Optimisation dans les rseaux

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Optimisation dans les réseaux

• Optimisation B
• Génie Mécanique

2
Le problème du plus court chemin

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Introduction

• Plusieurs versions
• dun nud a vers un nud b
• de tous les nuds vers un nud b
• dun nud a vers tous les nuds
• de tous les nuds vers tous les nuds
• Nous allons étudier le problème du plus court
  chemin dun nud a vers tous les autres.
• Souvent, on supposera que a1.

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Introduction

• Idée générale
• Parcourir le réseau à partir de lorigine
• Appliquer et mettre à jour des étiquettes
  (d1,,dN) à chaque nud.
• Chaque étiquette est soit un scalaire soit ?.

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Conditions doptimalité

• Soient d1,d2,,dN des scalaires tels que
• dj di aij ?(i,j) ? A
• Soit P un chemin entre un nud a et un nud b.
• Si
• dj di aij ?(i,j) ? P
• Alors P est un plus court chemin entre a et b.

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Conditions doptimalité

• Preuve
• P est composé des arcs
• (a,i1),(i1,i2),,(iP,b)
• Longueur de P
• aa,i1ai1,i2aiP,b
• Comme aij dj - di ?(i,j) ? P, on a
• Longueur de P
• (db diP) (diP diP-1)(di2-di1)(di1-da)
• db -da

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Conditions doptimalité

• Soit Q un chemin quelconque entre a et b.
• Q est composé des arcs
• (a,j1),(j1,j2),,(jQ,b)
• Longueur de Q
• aa,j1aj1,j2ajQ,b
• Comme aij ³ dj - di ?(i,j) ? Q, on a
• Longueur de Q ³
• (db djQ) (djQ djQ-1)(dj2-dj1)(dj1-da)
• db da Longueur de P.
• CQFD

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Algorithme générique

• Idée
• On démarre avec un vecteur détiquettes (d1,,dN)
• On sélectionne un arc (i,j) qui viole les
  conditions doptimalité, c-à-d tel que dj gt di
  aij
• On met à jour létiquette de j
• dj ? di aij
• Et ainsi de suite jusquà ce que tous les arcs
  vérifient la condition.

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Algorithme générique

• A tout moment, létiquette dun nud i peut être
  interprétée comme la longueur dun chemin reliant
  a à i.
• Si dj gt di aij, cela signifie que le chemin
  arrivant en j à partir de i est plus court que le
  chemin actuel reliant a à j.
• Il est plus facile deffectuer le traitement
  nud par nud.
• Pour chaque nud considéré, on traitera tous ses
  arcs sortant.
• V liste des nuds à traiter

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Algorithme générique

• Algorithme
• Initialisation
• Va
• da 0, di ? ?i?a
• Itérations. Tant que V ? ?
• Sélectionner un nud i dans V et len retirer
• Pour chaque arc (i,j) sortant de i,
• Si dj gt di aij, alors
• dj ? di aij
• Ajouter j à V

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Algorithme générique

• Propriétés à la fin de chaque itération
• Si dj lt ?, alors dj est la longueur dun chemin
  reliant a à j.
• Si i ? V, alors soit di ?, soit
• dj di aij ?j tel que (i,j) ? A

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Algorithme générique

• Propriétés si lalgorithme se termine
• ?j t.q. dj lt ?,
• dj est la longueur du plus court chemin entre a
  et j.
• dj min(i,j) ? A diaij si j ? a Eq. de
  Bellman
• da 0
• dj ? ssi il ny a pas de chemin reliant a et
  j.
• Lalgorithme se termine ssi il ny a aucun chemin
  commençant en a et contenant un cycle à coût
  négatif

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Algorithme générique

• Les équations de Bellman permettent de
  reconstituer les plus courts chemins à partir des
  étiquettes.
• Le prédécesseur du nud j dans le plus court
  chemin est celui qui réalise le minimum de
  léquation de Bellman.

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Algorithme de Dijkstra

• Lalgorithme générique ne spécifie pas comment
  choisir dans V le nud à traiter.
• Lalgorithme de Dijkstra impose que le nud i à
  traiter soit tel que
• di minj?V dj

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Algorithme de Dijkstra

• Algorithme
• Initialisation
• Va
• da 0, di ? ?i?a
• Itérations. Tant que V ? ?
• Sélectionner un nud i dans V tel que
• di minj?V dj
• Retirer i de V
• Pour chaque arc (i,j) sortant de i,
• Si dj gt di aij, alors
• dj ? di aij
• Ajouter j à V

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Algorithme de Dijkstra

• Propriété des étiquettes permanentes
• Si les coûts sur tous les arcs sont non négatifs
• Considérons Widi lt? et i?V
• Alors, pour chaque itération,
• aucun nud appartenant à W au début de
  litération nentrera dans V pendant litération
• à la fin de litération, didj si i?W et j?W.

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Notes

• Si lon désire calculer le plus court chemin de a
  à b, on peut arrêter lalgorithme de Dijkstra dès
  que le nud b est dans W.
• Si au moins un arc a un coût négatif, rien ne
  garantit le caractère permanent des étiquettes

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Nud 3 rentre à nouveau dans V
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