BIOL 2153' Captulo 3'

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BIOL 2153. Capítulo 3.

• Muestreo aleatorio. Random Sampling
• Probabilidades. Probability
• Variables aleatorias. Random Variables
• Permutaciones. Combining Probabilities
• Distribución de probabilidades. Probability
  Distributions
• Distribución binomial. Binomial Distribution

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Muestreo aleatorio

• Muestreo es el proceso de seleccionar y medir
  algo de interés en un subconjunto de una
  población. Una muestra es la representación de
  toda la población.
• Aleatorio significa que no hay ninguna
  predictabilidad
• Muestreo aleatorio significa que al seleccionar
  la muestra todos los miembros de la población
  tienen igual oportunidad de ser seleccionados
  (nadie puede predecir quienes serán seleccionados
  antes de hacer la selección). A veces esto se
  llama Modelo aleatorio.
• Todos los casos que estudiemos están basados en
  asumir que las muestras son siempre
  seleccionadas con Muestreo aleatorio.
• Las Tablas de números aleatorios y los
  generadores de números aleatorios estén
  disponibles en el libro de texto, en programas de
  computadoras, en calculadoras, etc.
• -Métodos de selección
• -Asignación de números individuales
• -Cómo escoger un punto de partida

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Muestreo aleatorio. Vocabulario

• Parámetro valor real de una medida (media, d.
  s., var., rango, etc.) que está basado en la
  población completa.Generalmente se designa con
  letras griegas.
• Estadístico es el estimado del valor real de
  una medida y está basado en una muestra tomada de
  toda la población. Se designa con una letra con
  una barra sobre ella. La letra más común para
  indicar una variables es la letra x. Por eso la
  media de x se escribe a menudo como   
• Error muestral
• Suponiendo que la selección es aleatoria,
  entonces la diferencisa entre los estadísticos de
  la muestra y los parámetros de la población es el
  error muestral.
• Desviación- tendencia - bias si algunos
  individuos tienen más probabilidad que otros de
  ser seleccionados.
• Homogeneidad si al rango de la muestra no es
  tan amplio como el de la población entonces la
  muestra es demasiado homogénea. En este caso la
  media de la muestra puede no estar corrompida por
  una tendencia pero la varianza de la muestra es
  muy pequeña.

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Probabilidades

• Probabilidad
• PrE la posibilidad de que un algo ocurra
  durante un evento aleatorio. E evento.
• Evento aleatorio es una ocurrencia que al menos
  parcialmente ocurre por casualidad.
• evento seleccionar el número de lotería
  correcto.
• Casualidad 1 comprar un ticket
• Casualidad 2 comprar un millón de tickets
• Cómo se determina la probabilidad
• Modelos teóricos - podemos crearlos si tenemos
  alguna expectativa sobre el comportamiento del
  sistema. Por ejemplo la posibilidad de que salga
  un seis en un dado normal. Este es el estimado
  teórico de la probabilidad.
• Modelo de frecuencia se basa en un estimado
  empírico en que los datos nos dicen lo que puede
  ocurrir.
• PrE veces que un evento ocurre / veces que
  puede ocurrir lo que se busca. El número de veces
  que un evento puede ocurrir depende de las veces
  que el evento se repite.

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Variable aleatoria y combinación de probabilidades

• Variable aleatoria
• Una variable cuyo valor depende del resultado de
  un evento aleatorio.
• Combinación de probabilidades. Dependencia a
  independencia
• Probabilidad de que dos resultados A y B ocurran.
• PrA y B PrA se multiplica por Pr B,
  suponiendo que el resultado de A no depende de B
  y viceversa. Estos eventos son independientes.
• Probabilidad de que A o B ocurran.
• PrA or B PrA se suma a la Pr B,
  suponiendo que el resultado de A no depende de B
  y viceversa. Estos eventos son indepencientes de
  nuevo y los dos eventos son mutuamente
  exclusivos, o sea que no pueden ocurrir los dos.
• Por ejemplo la probabilidad de que al echar un
  dado salga un 2 o un 5. Solamente puede ocurrir
  uno de estos resultados. Entonces aplicamos la
  regla 1/6 1/6 2/6 1/3.
• La probabilidad de que llueva en San Juan o de
  que llueva en Madrid esta semana. Ambas pueden
  ocurrir. La probabilidad de cada una es más del
  50, por lo tanto la suma será mayor de 1. Luego
  veremos cómo combinar estas probabilidades para
  calcular algo que parece imposible.

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Distribución de probabilidades

• Es un conjunto de probabilidades correspondiente
  a todos los posibles resultados de un evento
  aleatorio.
• Se parecen a los diagramas de frecuencia porque
  de hecho lo son.
• Eje de x-representa todos los resultados posibles
• Eje de y-representa la probabilidad de que cada
  resultado ocurra
• Si se suman todas las probabilidades para todos
  los resultados, la suma es 1

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Distribución Binomial
Asumimos que

• Se llevan a cabo n intentos
• El evento E puede ocurrir (éxito) o no ocurrir
  (fracaso) en cada intento
• La probabilidad de que E ocurra en cada evento
  es ? y no cambia de un intento a otro.
• El binomial responde a la siguiente pregunta
  Cuál es la probabilidad de j éxitos en n intentos
  cuando la probabilidad de un éxito es ? para cada
  intento en particular?

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Ejemplo
Usaremos n 4 Un éxito consiste en escoger una
bola roja de un grupo de tres bolas (las otras
son de otro color) de tal manera que p 1/3 (la
bola hay que volverla a poner en su sitio para
que la probabilidad de sacar una roja sea la
misma en cada intento) Cuál es la probabilidad
de sacar dos bolas rojas en los cuatro intentos
(j 2)? Prdos bolas rojas en cuatro intentos
24/81 Esta probabilidad se calcula de la
Distribución Binomial Prj éxitos de n intentos
nCj ?j(1-? )n-j ? j(1-? )n-j  probabilidad
del resultado deseado en cualquier intento (j
éxitos de n éxitos posibles) nCj el número de
combinaciones que tienen el número correcto de
éxitos. (Apéndice 3.2)
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Cálculos
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Media de una distribución binomial
La media de una distribución binomial (número de
éxitos esperados en n intentos) se puede deducir
por simple lógica. Si la probabilidad de éxito es
?, y el número de intentos es n, entonces podemos
esperar n? éxitos. Por ejemplo, digamos que la
probabilidad de pescar un pez cualquier día es
0.20. Esta es ? . El número de días que vamos a
pescar es 30. Esto es n. Cuántos días vamos a
pescar algo? Los éxitos que se esperan es la
media. En este caso n? 300.20 6. La
desviación estandar es algo más compleja. Vea el
apéndice 3.3 del libro.
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Desviación estándar de una distribución binomial
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Cuándo se aplica la distribución binomial

• Cuando los resultados son dicótomos. Por ejemplo
  o sale A o A no sale. (un animal vive o muere).
• La posibilidad de que un resultado ocurra debe
  ser la misma de que no ocurra.
• Si se muestrea una población, entonces
• Debe devolverse el individuo muestreado a la
  población. Esto se llama muestreo con reemplazo.
• De lo contrario, la muestra debe ser tan
  insignificante con respecto a la población total
  que al remover la muestra no se altera
  significativamente la proabilidad de un resultado
  (el factor Fudge).

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Caso real.
Supongamos que estamos investigando la densidad
de una especie de plancton en un lago. A menudo
una muestra no trae ningún ejemplar de los que
Ud. busca. Sigue muestreando el lago y cada día
toma cuatro muestras. Así lo hace por 100 días.
La pregunta que nos podemos hacer es si todas las
muestras son verdaderamente aleatorias. Si lo
son, entonces todas las muestras son igualmente
útiles para determinar la densidad. Si no lo son,
entonces algunas muestras es más probable o menos
probable que contengan la especie que se
investiga. Esto puede ser debido a muchas
causas. El principio sigue siendo que todas las
muestras deben tener la misma probabilidad en
cada intento. Cómo saberlo?
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Análisis de datos
Hay demasiados días sin nada y demasiados días
con los cuatro frascos exitosos. Esto quiere
decir que ? no es constante. Porqué? Hipótesis

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Cómo elaborar una tabla de descomposición
factorial
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Distribución binomial

• Un evento ocurre N veces (por ejemplo una moneda
  se echa N veces) entonces se puede usar la
  distribución binomial para determinar la
  probabilidad de obtener r éxitos en N veces.
• P(r) es la probabilidad de obtener exactamente
  r éxitos, N es el número de veces que se echa la
  moneda, y n es la probabilidad de éxito en una
  sola vez. Asumimos que
• Son dicotomos (fall into only two categories)
• Mutuamente exclusivos
• (c) Independientes y
• (d) Seleccionados al azar.

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Vamos a aplicarla a un caso real. Por ejemplo
obtener tres veces cara si se echa 6 veces. N 6,
r3, y p .5. Por lo tanto,
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Otras veces es necesario utilizar la distribución
binomial acumulada. Por ejemplo la posibilidad de
obtener tres veces o más cara en n6 y n.3, se
calcula P(3) P(4) P(5) P(6). Esto se puede
escribir así Y es igual a .1852 .0595
.0102 .0007 .2556.