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Tema 3 Propiedades de los lenguajes
independientes de contexto
3.1. Lema de Bombeo 3.2. Propiedades de cierre de
la clase de los lenguajes I.C. 3.2.1. Cierre
bajo Unión. 3.2.2. Cierre bajo
Concatenación. 3.2.3. Cierre bajo
Clausura. 3.2.4. Cierre bajo Reverso. 3.3.
Propiedades de decisión de los lenguajes I.C.
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Propiedades de los lenguajes independientes de
contexto
Lema de Bombeo
Lema.- Sea G (N, ?, P, S ) en FNC. Si el árbol
de derivación de x ? ? no contiene caminos de
longitud mayor que i, x ? 2 i -
1. Demostración.- Inducción en i. Base i
1 S Hipótesis Sup. resultado cierto para valor
menor que i a Se cumple a 1 ? 2 1 -
1 Paso Sea un árbol con camino de longitud
i. S A B La primera producción es de tipo
S ? AB T1 T2 x1 x2 La longitud máxima de
los caminos de T1 y T2 es como máximo i - 1.
Aplicando la hipótesis, x x1 x2 ? 2
i - 2 2 i - 2 2 i - 1.
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• 3.1. Lema de Bombeo
• ? L de tipo 2, ? n gt 0 ?z ?L con z ? n, ?
  u, v, w, x, y z uvwxy con
• vx ? 1, vwx ? n y se cumple uviwxiy ? L,
  ?i ? 0.
• Demostración. Sea G (N, ?, P, S ) en FNC con N
  k, tal que L(G) L.
• Sea n 2k y sea z ? L con z ? n. Veamos que
  z puede ser factorizada
• Como z ? 2k existe un árbol con camino de
  longitud ? k 1.
• Como N k algún no terminal (a altura menor
  que k 1) en ese camino
• está repetido.

A A x2 x3 x4
Se tiene A ? x2 A x4 y A ? x3 por lo que A ? x2i
x3 x4i además x2 x4 ? 1 y x2 x3 x4 ?
2k n
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S A A x1 x2
x3 x4 x5
El árbol de derivación de x es
Haciendo x1 u x2 v x3 w x4 x x5
y se tiene lo propuesto

• Si un lenguaje no cumple el lema de bombeo no es
  incontextual.
• Ejemplo Demostrar que L 0i1j2k k ? 0 no
  es incontextual.

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3.2. Propiedades de cierre de la clase de los
lenguajes I.C.

• La clase de los lenguajes independientes de
  contexto es cerrada bajo la Unión
• (L1 , L2 son de tipo 2 ? L1 ?
  L2 es de tipo 2)

Sean G1 (N1, ?, P1, S1 ) tal que L(G1) L1,
G2 (N2, ?, P2, S2 ) tal que L(G2) L2
con N1 ? N2 ?. Construimos
G (N, ?, P, S ) con N N1 ? N2 ? S, S ? N1
? N2 . P P1 ? P2 ? S ? S1 S2.
L(G) L1 ? L2

• La clase de los lenguajes indep. de contexto es
  cerrada bajo la Concatenación
• (L1 , L2 son de tipo 2 ? L1?L2
  es de tipo 2)

Sean G1 (N1, ?, P1, S1 ) tal que L(G1) L1,
G2 (N2, ?, P2, S2 ) tal que L(G2) L2
con N1 ? N2 ?. Construimos
G (N, ?, P, S ) con N N1 ? N2 ? S, S ? N1
? N2 . P P1 ? P2 ? S ?
S1?S2. L(G) L1 ? L2
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• La clase de los lenguajes independ. de contexto
  es cerrada bajo Clausura
• (L es de tipo 2 ? L
  es de tipo 2)

Sea G (N1, ?, P1, S1 ) tal que L(G1) L,
Construimos G (N, ?,
P, S ) con N N1 ? S, S ? N1. P
P1 ? S ? S1S ? . L(G) L

• La clase de los lenguajes independ. de contexto
  es cerrada bajo Reverso
• (L es de tipo 2 ? L r
  es de tipo 2)

Sean G (N1, ?, P1, S1 ) tal que L(G1) L,
Construimos G (N1, ?,
P, S1 ) con P A ??r A ?? ? P1 ,

L(G) L r
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• La clase de los lenguajes indep. de contexto NO
  es cerrada bajo la Intersección
• (L1 , L2 son de tipo 2 ? L1 ?
  L2 es de tipo 2)

Sea L1 0i 1i 2j i, j ? 0 L1 L(G1) con
G1 S ? AB A ? 0A1 ? B ? 2B ?
Sea L2 0i 1j 2j i, j ? 0 L2 L(G2) con
G2 S ? AB A ? 0A ? B ? 1B2 ?
L1 ? L2 0i 1i 2i i ? 0
La intersección de un lenguaje independiente de
contexto y un regular es I. C.
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• La clase de los lenguajes indep. de contexto NO
  es cerrada bajo Complementación
• (L1 es de tipo 2 ? L1 es
  de tipo 2)

Demostración. Supongamos que sí es cerrada. Como
L1 ? L2 L1 ? L2 la intersección sería
cerrada, en contra de lo demostrado anteriormente.
Ejercicio. Demostrar que la clase de los
lenguajes indep. de contexto NO es cerrada bajo
la diferencia.
Ejercicio. Es la clase de los lenguajes indep.
de contexto cerrada bajo homomorfismo?.
Ejercicio. Es la clase de los lenguajes indep.
de contexto cerrada bajo sustitución
incontextual?.
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3.3. Propiedades de decisión de los lenguajes I.C.

• Un problema es decidible si existe un algoritmo
  que, ante cualquier instancia del mismo,
• responde si o no.
• Los siguientes problemas (entre otros) no son
  decidibles
• Ambigüedad de las gramáticas independientes de
  contexto.
• Equivalencia entre dos gramáticas independientes
  de contexto.
• Averiguar si el complementario de un lenguaje
  independiente de contexto también lo es.

Problemas que son decidibles
Averiguar si el lenguaje generado por una
gramática independiente de contexto es (no
es) vacío es decidible. L(G) ? ? ? S es
generativo
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• Averiguar si el lenguaje generado por una
  gramática independiente de contexto es (no es)
• finito es decidible.
• Algoritmo
• A partir de G (N, ?, P, S ) en FNC, construimos
  grafo dirigido con
• Los auxiliares como nodos.
• Si A ? BC ? P hay un arco de A a B y otro de A a
  C.
• L L(G) es infinito si y solo si en el grafo
  anterior hay un ciclo.

Ejemplo Son finitas las siguientes gramáticas?
S ? AB 0 A ? BB BC 1 B ? CC 0 C ? 1
S ? AB 0 A ? BB BC 1 B ? CC 0 C ? AS 1