Prsentation de problmes lis ltude des systmes retards

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Présentation de problèmes liés à létude des
systèmes à retards

• Alexandre Seuret
• LAGIS\Ecole Centrale de Lille
• Sous la direction de
• Jean-Pierre Richard Michel Dambrine

ARCir Robocoop Information et perspectives 1er
mars 2006
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Sommaire

• Étude des systèmes à entrée échantillonnés
• Observateurs de systèmes à retards inconnus
• Application à la commande et à lobservation dun
  système télé-opéré.

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Étude des systèmes échantillonnés Le Contexte
Processus Continu
Calcul
Convertisseur A/N
x(t)
x(nT)
Convertisseur N/A Bo
u(t)u
un
n
4
Étude des systèmes échantillonnés Position du
Problème
Stabilisation dun système via une commande de la
forme  
où ( tk ) est une suite strictement croissante
en général,
Types de systèmes considérés Linéaires
Linéaires saturés Linéaires perturbés
Retour détat (simple)
5
Étude des systèmes échantillonnés Une idée
intéressante Mikheev et al. 88, Sobolev et al.
89. Aström et al. 92
Signal échantillonné bloqué (ici, à période
constante)
Signal retardé par t(t) variable
t(t) définit le retard déchantillonnage
6
Étude des systèmes échantillonnés
Re-formulation du problème

• Influence de la période maxi déchantillonnage
• Application du critère de Fridman

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Étude des systèmes échantillonnés
Re-formulation du problème

• Application aux cas des systèmes linéaires à
  entrées échantillonnées (Fridman et al,
  Automatica, 2004 )

Système Linéaire
Système Linéaire Pertubé
x(t)
u(tk)
Système linéaire à entrée saturée
Échantillonnage
Retour détat
u(t)
8
Étude des systèmes échantillonnés Conditions de
stabilité
(Fridman et al, Automatica, 2004 )
Cas des systèmes à entrée saturée
Objectif Maximiser le domaine
9
Étude des systèmes échantillonnés un exemple
(Fridman et al, Automatica, 2004 )
Sat(u)
5
u
-5
10
Étude des systèmes échantillonnés un autre
résultat
hm
h
h-m

• Influence de la période maxi déchantillonnage
• Influence du retard moyen
• Application du critère de Fridman

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Étude des systèmes échantillonnés un autre
résultat

• Stabilisation exponentielle de systèmes neutres,
  retardés et à entrée échantillonnée ( Seuret et
  al, soumis à IEEE TAC, Seuret et al, IEEE MED,
  2005)

x(t)
u(tk)
u(tk-h2)
Échantillonnage
Retard h2
Processus g,t
u(t)
Retour détat
Léquation du système est

• t1 Retard interne
• t2 Retard du à léchantillonnage 
• g  Retard du terme neutre

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Étude des systèmes échantillonnés un autre
résultat
Seuret et al, soumis à IEEE TAC
Théorème  Le retour détat u(t)Kx(t) stabilise
exponentiellement le système si, pour deux réels
positifs a et e, il existe les matrices
telles que les conditions LMI suivantes soient
vérifiées 
où
Le gain K du retour détat est alors
13
Étude des systèmes échantillonnés Exemple
avec
Seuret et al, soumis à IEEE TAC
Soit le système   avec
En appliquant le théorème précédent, on détermine
un gain K qui stabilise exponentiellement le
système pour h1, m lt 0.09, pour a1.19, e2.3 gt
K1.02 1.07
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Observateur de systèmes à retards inconnusLe
contexte

• Observation dun système
• linéaire à retard variable sur
• létat et/ou lentrée

Système linéaire étudié
Observateur
15
Observateur de systèmes à retards
inconnusConception dobservateurs à modes
glissants (1)
Considérons le système
Les perturbations vérifient la condition
Si les conditions de matching A1
A2 A3 le système peut alors
sécrire et on définit alors
lobservateur La dynamique de lerreur est
donnée par avec
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Observateur de systèmes à retards
inconnusConception dobservateurs à modes
glissants (1)
Seuret et al, CIFA, 2004
Théorème 1 Si les conditions de matching sont
vérifiées, lerreur est asymptotiquement stable
pour tout retard variable h(t)lthm, sil existe
P1, R1, Py, des matrices définies positives et
une matrice Z2, telles que les conditions LMI
suivantes soient respectées

• Exemple
• avec

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Étude dun système télé-opéréContexte
Système télé-opéré Seuret et al, ACC 2006
Esclave
GPS
Maître
GPS
Réseau

• Imposer une consigne
• Générer une commande
• Observer létat

• Puissance de calcul limitée
• Appliquer une commande
• Envoyer son état

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Étude dun système télé-opéréConception du
système

19
Étude dun système télé-opéréConception du
système

• GPS
• Le Maître et lEsclave disposent dune horloge
  commune.
• Permet de connaître le retard de transmission une
  fois que linformation a été reçue mais pas avant.

• Échantillonnage des données
• Léchantillonnage nest pas nécessairement
  périodique
• On suppose que la période maximale T
  déchantillonnage est connue.

• Observateur
• Détermine une estimation de létat de lEsclave
  en utilisant la sortie retardée.
• Lobservateur converge vers létat courrant de
  lEsclave.

• Contrôleur
• Calcule la commande par retour détat
• Stabilise lEsclave quelque soit la valeur du
  retard

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Étude dun système télé-opéréSynthèse des gains
Seuret et al, ACC, 2004

• de lobservateur
• Si pour les réels positifs a et e, il existe
• telles que les LMI suivantes soient satisfaites
  pour j1,2

avec
Lerreur est alors a-stable et le gain de
Luenberger est donnée

• du contrôleur
• Si pour les réels positifs a et e, il existe
• telles que les LMI suivantes soient satisfaites
  pour i1,2

avec
Le système est a-stable et le gain du retour
détat est donné par
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Étude dun système télé-opéréUn exemple moteur
se déplaçant dans une seule direction
Seuret et al, ACC, 2004
Soit le système linéaire
où
Le théorème 1 garantit que lerreur converge vers
la solution e(t)0 avec un degré de convergence
a1.01 et
Le théorème 2 garantit que le système converge
vers la consigne avec un degré de convergence
a1.01 et
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Étude dun système télé-opéréUn exemple moteur
se déplaçant dans une seule direction
Seuret et al, ACC, 2004