Trois points de vue sur l'histoire des math

1
Trois points de vue sur l'histoire des
mathématiques

• - une lente évolution de l'écriture des nombres
• - l'aspect outil avec Fourier
• - l'apport culturel d'Euclide

Claude Gachet Philippe Clarou
AST 23 mars 2007
2
Avant-propos

• Les mathématiques apparaissent parfois, tout au
  moins dans certains aspects, comme une science
  déconnectée du réel, complètement achevée et
  immuable, réservée à un certain nombre d'initiés,
  sans évolution ni recherche.

Pourtant elles sont l'œuvre des différentes
civilisations et des générations successives
elles ont connu et connaissent encore comme
toutes les sciences, évolutions, impasses,
régressions, progrès et controverses.
Cousquer Éliane, La fabuleuse histoire des
nombres, Diderot, Paris, 1998
3
Premier point de vue

• Une lente évolution de l'écriture des nombres

4
Notre système pour écrire les nombres

• Pour écrire les nombres,

- nous utilisons seulement 10 chiffres 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- ces chiffres n'ont pas la même signification
suivant leur position dans le nombre
12 345
- chaque chiffre indique le nombre d'unités des
différents ordres (unité 100, dizaine 101,
centaine 102, millier 103,)
2 007
- le chiffre 0 indique une puissance de dix
manquante
- pour faciliter la lecture, on regroupe les
ordres par trois
1 000 000
- ce système permet d'écrire des nombres aussi
grands que l'on veut
- ce système est étendu à droite des unités,
au-delà d'une virgule pour écrire les fractions
de puissances de dix (dixième, centième,
millième,)
- enfin, à l'aide de l'écriture décimale, on peut
donner une valeur approchée de n'importe quel
nombre réel aussi précise que l'on veut.
5
Notre système pour écrire les nombres

• En résumé, notre système d'écriture des nombres

- en base 10 - chiffres arabes - système
positionnel - un zéro - système de notation
infini - système étendu à droite avec les parties
fractionnaires
6
Notre système pour écrire les nombres

• Ainsi, on écrit tous les nombres à partir de dix
  chiffres seulement et éventuellement une virgule
  (ou un point pour les Anglos-saxons).

Ce système est maintenant universellement adopté,
tout au moins au niveau des textes scientifiques.
Ce système est le produit d'une évolution
complexe des notations des nombres au cours de
plusieurs millénaires.
7
Les nombres dans la langue orale

• Nombres dans la langue orale

On ne dit pas les nombres comme on les écrit.
Dans les langues égyptienne, hébraïque, arabe,
sanscrite, grecque et gothique on trouve trois
cas singulier, duel et pluriel.
En français, on trouve des restes d'une base 20
(celtes, influence normande du 1er millénaire,
numération grecque) quatre-vingts.
8
Pratique de l'entaille

• Premières représentations de nombres à l'aide
  d'entaille

Péroné de babouin muni de 29 encoches (vers 35
000 ans avant notre ère)
Os de loup muni de 55 encoches regroupées par 5
(vers 30 000 ans avant notre ère)
http//histoiredechiffres.free.fr
9
Pratique de l'entaille

• Taille des bergers en Dalmatie

Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Paris,
R. Laffont, 1994
http//www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr
/Page.php?IDP137IDD0
10
Premières traces d'écriture

• Civilisation sumérienne

On a retrouvé les traces d'un peuple, les
Sumériens, qui pratiquaient une écriture dite
cunéiforme (en forme de coins, de clous) dont on
a retrouvé les traces, en particulier sur des
tablettes d'argile.
Ce premier document épigraphique, ramené en
Europe en 1786 par A. Michaux est, en fait, une
dotation foncière. On peut y lire en particulier
la dimension d'un champ.
http//www.ezida.com/caillou20michaux.htm
11
Sumer et Babylone

• Civilisation sumérienne 3500
  3000
• Civilisation babylonienne 2000 500
• (paléo-babylonien médio- babylonien
  néo-babylonien)

http//www.cliolamuse.com/spip.php?rubrique42
12
Mésopotamie

• Les premières tablettes d'écriture furent des
  tablettes de comptabilité.

Les tablettes mathématiques retrouvées en
Mésopotamie datent de trois périodes
- période protosumérienne des débuts de
l'écriture - autour de 2000 - la période
Séleucide (300 à 100) dont le début correspond à
la conquête de la région par Alexandre.
La découverte et le déchiffrement de l'écriture
cunéiforme sont plus récents que ceux des
hiéroglyphes égyptiens.
13
Civilisation sumérienne

• On retrouve en Mésopotamie chez les Sumériens des
  objets fabriqués ("pierres d'argile"), les
  calculi (calculus, "caillou" en latin), dès la
  moitié du 4ème millénaire avant notre ère

Dans la numérotation sumérienne, qui est de base
60, le petit cône vaut 1, la bille 10, le grand
cône 60, le grand cône perforé 3600 et la sphère
perforée 36 000.
http//www.math93.com/histoire-nombres.htm
14
Système babylonien d'écriture des nombres

• Système emprunté aux sumériens ayant servi pour
  les tables astronomiques

- pour écrire les nombres de 1 à 59, utilisation
de deux symboles répétés
23 s'écrit donc
35
15
Système babylonien d'écriture des nombres

• Système emprunté aux sumériens ayant servi pour
  les tables astronomiques

- la valeur des symboles pouvait dépendre de la
place qu'il avait dans le nombre et/ou du contexte
33?60 27
c à d 2 007
représente
16
Système babylonien d'écriture des nombres

• Exemple

Comment écrire 7 943 ?
7 943 7 200 720 23
7 943 ? 3 600 ? 60 23
2
12
7 943 ? 602 ? 60 23
2
12
17
Système babylonien d'écriture des nombres

• Caractéristiques de ce système

Possibilité de noter des nombres aussi grands ou
aussi petits que l'on veut.
Ambiguïté par suite de l'absence de zéro et de
virgule c'est seulement le contexte qui donne
l'ordre de grandeur.
Ce système, chronologiquement le premier (2000
ans avant notre ère), a été le système le plus
élaboré de ceux apparus dans l'Antiquité au
Moyen-Orient. Il fut adopté par Ptolémée pour
noter les parties fractionnaires dans ses tables
astronomiques.
18
Système babylonien d'écriture des nombres

• Quelques exemples

http//www.techno-science.net/?ongletglossairede
finition2074
19
Système babylonien d'écriture des nombres

• Ecoles de scribes en Mésopotamie (vers -1800)
• Tablette scolaire de Nippur (HS 217a)

Table par 25 (musée du Louvre)
1 9 2 18
7 60 3 8 60 12
Copie de H. Hilprecht, 1906, Mathematical,
Metrological and Chronological Tablets from the
Temple Library of Nippur, n15, pl. 14
Christine Proust Equipe REHSEIS ENS - Site
CultureMATH
20
Calcul de

• Tablette YBC 7 289

Sur un côté du carré, on peut lire
Sur la diagonale
soit 1 24, 51, 10 ? 1,414 212 9
Et en dessous de la diagonale
soit 42 25, 35 qui correspond à 30 ? 1 24,
51, 10
http//perso.ens-lyon.fr/pierre.lescanne/PUBLICATI
ONS/histoire_algo_babylone.pdf
21
Civilisation égyptienne

• Les mathématiques égyptiennes nous sont parvenues
  surtout par deux documents

- le papyrus de Rhind -1650
copie par le scribe Ahmès d'un document plus
ancien de 200 ans environ sûrement babylonien
http//serge.mehl.free.fr/chrono/Ahmes.html
22
Civilisation égyptienne

• Les mathématiques égyptiennes nous sont parvenues
  surtout par deux documents

- le papyrus de Moscou -1850
Découvert en 1853 par l'égyptologue russe
Golenischev
http//serge.mehl.free.fr/chrono/Ahmes.html
illustration empruntée au site UVic de
l'université de Victoria (Canada)
23
Système égyptien d'écriture des nombres

• Système additif

1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 ? 20 ? ? 30 ? ? ? 40 ? ? 50 ?? ? 60 ?? ?? 70 ?? ??? 80 ???? ???? 90 ????? ????
1 10 ? 100 1000 10000 105 106
24
Système égyptien d'écriture des nombres
1 10 ? 100 1000 10000 105 106

• Exemples

347
101 011
25
Numération égyptienne calculs

• Dans un système non positionnel, comme la
  numération égyptienne, grecque ou romaine, toute
  opération ne peut pas s'effectuer à partir de la
  simple écriture des nombres.

En Égypte, on utilisait des tables à calculs (ou
abaques), table à sable, table à poussière
26
Multiplication égyptienne

• Par duplication

Soit à effectuer 75 ? 23
1 75
2
150
Puisque 23 16 4 2 1
4
300
On a 75 ? 23 1200 300 150 75
8
600
16
1200
Donc 75 ? 23 1725
27
Division par duplication

• Soit à diviser 2007 par 29

1 29
2 007 1 856 151
2
58
151 116 35
4
116
8
232
35 29 6
16
464
32
928
2 007 64 ? 29 151
1 856
64
64 ? 29 4 ? 29 35
64 ? 29 4 ? 29 1 ? 29 6
69 ? 29 6
www4.ac-lille.fr/math/classes/serieL/hist_numer.p
pt
28
Fractions égyptiennes

• Les égyptiens n'avaient pas la notion de fraction
  mais simplement celle de part.

En fait, dans les calculs ils ramenaient les
fractions à des décompositions en somme d'un
entier et de fractions unitaires distinctes.
29
Fractions égyptiennes

• Une partie du papyrus de Rhind est consacré à
  l'établissement de ses tables. On trouve entre
  autres sur ce papyrus des relations comme

Pour calculer le quotient de 19 par 8
1 8
19 16 3 2 ? 8 3
2 16
4
3 2 1 ? 8 ? 8
2
1
30
Système grec d'écriture des nombres

• Système décimal additionnel utilisant les lettres.

Pour distinguer les nombres, les lettres
utilisées sont surmontées d'une barre.
http//histoiredechiffres.free.fr
31
Numération romaine

• Origine vers 500 avant notre ère

Caractéristique numération additive de base
10. Le nombre zéro n'existe pas et n'est pas
nécessaire
32
Numération romaine

• Au début,
• I II III IIII V VI
  VII
• un deux trois quatre cinq six sept
• VIII VIIII X
  XI
• huit neuf dix onze

Ensuite, I II III IV V VI
VII un deux trois quatre cinq six sept
VIII IX X
XI huit neuf dix onze
http//histoiredechiffres.free.fr
33
Numération romaine

• Les romains utilisaient M pour 1 000
• On trouve aussi F ou ?I?
• Doit y voir un lien avec les Etrusques qui
  désignait 1 000 par un O ?
• D désignant 500 résulte-t-il de cette notation ?

34
Règles de la numération romaine

• Règle numéro 0  La numération romaine nutilise
  pas de zéro.

Règle numéro 1  On additionne les symboles entre
eux, si ceux inscrits à droite sont plus
petits. Exemples  XXVIII 10 10 5 1 1
1 28 LXXVII
Règle numéro 2  On nécrit jamais plus de 3
signes semblables juxtaposés. Exemples  IV et
non IIII IX et non VIIII
CD et non CCCC
Règle numéro 3  Les chiffres écrits à gauche
dun plus grand sen retranchent. Exemples  IV
5 1 4 IX 10 1 9
CD 500 100 400
LX
35
Règles de la numération romaine

• Règle numéro 4  Tout chiffre écrit entre 2 plus
  forts se retranche de celui de droite 
• Exemples  XIX 10 (10 1) 10 9 19
• MCM 1000 (1000 100) 1000 900 1900

Règle numéro 6  Quand on retranche un nombre
dun nombre plus fort, on ne peut pas sauter une
puissance de 10. Exemple  999 ne peut pas
sécrire IM 999 900 90 9 CMXCIX
36
Numération romaine calculs

• Les tables à calculs

Les tables à calculs , appelées abaques , étaient
constituées de tables ou de planchettes avec des
colonnes pour séparer les différents ordres de
numération  les jetons ou cailloux utilisés
valaient chacun une unité dans le rang où ils
étaient placés .
Chez les Romains, chaque colonne de labaque
était une puissance de dix.
http//histoiredechiffres.free.fr
37
Numération romaine calculs

• Parfois , chaque colonne était divisée en deux
  parties, la partie supérieure valant la moitié
  dune unité de lordre immédiatement supérieur .

http//histoiredechiffres.free.fr
38
Boulier

• Une addition avec un abaque est très proche d'une
  addition avec un boulier.

addition
39
Éclipse des sciences avec l'empire romain

• Malheureusement, la science devait connaître une
  éclipse à l'époque de l'Empire romain, dont les
  élites étaient plus intéressées par la technique
  et par les conquêtes que par l'avancement des
  connaissances théoriques, et les invasions qui
  ont suivi son effondrement, n'ont pas favorisé
  les recherches scientifiques.

40
Numération indienne

• Aryabhata (476 550)

Aryabhata est un des premiers grands
mathématiciens indiens il a publié un traité
Aryabhata en sanscrit en 550 (traduit en Europe
seulement au 19e siècle), où il utilise des noms
de nombres de la langue sanskrite tel que Eka
(1), Dasha (10), Shata (100) pour désigner ses
données numériques.
Mais il emploie également une notation numérique
(de type alphabétique) de son invention dont
lusage est peu commode. On peut penser aussi
quil use de la notation décimale au moyen de
symboles numériques et quil connaît le principe
de position ainsi que le zéro.
Il a présenté un système héliocentrique,
s'opposant ainsi au système de Ptolémée, hérité
d'Aristote
41
Numération indienne

• Brahmagupta (598 660 ?)

En fait, c'est Brahmagupta qui emploie dans ses
calculs, les chiffres décimaux avec un graphisme
proche des chiffres adoptés ensuite par les
arabes au 9e siècle.
C'est lui qui utilise pour la première fois
explicitement le nombre zéro. Cette apparition
est un grand pas vers l'algèbre.
Il est aussi sûrement le premier à utiliser les
nombres relatifs pour signifier pertes et profits
il énonce la règle des signes.
42
Numération indienne

• Multiplication

soit à effectuer 567 ? 234
2?5 10
2?6 12
2?7 14
3?5 15
3?6 18
3?7 21
4?5 20
4?6 24
4?7 28
43
Les arabes et l'Islam

• Le déclin de la mathématique grecque, puis de
  l'empire romain, marquent le début de l'influence
  arabe liée à l'apparition du prophète Muhammad
  vers l'an 600 et d'une nouvelle religion
  l'Islam.

Le berceau intellectuel et économique de cette
nouvelle civilisation sera d'abord La Mecque,
ville natale du prophète et carrefour économique
de la région.
Après la mort du prophète (632), les conquêtes
musulmanes se succèdent (Syrie, Jérusalem,
Mésopotamie, Égypte, Iran, Chypre, Afrique du
nord, Sicile, Espagne).
44
Renouveau scientifique

• Ces invasions seront un important vecteur de la
  transmission du savoir et du renouveau des
  mathématiques.

En effet, si les premières conquêtes sont plus
motivées par la soif du gain que celle de la
culture, l'installation des califats conduira les
conquérants à s'intéresser aux autres trésors des
contrées traversées (architecture, sciences,
médecine, philosophie, arts).
45
Renouveau scientifique

• Bagdad (capitale de l'actuel Iraq) sera le fief
  de la connaissance dès le règne du calife Al
  Mansour (seconde moitié du 8e siècle).

De nombreuses écoles et bibliothèques sont
créées. Le calife Al Ma'mun, y fonde - en 829 le
grand observatoire - en 832, la maison de la
Sagesse (Baït al-Hikma), véritable laboratoire
des Lettres, des Arts et et des Sciences.
Les textes scientifiques (astronomie ,
mathématique, médecine) récoltés au cours des
conquêtes sont traduits et étudiés (en
particulier, arithmétique et géométrie grecque,
algèbre indienne).
46
La traduction des textes

• Déjà sous le règne de Harun-al-Rachid (766 - 809)
  avait été publiée la première traduction des
  Éléments d'Euclide, mais à partir d'une version
  syriaque et le calife Al-Mansour avait encouragé
  la traduction en arabe de tous les textes grecs.
  Il avait en particulier obtenu de l'empereur
  byzantin une version grecque des Éléments
  d'Euclide.

Un peu plus tard, le calife Al-Ma'mun (786 - 833)
avait été jusqu'à exiger de l'empereur d'Orient,
qu'il venait de vaincre, qu'il lui remette un
exemplaire de tous les livres grecs en sa
possession.
47
La traduction des textes

• La façon dont nous sont parvenues toutes ces
  traductions de textes grecs ressemblent souvent à
  des aventures romanesques.

Par exemple, la traduction du grec en latin de
l'Almageste de Ptolémée, faite par Boèce au
VIe siècle, a été perdue et nous n'en avons
connaissance aujourd'hui que grâce à une
traduction arabe de l'original grec, faite à
Bagdad au IXe siècle, qui fut elle-même
retraduite en latin au XIIIe siècle.
La première traduction en arabe des Eléments
d'Euclide, à partir du texte grec, date de 813 et
celle de l'Almageste de Ptolémée, de 827.
48
Les mathématiciens arabes

• Mais les Arabes n'ont pas été uniquement les
  introducteurs de la science grecque en Occident.
  Ils ont aussi été de grands savants.

Utilisant avec brio l'héritage géométrique grec,
les mathématiciens arabes furent particulièrement
novateurs en algèbre et en trigonométrie avec le
développement de l'astronomie. Leur contribution
implicite dans le renouveau des mathématiques en
Europe est ainsi capitale.
49
Al-Khawârizmi (780-850)

• Mathématicien arabe, il fut l'un des membres les
  plus importants de la maison de la Sagesse à
  Bagdad, où le calife al-Ma'mun avait regroupé
  hommes et moyens en vue du développement des
  sciences.

http//farabi.ifrance.com/khawarismi.html
Il a écrit un ouvrage sur l'arithmétique qui est
le premier exposé systématique sur le système
décimal de position et sur les opérations à
l'aide de cette notation des nombres.
Le seul manuscrit connu est une traduction latine
partielle de cet ouvrage dont le titre probable
est Livre de l'addition et de la soustraction
d'après le calcul des Indiens.
50
Al-Khawârizmi (780-850)

• La notoriété d'Al-Khawarizmi nous est parvenue à
  travers les siècles moins par ses talents
  d'astronome que par son intervention dans l'art
  du calcul algébrique.

Auteur d'un Livre sur la science de la
transposition et de la réduction ("Kitab Al jabr
w'al mouqabala"), on peut le considérer comme un
des premiers algébristes.
http//fr.wikipedia.org/wiki/Al-Khawarizmi
51
AL-KHWARIZMI Muhammad Ibn Moussa vers 780-850

• "al jabr" compensation, restauration,
• Si 3 choses diminuées de 5 valent 2 choses, je
  compense avec 5  alors 3 choses diminuées de 5
  et augmentées de 5 valent 2 choses augmentées de
  5  3 choses valent donc 2 choses et 5.

3 x 5 2 x 3 x 5 5 2 x 5 3 x 2 x 5
"al muqabala" Si 3 choses valent 2 choses et 5,
alors 1 chose vaut 5.
3 x 2 x 5 x 5
"al hatt" Si 2 carrés et 42 valent 20 choses,
alors 1 carré et 21 valent 10 choses.
2 x2 42 20 x 1 x2 21 10 x
52
Système décimal

• Les chiffres de notre système décimal (0 à 9)
  dits "arabes" ne furent introduits en Europe que
  vers l'an 1000.

Gerbert d'Aurillac (plus tard pape sous le nom de
Sylvestre II) , après des études à Cordoue à la
fin du Xe siècle, contribue à l'introduction des
chiffres arabes en France.
Abaque de Gerbert
53
Les chiffres arabes

• Au moyen âge, les mathématiciens arabes
  occidentaux utilisaient sensiblement

Les chiffres arabes orientaux (Égypte) et actuels
sont différents (ci-dessous)
Le mot français chiffre est une déformation du
mot arabe écrit ci-dessus (prononcer
approximativement sifrone ) et désignant zéro. En
italien, zéro se dit zero, et serait une
contraction de zefiro on voit là encore la
racine arabe. Ainsi nos termes chiffre et zéro
ont la même origine.
54
Le système décimal

• Léonard de Pise dit Fibonacci (1170 - 1245) dans
  son Liber abaci (paru en 1202) expose longuement
  la méthode de position de la numération décimale
  et les possibilités offertes pour le calcul cet
  ouvrage a eu beaucoup de succès mais ce calcul
  décimal a eu du mal à s'imposer dans l'usage
  courant.

On continue à utiliser en astronomie le système
sexagésimal.
Riese (1492 1559) dans un traité imprimé en
1550 assoit définitivement lusage des chiffres
indo-arabes et du système décimal en allemagne.
Viète (1540 1603) dans un important traité,
publié en 1579, tend à imposer le calcul décimal
ce que réussiront Stevin puis Neper.
55
Vers les nombres décimaux
Stevin (1548 1620) flamand, contribua par son
traité La Disme (1585) à développer le calcul
algébrique, les notions de nombre décimal, de
fraction, d'exposant fractionnaire et de nombre
irrationnel avec l'usage du radical actuel.
56
Vers les nombres décimaux
Cependant, ce système deviendra officiel et
d'usage courant en France seulement après
l'adoption du système métrique au moment de la
révolution française.
57
Repères chronologiques à propos de l'écriture des
nombres

• Système sumérien 3300
• Système égyptien 2000
• Système babylonien 1800
• Système grec 400
• Système romain 300
• Numération de position en Inde 300
• Numération arabe en Europe 900
• Arrivée du zéro en Europe 1200
• Fraction décimale Stevin publie
• De Thiende (La dîme) en 1586
• Système métrique 30 mars 1791
• Système métrique international 1960

D'après http//tboivin.free.fr/mpi/histoire/histoi
re.htm
58
Deuxième point de vue

• L'aspect outil avec Fourier

59
A propos des séries de Fourier

• 1ère séance AST du 23 mars 2007
• Claude Gachet

60
Fourier et sa célèbre transformée

• Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 - 1830

Joël Le Roux, leroux_at_essi.fr
61
(No Transcript)
62
L'ouvrage de Fourier a été réédité aux éditions
Jacques Gabay en 1988
63
équations des cordes vibrantes avec condition
initiale

• D'Alembert (1746)

Bernouilli (1750)
il pense que toutes les solutions sont de la forme
Fourier (1821)
équation de la chaleur avec condition initiale
il pense que toutes les solutions sont de la
forme
64
Des sons des timbres
fourson
65
Une idée fulgurantetransposer ce que lon sait
de la constitutions des sons depuis longtemps à
des  signaux  dautre nature.
66
foursimple
67
A propos de Fourier
2ème séance AST du 30 mars 2007Philippe
Clarou et Claude Gachet
68
Stockage
Il faut
de lénergie
un produit scalaire
une base orthonormée
si fn et gn sont définies par fn(t) cos(nt)
et gn(t) sin(nt), elles forment une base
orthogonale (presque une base orthonormée)
69
(No Transcript)
70
Restitution
On vient de voir le stockage et ce qui est
transmis.
71
Diffraction et transformée de Fourier
72
Notation  complexe 
Une bonne image est celle dun vecteur (une
flèche) tournant à vitesse constante.
73
Diffractions
74
Calcul de lamplitude en M(u)
Cest la généralisation des séries de Fourier
appelée Transformation de Fourier
75
Cas simple celui dune fente éclairée
uniformément
fonction créneau
sa transformée de Fourier
76
(No Transcript)
77
De multiples applications
78
Stockage et traitement des sons
Stockage, traitement, et restitution des sons
D après Sylvain Lafontaine
79
Transformation de Fourier rapide
80
Heureusement en 1963 quelquun invente un procédé
pour gagner du temps pour calculer ces
coefficients.
Au lieu dêtre de lordre de N2 le nombre
dopérations à faire devient de lordre de N
log(N).
avec N 1000 il y aurait 1 000 000 d'opérations
le nombre d'opération devient 1000 x 3 c-à-d
3000
OUF!!! Cela change tout.
81
Stockage, traitement, et restitution des images
82
(No Transcript)
83
(No Transcript)
84
Cristallographie structure des cristaux
85
(No Transcript)
86
(No Transcript)
87
Dautres applications

• en économie variations saisonnières

en biologie analyse des séquences dADN.
en sismographie recherche de lépicentre
en imagerie médicale tomographie,
résonance magnétique
et plein dautres choses auxquelles je nai rien
compris
88
Troisième point de vue

• L'apport culturel d'Euclide

89
Quelques dates pour la Grèce
1er J0  776 Homère (Iliade et Odyssée)
Thalès de Milet (624 548)
Pythagore de Samos (570 ? 500  ?)
Platon (428 348)
Eudoxe (408 355) théorie des proportions 
méthode d'exhaustion
Aristote (382 322) création du lycée
Euclide d'Alexandrie (325 265) les éléments
Archimède de Syracuse (287 212) mesure du
cercle  aires et volumes de la sphère  aire
sous la parabole  polyèdres  trisection de
langle  problème daire et de tangente
Apollonius de Perga (262 190) coniques
90
Thalès de Milet (624 548)

• On lui attribue lénoncé de cinq théorèmes qui
  fondent la géométrie élémentaire 
•  Tout diamètre partage en deux parties égales un
  cercle.
•  Les angles à la base dun triangle isocèle sont
  égaux.
•  Les angles entre deux lignes droites sécantes
  sont égaux.
•  Deux triangles sont égaux sils ont deux angles
  et un côté égaux.
•  Dun point dun cercle, on voit un diamètre
  sous un angle droit.
• Encyclopædia Universalis

91
Thalès et la pyramide

• Thalès avait été invité par le roi Amasis, averti
  de ses grandes connaissances. Il se montra à la
  hauteur de sa réputation le roi déclarait ne
  pas connaître la hauteur des fantastiques
  pyramides déjà presque bimillénaires. Thalès eut
  de la chance à midi il planta sa canne dans le
  sable verticalement et dit au roi "l'ombre de
  ma canne est exactement égale à sa hauteur il
  doit en être de même pour votre pyramide faites
  mesurer son ombre vous aurez sa hauteur !"

Pyramide
92
Pythagore et les Pythagoriciens
Pythagore de Samos 580 ? - 500 ?

• Astronome, philosophe, musicologue, cet illustre
  savant nous est connu par ses disciples les
  Pythagoriciens.

Personnage mythique pour ces derniers (il serait
le fils d'Apollon), il créa son école à Crotone,
laquelle devint rapidement une secte aux règles
de vie très sévères.
Devenant alors dérangeant, persona non grata, il
mourra assassiné.
Pythagore et les Pythagoriciens par Jean-François
MatteiQue sais-je n2732, P.U.F., Paris - 1993
93
Les Pythagoriciens

• Tous les phénomènes naturels, constate Pythagore,
  sont mesurables les figures, les mouvements des
  astres et aussi les sons.

Ainsi, on peut établir un rapport constant entre
la longueur des cordes d'une lyre et les accords
fondamentaux de la musique (1/2 pour l'octave,
3/2 pour la quinte etc.). L'harmonie des nombres
gouverne la nature. De fait tout devient un
problème d'harmonie.
La santé elle-même est harmonie entre les parties
du corps et entre le corps et le cosmos, la
justice sociale est une harmonie entre les hommes
où chacun est récompensé selon ses mérites (au
plan politique, Pythagore préconise le
gouvernement des savants).
94
Les Pythagoriciens

• Aristote attribue aux Pythagoriciens la première
  démonstration de l'irrationalité de .

Selon l'historien Diogène Laërce, Hippase de
Métaponte qui mit fin à la croyance en la
réduction possible de tous nombres à un entier ou
à un rapport de deux entiers, fut jeté en mer.
Mais il fallut attendre 2000 ans pour avoir une
définition des irrationnels.
95
Les Pythagoriciens

• Si m2 est pair, alors m est pair et m2 est un
  multiple de 4.

Cela résulte du fait que si m est impair, alors
m2 est impair.
Soit un triangle rectangle isocèle de côté n et
d'hypoténuse m.
D'après le théorème de Pythagore n2 n2 m2 c
à d m2 2 n2
Supposons m et n entier et premiers entre eux.
Donc m2 est un multiple de 4, mais ainsi, n2 est
pairdonc n est pair !
ce qui est contraire à l'hypothèse que m et n
sont premiers entre eux.
96
Platon 428 - 348

• Philosophe, ami et disciple de Socrate,
  Aristoclès, dit Platôn (le large) fut d'abord
  poète, dramaturge et politicien.

Il créa près d'Athènes, dans les jardins
d'Akadêmos, l'Académie, une école de la
philosophie et des sciences, au fronton de
laquelle il fit inscrire Que nul n'entre ici
s'il n'est géomètre !
97
Platon 428 - 348
La pensée de Platon s'apparente au rationalisme
cartésien.

• Platon rejette les instruments de mesure et de
  construction à l'exception de la règle et du
  compas, car ils engendrent beauté et symétrie des
  formes.

98
Duplication du carré

• Étant donné un carré, construire un carré d'aire
  double. Voici comment, selon Platon, Socrate
  l'aurait proposé à un esclave (dialogue "Le
  Ménon") afin de démontrer que la science est en
  chacun de nous le carré donné est ABCD de côté
  1.

Le carré AEFG est de côté 2
le quadrilatère DBHJ, construit sur les milieux
de côtés de ce carré, réalise la duplication du
carré ABCD.
En vérité l'esclave se trompa et pensa qu'il
suffisait de doubler le côté du carré donné (ce
qui quadruple l'aire initiale). Cette erreur est
mise à profit pour faire apparaître le carré DBHJ
en remarquant que la diagonale d'un carré partage
celui-ci en deux triangles rectangles isocèles
d'aire moitié.
99
Aristote 384-322

• Philosophe, élève et disciple de Platon, il peut
  être considéré comme le premier logicien. Outre
  la notion de syllogisme, on lui doit le sens
  actuel du vocabulaire lié au raisonnement
  déductif hypothèse, axiome, postulat,
  déduction, induction.

Il fonde à Athènes, dans l'enceinte du "Gymnase",
son école, dite "péripatéticienne", car Aristote
enseignait tout en marchant (du grec péripatein
promener).
Située au Lukeion, colline des loups,
établissement d'entraînement des athlètes,
l'école d'Aristote a donné le mot lycée. Les
Allemands ont préféré conserver gymnasium pour
désigner les établissements d'enseignement
secondaire.
100
L'École d'Alexandrie

• Fondée en 331 avant notre ère par Alexandre le
  Grand, la ville d'Alexandrie devint rapidement
  sous la protection des Ptolémées, le centre
  intellectuel du monde antique.

Les mathématiques y furent particulièrement
travaillées et la célèbre École mathématicienne
d'Alexandrie connut, entre autres, trois
représentants exceptionnels
Euclide, Archimède et Apollonius.
Les travaux de cette école débouchèrent sur une
œuvre qui pendant plus de 20 siècles servit de
base à toute étude géométrique les Éléments.
Cette œuvre est composée de 15 livres dont 13
sont dus à Euclide (300 avant notre ère).
101
Euclide (325 265)

• On ne possède pas d'informations précises sur la
  vie d'Euclide.
• Il semble qu'il étudia à Athènes à École des
  successeurs de Platon et qu'il s'établit à
  Alexandrie sur l'invitation de Ptolémée II, roi
  d'Égypte.

Euclide avec un compas dans l'Ecole d'Athènes de
'Stanze di Raffaello' au Museus Vaticans
S'appuyant sur les données de Thalès, Pythagore,
Hippocrate de Khios, Eudoxe, Euclide réalise avec
ses Éléments un premier exposé systématique des
mathématiques et en particulier une première
synthèse de la géométrie.
Il a le souci de fonder la géométrie  les
Éléments débutent par une série d'énoncés de
base, à partir desquels sont déduites toutes les
autres propositions. Une telle démarche procède
essentiellement des préoccupations et de l'œuvre
logique d'Aristote.
102
Les Éléments d'Euclide

• Le texte des Éléments d'Euclide n'existe pas et
  ces derniers ne nous sont connus que de façon
  apocryphe.

L'édition, aujourd'hui de référence, est celle
dite de Heiberg en grec et en latin et établie à
partir de 1882 à Leipzig par Heiberg et Menge en
tenant compte du seul manuscrit préthéonien
existant et découvert par Peyrard au Vatican. La
traduction anglaise de Heath en est tirée de même
que la version récente donnée en français par
Bernard Vitrac.
La 1ère impression des treize livres constituant
les Eléments d'Euclide date de 1482. C'est
l'ouvrage le plus étudié et commenté après la
Bible.
103
Euclide (325 265)

• Les éléments (13 livres) 

I à IV construction des figures géométriques
planes 
V proportions (reprise d'Eudoxe) 
VI figures semblables 
VII à IX théorie des nombres dans un contexte
géométrique  existence d'une infinité de nombres
premiers  construction de nombres parfaits 
X incommensurabilité, irrationnels
constructibles 
XI XIII aires et aux volumes des
configurations usuelles du plan et de l'espace
(reprise des travaux d'Eudoxe et Théétete, avec
l'étude des polyèdres réguliers) (Il faudra
attendre Archimède pour connaître le volume de la
sphère et l'aire de sa surface) .
104
Les Éléments

• Livre I

Dans le livre I, on trouve
- vingt-trois définitions - cinq postulats - neuf
axiomes - quarante-huit propositions
http//visualiseur.bnf.fr/StatutConsulter?Nveress
1-1171139432227B1EPDFONUMM-68013
105
Les Éléments

• Postulat axiome proposition

Le postulat est de nature plus philosophique que
mathématique. Le postulat doit être admis,
consenti avant toute poursuite du dialogue ou de
la lecture c'est une hypothèse de travail.
Un axiome est un postulat, mais il est de nature
plus évidente. Quiconque doit, s'il en comprend
l'énoncé, l'admettre sans discuter c'est un
truisme. Citons par exemple, en notation moderne,
deux axiomes arithmétiques des Éléments d'Euclide
si a  b alors a  c  b  c (pour tout nombre
c) si a gt b, alors a c gt b c.
106
Les Éléments Livre I

• DEMANDES ou POSTULATS.

1. Conduire une droite d'un point quelconque à un
point quelconque. 2. Prolonger indéfiniment,
selon sa direction, une droite finie. 3. D'un
point quelconque, et avec un intervalle
quelconque, décrire une circonférence de cercle.
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.
5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait
les angles intérieurs du même côté plus petits
que deux droits, ces droites, prolongées à
l'infini, se rencontreront du côté où les angles
sont plus petits que deux droits.
107
Les Éléments Livre I

• NOTIONS COMMUNES ou AXIOMES.

1. Les grandeurs égales à une même grandeur, sont
égales entre elles. 2. Si à des grandeurs
égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts
seront égaux. (si a  b alors a  c  b  c (pour
tout nombre c)) 3. Si de grandeurs égales, on
retranche des grandeurs égales, les restes seront
égaux. 4. Si à des grandeurs inégales, on ajoute
des grandeurs égales, les touts seront inégaux.
(si a gt b, alors a c gt b c) 5. Si de
grandeurs inégales, on retranche des grandeurs
égales, les restes seront inégaux. 6. Les
grandeurs, qui sont doubles d'une même grandeur,
sont égales entre elles. 7. Les grandeurs, qui
sont les moitiés d'une même grandeur, sont égales
entre elles. 8. Les grandeurs, qui s'adaptent
entre elles, sont égales entre elles. 9. Le tout
est plus grand que la partie.
108
Livre I

• Proposition 1 Construire un triangle
  équilatéral sur une ligne droite donnée et finie.

Exposition Soit AB une ligne droite donnée et
finie. Détermination Il s'agit de construire
sur la droite finie AB un triangle équilatéral.
Construction À partir du centre A et de
l'intervalle AB, décrivons la circonférence BCD 
puis, du centre B et de l'intervalle BA,
décrivons la circonférence ACE. Du point C, où
les circonférences sont mutuellement
concourantes, conduisons aux points A et B les
droites CA et CB.
Démonstration En effet, comme le point A est le
centre du cercle CDB, la droite AC est égale à la
droite AB  de plus, comme le point B est le
centre du cercle CAE, la droite BC est égale à la
droite BA. Or, on a démontré que la droite CA est
égale à la droite AB  donc chacune des droites
CA et CB est égale à la droite AB. Étant donné
que des grandeurs qui sont égales à une même
grandeur sont égales entre elles, la droite CA
est égale à la droite CB. Donc les trois droites
CA, AB et BC sont égales entre elles.
Conclusion Ainsi, le triangle ABC est
équilatéral, et il est construit sur la droite
donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.
109
Livre I proposition 43

• Rectangles d'Euclide

Parallélogrammes
110
Proposition XXXV du Livre I

• Les parallélogrammes constitués sur une même
  base, et entre mêmes parallèles, sont égaux entre
  eux.

Cabri
111
Démonstration de Pythagore par Euclide

• Thérèse Eveilleau

112
Pythagore

• Autre démonstration

113
Pythagore

• Quatre triangles

http//perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/tru
c_mat/pythagor/textes/pyth_4_triangles.html
114
Livre II

• Le livre II comporte

- deux définitions - quatorze propositions (12
théorèmes et 2 problèmes)
115
Proposition 2 du Livre VI

• Démonstration du théorème de Thalès par Euclide

Fig.1
Aire(EBC) Aire (FBC)
Aire(CAE) Aire (BAF)
116
Quadrature du rectangle

• Construire un carré ayant même aire qu'un
  rectangle donné

117
Quadrature du triangle

• Construire un carré de même aire qu'un triangle
  donné

118
Quadrature du rectangle

• Construire un carré ayant même aire qu'un
  rectangle donné

Thérèse Eveilleau
Quadrature du triangle
Construire un carré ayant même aire qu'un
triangle donné
Thérèse Eveilleau
119
Théorème du papillon

• Enoncé

animation
120
Archimède de Syracuse (287 212)

• élève dEuclide, mathématicien, ingénieur,
  physicien, ami d'Ératosthène

traité sur la mesure des cercles  p compris
entre 3 1/7 et 3 10/71 navait pas encore le
statut de nombre mais de rapport entre le cercle
et le diamètre.
dans la Méthode, il expose une méthode de
calcul daire  en décomposant en segments de
droite puis transformant ces segments, il
reconstitue une autre aire plus facile à
calculer 
Archimède
il établit de nombreuses formules relatives aux
aires  utilisation de miroirs paraboliques 
roue dentée  vis  trisection de langle par
la spirale.
autre
121
Surface et Volume de la sphère par Archimède

• Surface

Volume
122
Les mathématiques depuis les Grecs

• Notre modèle d'exposition des mathématiques en
  fait, est né en Grèce

Nous venons de voir qu'à la suite des réflexions
des philosophes comme Platon et Aristote, les
mathématiciens ont introduit en mathématiques la
présentation déductive, où, à partir de quelques
propositions de base admises comme prémisses,
toute proposition doit faire l'objet d'une
démonstration.
Ce type d'exposition, les mathématiciens le
savent tous, ne correspond pas à la façon dont
les propriétés ont été découvertes, mais une
reconstruction a posteriori pour prouver la
justesse de ces propositions.
123
La mathématique

• Dès la deuxième moitié du 19e siècle, de nombreux
  mathématiciens se sont intéressés au fondement
  des mathématiques.

Dedekind puis Cantor (La théorie des ensembles,
1874) fondèrent la théorie des ensembles, langage
qui se voulait simple, concis et universel,
permettant de formaliser et d'exprimer la pensée
mathématique.
Hilbert réussit une reconstruction rigoureuse de
la géométrie euclidienne avec cinq groupes de
quatre axiomes (dont quinze sont équivalents à
ceux d'Euclide).
Un groupe de mathématiciens, constitué en 1935
sous le nom de Nicolas Bourbaki a rédigé un
immense traité d'une quarantaine de volumes Les
Éléments de mathématique donnant une
reconstruction de tout l'édifice mathématique
selon la pensée formaliste promue par Hilbert.
124
Evolution actuelle

• Actuellement, le mouvement des mathématiques fait
  apparaître une multitude de sources et de
  retombées, en même temps qu'un travail
  considérable au sein des mathématiques
  constituées.

Les mathématiques s'enrichissent de problèmes, de
méthodes et de concepts venant des autres
sciences et pratiques, créent de nouveaux
concepts et de nouvelles théories, et fournissent
matière à des applications parfois inattendues.
Il est bon de ne plus raisonner seulement en
termes de "mathématique", "mathématiques pures et
mathématiques appliquées" mais de considérer
l'ensemble des "sciences mathématiques" dans la
variété de leurs acteurs et de leurs utilisateurs.
Commission de Réflexion sur l'Enseignement des
Mathématiques présidée par J.P. Kahane
125
Sites consultés

• http//www.canal-u.fr/canalu/index.php
• http//www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GNEIntro/
  Facsimil.htm
• http//www.ilemaths.net/encyclopedie/Euclide.html
• http//mathematiques.ac-bordeaux.fr/peda/bibliogra
  phie/bibliographie.htmclg_lyc
• http//perso.orange.fr/therese.eveilleau/
• http//www.chronomath.com (site de Serge Mehl)
• http//www4.ac-lille.fr/math/classes/serieL/hist_
  numer.ppt
• http//histoiredechiffres.free.fr
• http//www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr
  /Page.php?IDD45
• http//www.math93.com/
• http//www.cliolamuse.com/spip.php?rubrique42
• http//www.techno-science.net/?ongletglossairede
  finition2074
• http//www.dma.ens.fr/culturemath/histoire20des2
  0maths/htm/calcul20sexagesimal/calcul20sexagesim
  al.htm
• http//tboivin.free.fr/mpi/histoire/histoire.htm

126
Bibliographie

• Abdeljaouad Mahdi, Les arithmétiques arabes
  (9e-15e siècles), Ibn Zeidoun éditeur, Tunis,
  2005
• Barbin Evelyne, Commission Inter-IREM
  Épistémologie et Histoire des Mathématiques,
  Histoires de problèmes. Histoire des
  mathématiques, Ellipses, Paris, 1997
• Baruk Stella, Dictionnaire de Mathématiques
  Élémentaires, Seuil, 1992
• Collette Jean-Paul, Histoire des mathématiques,
  Éditions du renouveau pédagogique, Montréal, 1973
• Cousquer Éliane, La fabuleuse histoire des
  nombres, Diderot, Paris, 1998
• Dahan-Dalmédico A., J. Pfeiffer, Une histoire des
  mathématiques Routes et dédales, Points
  Sciences 1986
• Dedron, Itard, Mathématiques et mathématiciens,
  Magnard, Paris, 1960
• Dhombres Jean, Nombre, mesure et continu,
  CEDIC-Nathan, Paris, 1978
• Djebbar A., Une histoire de la science arabe,
  Points Sciences 2001
• Euclide, Les éléments d'Euclide, traduction de B.
  Vitrac à partir du texte établi par Heidberg,
  PUF, 1990-2001
• Euclide, Les œuvres d'Euclide les 13 livres des
  Éléments suivis des Données, Fac-similé de
  l'édition de F. Peyrard de 1819, Albert
  Blanchard, 1993
• Godefroy Gilles, L'aventure des nombres, Odile
  Jacob, Paris, 1997
• Guedj Denis, L'empire des nombres, Découvertes
  Gallimard, 1996
• Guedj Denis, Les cheveux de Bérénice, Seuil, 2003
• Guedj Denis, Le théorème du perroquet, Éditions
  du Seuil, Paris, 1998
• Ifrah Georges, Histoire universelle des chiffres,
  Robert Lafont, Paris, 1994
• Luminet J.-P., Le bâton d'Euclide, éditions
  Lattès, 2002
• Noël E., Le matin des mathématiciens (voyage
  chronologique de Babylone au Moyen Age), Pour la
  science, Belin, 1985
• Rousselet M., Le calcul et la géométrie au temps
  des pharaons, Éditions Archimède, 2003