor de la reserva?
• Dado el comportamiento en tiempo de la reserva,
  cuál debería haber sido la tasa neta promedio de
  cambio?
• Se pueden contestar estas preguntas con cálculo

Lectura Aracil y Gordillo, capítulo 3
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La relación entre reservas y flujos

• El cambio en la reserva ingresos egresos
• el flujo neto
• El valor de la reserva integra los flujos
• El flujo neto es el derivado de la reserva
• Podemos derivar expresiones apropriadas, pero
  también podemos utilizar una alternativa para
  desarrollar nuestra intuición
• Integración gráfica

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Integración gráfica

• Dado una gráfica de comportamiento de flujos en
  tiempo, siempre se puede inferir el
  comportamiento de la reserva
• Dado este comportamiento, se puede inferir el
  patrón de flujos netos hacia (o desde) la reserva

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Integración gráfica un ejemplo

• Una reserva con valor inicial, St0 100
• Con una unidad de unidades
• El flujo inicial 0 unidades/mes
• Incrementa a 20 unidades/mes en t10
• Disminuye a 0 unidades/mes en t20
• Cuál es el comportamiento de la reserva?

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Integración gráfica un ejemplo
Flujo neto, unidades/mes
La reserva, unidades
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Integración gráfica un ejemplo

• Considerar una sola reserva
• Un ingreso, un egreso
• El egreso 50
• El ingreso es variable
• Dibujar el valor de la reserva en tiempo
• Sugerencia Dibujar el valor de ingreso neto en
  tiempo primero

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Integración gráfica Ejercicio
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Integración gráfica Ejercicio
S incrementa con una tasa decreciente
S no cambia
S disminuye, tasa que disminuye
S disminuye, tasa que incrementa
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Integración gráfica
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Encadenamiento de reservas y flujos

• El sistema de retroalimentación más sencillo
  tiene un sendero de retroalimentación positivo
  del primer orden
• Primer orden significa una reserva
• Ejemplo población

Cuál tipo de comportamiento en tiempo?
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Encadenamiento de reservas y flujos

• Una formulación general

Resultará en crecimiento exponencial si ESgt0,
TFCgt0
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El poder de crecimiento exponencial

• Un acertijo francés antiguo
• Tiene un estanque donde crece una flor de loto
• Su tamaño se dobla cada día
• Si creciera sin restricciones, cubriría el
  estanque en 30 d, así eliminando el resto de vida
  que contiene
• Lo observa pero no parece ser un problema
  significativo como para preocuparse
• Se decide podar la flor cuando cubre la mitad del
  estanque
• En cuál día lo podaría?

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El poder de crecimiento exponencial

• Se decide podar la flor cuando cubre la mitad del
  estanque
• En cuál día lo podaría?
• El día 29!
• Se doblaría el día siguiente y cubriría el
  estanque, así que se tiene sólo un día para
  podarlo
• Sin embargo, ninguna cantidad real puede crecer
  para siempre. Al aproximar sus límites, los
  redondeles positivos se debilitan y los negativos
  se fortalecen.

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Disminución exponencial

• Una estructura similar a la de crecimiento
  exponencial
• Una perspectiva ingreso neto lt 0

TNNPobTFN-Pob/LP TNNPob(TFN-(1/LP)) TNNlt0 if
TFNlt(1/LP)
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Disminución exponencial

• Si el ingreso netolt0, se lo podría considerar un
  egreso neto

TNMPob/LP-PobTFN TNMPob(1/LP)-TFN) TNMgt0 if
(1/LP)gtTFN
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Crecimiento y disminución exponenciales

• La misma estructura sencilla puede generar
  cualquier comportamiento, sólo depende de los
  valores de los parámetros
• La estructura causa el comportamiento
• Los valores de los parámetros también influyen

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Sistemas lineales de primer orden

• Un modelo poblacional con tasas de nacimiento y
  muerte
• Similar a lo que acabamos de revisar
• Incorporar una capacidad de carga poblacional
• Esto es un recurso limitante

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Modelo poblacional básico
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Incorporar capacidad de carga y su relación con
la población
Añadir un redondel de retroalimentación de
balanceo
TFN es ahora una función de la propor-ción de la
población a la capacidad de carga, no una
constante
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Incorporar el efecto en FDR (la tasa fraccional
de muertes)
TFM es ahora una función de la proporción de la
población a la capacidad de carga, no una
constante
Añadir redondel de balanceo
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Cuál comportamiento tendrá este sistema?

• En comparación con el modelo poblacional básico,
  hay 2 redondeles más de balanceo
• Se observerá crecimiento exponencial?
• Suponer
• Una población inicial de 10
• Una capacidad de carga 100
• Una FBR para poblaciones cerca de 0 0.05
• Una FDR para poblaciones cerca de 0
  (1/AL)(1/80)0.0125

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Comportamiento poblacional
Equilíbrio dinámico
Crecimiento con rendimiento decreciente
Crecimiento inicial exponencial
Por qué la población final lt capacidad de carga?
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Población final lt capacidad de carga

• Las tasas de nacimiento y muerte se balancean
  antes de alcanzar la máxima capacidad
• Este resultado depende de las funciones no
  lineales que especificamos
• TFN f(Relación poblacion con capacidad de
  carga)
• TFM g(Relación poblacion con capacidad de
  carga)

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Tasas de nacimiento y muerte
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Qué pasaría con una capacidad de carga no fija?

• Qué pasaría si la capacidad de carga podría ser
  agotada por la población?
• Cuál sería el comportamiento?
• Ejemplo el modelo de agricultura maya

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El modelo de agricultura maya
Tasa neta
Capacidad de carga
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El modelo de agricultura maya
Este redondel de retroalimentación finalmente
domina
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Ejercicio