Systmes formels

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Systèmes formels

• Robert Racca

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Définitions de base

• Infinis Un ensemble E équipotent à ? est infini
  dénombrable . Toute bijection de E sur ? est une
  numérotation de E.
• Proposition Il existe des ensembles infinis non
  dénombrables
• Récursif Une fonction f est dite récursive ssi
  il existe un programme Pr qui calcule f.
• Proposition Il existe des fonctions de ? dans ?
  qui ne sont pas récursives ( une infinité, plus
  grande que le nb de fonctions calculables!)
• Un ensemble est récursif ssi sa fonction
  caractéristique est récursive. Il existe un
  programme qui pour tout élément x de E imprime en
  un temps fini  oui  si x ? E,  non  sinon.

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Décidabilité

• Un prédicat (affirmation contenant des variables
  comme  x est pair  ou  n est supérieur à m )
  a une valeur de vérité pour chaque valeur
  attribuée aux variables.
• Le prédicat T(X1,X2,X n) Est dit décidable si
  l ensemble (x1,x2,..xn) T(x1,x2,xn) est
  vrai est récursif autrement dit, Il existe un
  programme P qui pour toute donnée (x1,x2,xn)
  imprime en un temps fini  oui  si
  T(x1,x2,xn) est vrai non  si T(x1,x2,xn)
  est faux.
• Si le programme précédent n imprime pas  non 
  mais tourne indéfiniment, on dit que le prédicat
  est semi-décidable. Il existe un programme qui
  énumère les n-uplets (x1,x2,..xn) pour lesquels
  le prédicat est vrai.
• Il existe des prédicats indécidables !!! (
  exemple  Le programme Nn sarrête en un temps
  fini  est seulement semi-décidable)

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Systèmes formels, Définition

• Les systèmes formels ont été introduits pour
  étudier de manière rigoureuse et mathématique la
  notion de mécanisme déductif , notamment les
  notions de théorème et de preuve.
• On appelle Système formel S la donnée de
• Un alphabet ? (fini, ou dénombrable)
• Un sous ensemble récursif F de l ensemble des
  suites finies de S appelé  ensemble des formules
  bien formées 
• Un sous ensemble récursif A de F ( axiomes)
• Un ensemble fini R de prédicats décidables
  appelés  règles d inférence . Rr1,r2,..rn.
  Au lieu de noter ri(f1,f2,.fk,g) on notera
  f1,f2,.fk ----- g et on lira  a partir des
  formules f1,f2,.fk on peut déduire la formule g

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Un exemple de système formel S1
S 1,, F 1n 1m 1p, n,m,p gt0 ?? ( 14
signifie 1111) A 1111 un seul axiome R
r1,r2 avec r1 1n1m1p -----
1n11m1p1et r2 1n1m1p -----
1n1m11p1

• On appelle déduction à partir de h1,h2hn toute
  suite de formules de F, f1,f2..fp telle quefi
  est un axiome ou fi est une des hi ou fi est
  obtenue a partir des fj placées avant fi par
  lapplication d une règle.
• On note h1,h2hn ----- fp

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• La formule t de F est un théorème de S ssi -----
  t
• l ensemble des théorèmes de S est noté T
• la suite des formules
• f0 11111
• f1 1111111 (r1 sur f0)
• f2 111111111 (r2 sur f1)est une déduction
  de 111111111 à partir de 11111.
• 1111111111 est un théorème de S
• Attention toutes les manipulations sont
  formelles et rien na de sens . On peut donner
  des interprétations mais méfiance 111111
  n est pas un théorème de S car ce n est même
  pas une formule de F!

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Définitions suite

• Un SF est cohérent si il existe des formules de
  F qui ne sont pas des théorèmes
• Un SF ayant un symbole de négation (?  non )
  est consistant ou non contradictoire ssi aucune
  formule f n  est telle que f et ?f sont des
  théorèmes.
• Un SF est catégorique ssi ?f, f ? T ou ? f ? T
• Un SF est saturé ssi en ajoutant une formule f
  non théorème, le SF devient inconsistant
• Les axiomes d un SF sont indépendants ssi T perd
  des théorèmes quand on en retire un
• Un SF est décidable ssi T est récursif ( ? Pr qui
  répond oui ou non a la question  t est un
  théorème  pour tout t de F).

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Résultats généraux

• Prop1 Si h-----g et g-----k alors h-----k
  (immédiat)
• Prop 2 L ensemble des déductions est récursif
• Prop 3 L ensemble T des théorèmes est
  récursivement
  énumérable
• Prop 4 Il existe des SF où T n est pas
  récursif. Dans ce cas ( presque tous les SF
   intéressants ), il n existe aucun moyen
  algorithmique pour décider si une formule bien
  formée quelconque est un théorème ou pas.

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Etude dun système formel particulier (S1)

• Montrons que Toute formule 1n 1m 1nm est un
  théorème vrai si nm2 ( axiome)supposons vrai
  pour tout couple (n,m) nmltp.alors soit
  (n ,m ) n m p. On a n -1m ltp donc
  1n -11m 1p-1 . Appliquons r1 il vient 1n 
  1m  1p CQFD
• Toutes les formules intervenant dans une
  déduction de théorème sont de la forme 1n 1m
  1nm vrai pour l axiome.Si c est vrai pour f
  et que f----g alors c est vrai pour g quelque
  soit la règle utilisée.
• On a donc caractérisé les théorèmes ce sont les
  formules 1n 1m 1nm n,m gt0

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Suite de létude de S1

• Le système formel S1 est cohérent ( 11111
  n est pas un théorème)
• Le système formel S1 est finiment axiomatisable
• TS1 est récursif ( la construction d un
  programme qui répond oui si une formule 1n 1m
  1p est un théorème est évident a construire.
• S1 modélise correctement l addition entre deux
  entiers . Relativement à ce problème il est
  correct et complet.