Sin t

1
ESTABILIDAD
Estudiaremos técnicas para analizar la
estabilidad de un sistema realimentado de lazo
abierto G(s) Función de Transferencia
lazo abierto G(s) lazo cerrado G(s)/(1
G(s)) 1º Obtención de las raíces de 1 G(s)
0 (ec. Característica) 2º Criterio de
Routh-Hurwitz 3º Criterio del reverso 4º Criterio
de Nyquist
G(s)
2
1.- Obtención de las raíces de 1 G(s) 0
Un sistema realimentado es estable si todas las
raíces del denominador de su función de
transferencia (1 G(s), polinomio
característico) tienen su parte real
estrictamente negativa, es decir, están situadas
en el semiplano estrictamente negativo. Por
tanto, se trata de resolver la ecuación 1 G(s)
0 (ecuación característica) y de analizar la
situación de sus raíces. Este método no da idea
de como se comporta el sistema en función de un
parámetro. No es un buen método para análisis de
estabilidad.
3
2.- Criterio de Routh-Hurwitz
Este método permite determinar, a partir de los
coeficientes del polinomio característico, si
todas las raíces de la ecuación característica
tienen su parte real estrictamente negativa. 1.-
Dado un polinimio A(s) 1.s a s ...
a s a siendo a 1 2.- Se forma
la matriz n x n a a a a
a
1 a a a a
0 a
a a a
0 1 a a
a
0 0 a a a
........ poniendo a 0 los términos de índice
superior a
n
n-1
n-1
1
n
0
9
1
3
5
7
2
6
4
8
7
5
3
1
6
4
2
5
1
3
n
4
3.- Todas las raíces de A(s) 0 tienen la parte
real estrictamente negativa si, y solamente si,
todos los menores principales de esta matriz
tienen su determinante estrictamente positivo.
a a a
a a 1
a a a a
0 a a a a
0 1 a
a a
0 0 a a a
5
7
9
1
3
menor orden 1
8
4
2
6
menor orden 2
7
1
3
5
menor orden 3
6
2
4
menor orden 4
5
1
3
menor orden 5
Observaciones 1) Es condición necesaria, pero no
suficiente en general, que todos los coeficientes
sean positivos. 2) Para n1 y n2 esta condición
es necesaria y suficiente.
5
n 1 a gt 0
n 2 a gt
0 a .a gt 0 a gt 0 3) Para n3,
además de la condición necesaria debe cumplirse
a .a
gt a a gt 0 a .a -a gt 0 a .a .a
- a .a a .(a .a - a ) gt 0 4) Para
ngt2, además de la condición necesaria, resultan
n-2 condiciones 5) Para ngt5 el análisis resulta
complicado
1
1
1
2
2
2
3
1
1
1
2
3
1
3
3
2
3
3
3
2
1
6
3.- Criterio del reverso
Un sistema realimentado es estable si al recorrer
el gráfico de Nyquist del lazo abierto G(s) en el
sentido de las pulsaciones o frecuencias
crecientes, el punto (-1,0) se deja a la
izquierda. Un sistema realimentado es estable si
al recorrer el gráfico de Black del lazo abierto
G(s) en el sentido de las pulsaciones o
frecuencias crecientes, el punto (0 dB, 180º) se
deja a la derecha.
Im(G(jw))
Im(G(jw))
2
2
Nyquist
1
1
w0
w0
0
0
wO
O
wO
O
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
-1
-2
-3
Re(G(jw))
Re(G(jw))
-1
-1
-2
-2
estable
inestable
7
Black
G(jw) (dB)
G(jw) (dB)
20
20
10
10
?
?
G(jw)
G(jw)
0
0
w0
w0
90º
180º
0º
-90º
-180º
90º
180º
0º
-90º
-180º
-10
-10
-20
-20
wO
O
wO
O
inestable
estable
En la mayoría de los casos prácticos se puede
aplicar el criterio del reverso. Sin embargo, no
siempre es correcto. Si hay integraciones o
raíces de G(s) en el semiplano positivo puede
fallar.
8
4.- Criterio de Nyquist
El criterio del reverso es una simplificación del
criterio de Nyquist. Se basa en el principio del
argumento del cálculo complejo. Reglas de
aplicación 1.- Anotar P nº polos de G(s) en
semiplano estrictamente positivo 2.- Dibujar el
diagrama de Nyquist de G(jw) desde w -O a w
O Para ello se dibuja el diagrama de Nyquist
desde w 0 a w O y se añade su simétrico
respecto al eje real. 3.- Siendo h el nº de
integraciones de G(s), se completa el gráfico con
h semicírculos de gran módulo en sentido horario,
desde w -0 a w 0 4.- Anotar R nº de rodeos
horarios al punto (-1,0) de la curva cerrada
obtenida. A los rodeos antihorarios se les da
signo negativo. 5.- Nº de raíces de 1 G(s) en
semiplano positivo N P R
O
O
O
9
K
Ejemplo
K, T ,T positivos
G(s)
1
2
s.(1 T s)(1 T s)
1
2
Im(G(jw))
Im(G(jw))
1
1
Re(G(jw))
wO
O
Re(G(jw))
wO
O
1
-1
1
-1
-1
-1
w0
w0
10
K
Ejemplo
K, T ,T positivos
G(s)
1
2
s.(1 T s)(1 T s)
1
2
w-0
Im(G(jw))
w-0
Im(G(jw))
1
1
Re(G(jw))
wO
O
Re(G(jw))
wO
O
w-O
O
w-O
O
1
-1
1
-1
-1
-1
w0
w0
11
K
Ejemplo
K, T ,T positivos
G(s)
1
2
s.(1 T s)(1 T s)
1
2
w-0
Im(G(jw))
w-0
Im(G(jw))
1
1
Re(G(jw))
wO
O
Re(G(jw))
wO
O
w-O
O
w-O
O
1
-1
1
-1
-1
-1
w0
w0
12
K
Ejemplo
K, T ,T positivos
G(s)
1
2
s.(1 T s)(1 T s)
1
2
w-0
Im(G(jw))
w-0
Im(G(jw))
1
1
Re(G(jw))
wO
O
Re(G(jw))
wO
O
w-O
O
w-O
O
1
-1
1
-1
-1
-1
w0
w0
K lt K
P 0
R 0
u
N P R 0
K gt K
P 0
R 2
u
Estable
N P R 2
Inestable
13
Mediante el criterio de Routh-Hurwitz
s.(1 T s)(1 T s)
K
K
1
2
1 G(s) 1

s.(1 T s)(1 T s)
s.(1 T s)(1 T s)
1
2
1
2
2
3
s.(1 T s)(1 T s) T .T .s (T T
).s s K
A(s) K
1
2
1
2
1
2
K
3
1
2
T T
2
1

s ( ).s . s
T .T
T .T
T .T
1
2
2
2
1
1
Condiciones de estabilidad
K, T , T gt 0
1
2
T T
1
2
a .a - a gt 0
K lt K
u
1
3
2
T .T
1
2
14
K.(1 T .s)
Ejemplo
1
K, T ,T positivos
G(s)
1
2
(1 - T s)
2
Im(G(jw))
1
-K.T /T
wO
O
1
2
w0
Re(G(jw))
1
-1
w-0
w-O
O
K
-1
K T /T
1
2
u
K lt K
P 1
R 0
K gt K
P 1
R -1
u
u
N P R 1
N P R 0
Inestable
Estable
15
Márgenes de estabilidad
Im(G(jw))
Black
G(jw) (dB)
1
Nyquist
w0
20
G(s)
G(s)
10
?
Ø
-270º
w
G(jw)
wO
O
0
Re(G(jw))
u
m
w
1
-1
1/A
-90º
0º
-180º
o
m
-10
A (dB)
m
Ø
-20
m
w
o
-1
w
u
w0
wO
O
16
A Márgen de ganancia Factor por el que hay
que multiplicar el lazo abierto G(s) para que el
sistema sea oscilante Ø Márgen de fase
Angulo que hay que retrasar el lazo abierto G(s)
para que el sistema sea oscilante w Pulsación
de cruce w -180º w Pulsación de
oscilación G 1 Valores típicos de diseño
A gt 2 (6 dB) Ø 45º a 60º
m
m
o
G
u
m
m