Reconnaissance dynamique des graphes dintervalles

1
Reconnaissance dynamique des graphes dintervalles

• Christophe Crespelle
• Université Paris 7 - LIAFA

JGA 07 - Paris
2
Plan

• Problématique et contexte
• Maintenance dynamique dun modèle dintervalles

3
Algorithmes dynamiques
4
Les algorithmes dynamiques

• On possède le résultat dun calcul sur le graphe
• On veut actualiser ce résultat après une légère
  modification du graphe
• On veut le faire pour un coût moindre que celui
  du recalcul complet sur le graphe

5
Les algorithmes dynamiques
Opérations élémentaires de modification du graphe
Ajouter/supprimer une arête Ajouter/supprimer un
sommet (ainsi que les arêtes qui lui sont
incidentes)
Un algorithme qui traite à la fois lajout et la
suppression est dit entièrement dynamique.
6
Reconnaissance et représentation dynamique dune
classe de graphe

• On veut savoir si le graphe modifié reste dans la
  classe
• Si oui, on veut en plus actualiser une
  représentation (propre à la classe)

7
Graphes dintervalles
8
Graphes dintervalles
b
e
c
a
d
b
a
d
c
e
9
Modèles minimaux
b
e
c
a
d
d
a
d
e
b
b
c
c
c
Arrangement consécutif des cliques maximales
10
Modèles minimaux
Arrangement consécutif des cliques maximales
c
e
b
a
d
a
d
d
b
b
e
c
c
c
11
Codage de ladjacence
c
e
b
a
d
1
3
2
a (1,1)
b (1,2)
d (2,3)
12
Codage de ladjacence
c
e
b
a
d
1
3
2
a (1,1)
a (1,1)
b (1,2)
b (1,2)
d (2,2)
13
Codage de ladjacence
c
e
b
a
d
1
3
2
O(n) en espace Adjacence en O(1)
a (1,1)
a (1,1)
b (1,2)
d (2,2)
d (2,2)
14
Graphes dintervalles

• Reconnaissance statique et calcul dun modèle en
  temps O(nm), Booth et Lueker 76
• Korte et Möhring 89 Algorithme incrémental,
  avec précalcul statique, en O(d)
• Hsu 96 Algorithme de reconnaissance purement
  incrémental sur les sommets en O(d log n) amorti
• Ibarra 01 Algorithme entièrement dynamique
  sur les arêtes en O(n log n)
• Conception dun algorithme de reconnaissance
  entièrement dynamique, sur les sommets et les
  arêtes, en temps O(n)

15
Intervalles dynamiques

• Difficulté du problème
• PQ-arbre et PQ-représentation
• Relations entre PQ-arbres et décomposition
  modulaire
• Insertion dun sommet

16
Dépendance au modèle dintervalles
a
c
a
d
f
b
b
e
e
b
c
x
d
e
f
17
Dépendance au modèle dintervalles
a
c
a
d
f
IMPOSSIBLE
b
b
e
e
b
x
x
c
x
d
e
f
18
Dépendance au modèle dintervalles
a
c
a
d
f
IMPOSSIBLE
b
b
e
e
b
x
x
c
x
d
c
d
a
f
e
b
e
b
e
f
19
Dépendance au modèle dintervalles
a
c
a
d
f
IMPOSSIBLE
b
b
e
e
b
x
x
c
x
d
c
d
a
f
INSERTION OK
e
b
e
b
e
x
x
f
20
Insertion dun sommet dans un modèle donné
21
Conditions dinsertion réussie
x
NON
Propriété gauche
Propriété droite
x
NON
NON
22
Insertion de x dans un modèle
x
x
x
x
x
23
Intervalles dynamiques

• Difficulté du problème
• PQ-arbre et PQ-représentation
• Relations entre PQ-arbres et décomposition
  modulaire
• Insertion dun sommet

24
PQ-arbre
25
PQ-arbre
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
PQ-représentation
Korte et Möhring 85
b
b
i
i
i
j
a
e
k
l
c
c
b
b
a
a
g
h
31
PQ-arbre
i
b
b
i
i
i
j
a
e
k
l
c
c
b
b
a
a
g
h
32
PQ-arbre
a
i
b
b
i
i
i
j
a
e
k
l
c
c
b
b
a
a
g
h
33
PQ-arbre
a
i
l
b
b
i
i
i
j
a
e
k
l
c
c
b
b
a
a
g
h
34
PQ-arbre
a
b
c
i
l
k
j
f
e
a
b
b
i
i
i
j
a
e
k
l
c
c
b
g
b
h
a
a
g
h
35
PQ-arbre
a
b
c
i
l
k
j
f
e
g
h
36
PQ-arbre
a
b
c
i
l
k
j
f
e
g
h
37
PQ-arbre
a
b
c
i
l
k
j
f
e
g
h
38
PQ-arbre
a
b
c
i
l
k
j
f
e
g
h
a
b
h
39
Intervalles dynamiques

• Difficulté du problème
• PQ-arbre et PQ-représentation
• Relations entre PQ-arbres et décomposition
  modulaire
• Insertion dun sommet

40
De la PQ-représentation à la décomposition
modulaire
41
PQ-arbre
Décomposition modulaire
//
P
S
O(n)
//
S
S
//
S
P
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
//
P
S
S
S
42
Création dun nud série
a
b
c
S
u
a
b
c
ou
a
b
c
u
u
43
Création dun nud parallèle
u
u
//
u1
u2
uk
u1
u2
uk
44
Création dun nud premier
?
ß
d
a
Modules forts maximaux
1
2
3
e
P
a
b
c
d
f
3
a
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2
ß
d
1
u
S
r
a
b
c
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j
k
r
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v
w
r
v
e
f
d
x
w
y
z
g
i
h
45
Intervalles dynamiques

• Difficulté du problème
• PQ-arbre et PQ-représentation
• Relations entre PQ-arbres et décomposition
  modulaire
• Insertion dun sommet

46
Modification de la PQ-représentation
47
x
Muller Spinrad 89 Crespelle Paul 05
//
P
S
//
S
S
//
S
P
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
//
P
S
S
S
48
x
Muller Spinrad 89 Crespelle Paul 05
//
P
S
Uniforme
//
S
S
//
Mixte
S
P
S
S
S
S
S
Uniforme
S
S
S
S
S
//
P
S
S
S
49
x
//
P
S
//
S
S
//
S
P
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
//
P
S
S
S
50
x
P
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
//
P
S
S
S
51
P
x
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
//
S
S
52
Gx est il un graphe dintervalles?
?
P
x
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
//
S
S
53
Conditions dinsertion réussie
54
Répartition des nuds mixtes
Le nud dinsertion w de PQ(G) a au plus deux
fils mixtes et tout nud u de Tw\w a au plus un
fils mixte
55
Conditions sur les nuds premiers
Conditions sur w.
56
Conditions sur les nuds premiers
Conditions sur un nud u de Tw\w.
57
Actualiser la PQ-représentation
1
2
3
4
5
a
b
c
6
7
8
58
Actualiser la PQ-représentation
1
2
3
4
5
a
b
c
6
7
8
59
Actualiser la PQ-représentation
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
60
Actualiser la PQ-représentation
1
2
3
a
b
c
4
5
6
7
8
61
Actualiser la PQ-représentation
1
2
3
a
b
c
4
5
6
7
8
x
62
Complexité

• Ajout de sommet O(n)Chaque nud de larbre
  est traité en temps proportionnel à son degré et
  au nombre de sommets du graphe pointant sur ce
  noeudLa composition de 2 ordres consécutifs ne
  demande quun temps constant

63
Complexité

• Suppression de sommet O(n)Pour le cas
  difficile, utilisation de lalgorithme de
  McConnell et de Montgolfier
• Ajout / Suppression darête O(n)Traitées par
  2 modifications de sommet

64
Représentations Dynamiques de Graphes

• Christophe Crespelle
• Université Paris 7 - LIAFA

JGA 07 - Paris
65
Modification de larbre de décomposition modulaire
66
Uniformité relativement à x
P est uniforme relativement à x.
x
P
P est mixte.
x
P
67
Insertion dun sommet
x
S
l
//
a
nl
S
P
b
nl
nl
nl
nl
l
l
c
d
t
v
s
u
68
Insertion dun sommet
Muller Spinrad 89
x
m
S
m
//
l
a
nl
m
S
P
nl
b
nl
nl
nl
nl
l
l
c
d
t
v
s
u
69
Insertion dun sommet
m
S
m
//
l
a
q nud dinsertion
nl
m
S
P
nl
b
nl
nl
nl
nl
l
l
c
d
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v
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u
70
q
S
Fils uniformément non liés
Fils uniformément liés
//
P
S
//
S
//
S
S
71
S
q
P
S
//
72
Gx est-il de permutation?
q
P
S
//
73
Gx est-il de permutation?
q
P
S
//
74
(No Transcript)
75
(No Transcript)
76
(No Transcript)
77
Strong modules of G-x
x
x
78
Vertex insertion
MS 89
m
S
m
//
l
a
s
t
u
v
nl
m
S
P
nl
b
x
nl
nl
nl
nl
l
l
c
d
t
v
s
u
79
Vertex insertion
MS 89
m
S
m
//
l
a
nl
m
S
P
nl
b
nl
nl
nl
l
l
c
d
v
s
u
80
(No Transcript)
81
(No Transcript)
82
Les réaliseurs géométriquement équivalents
Renversement
b
a
d
c
c
d
a
b
a
c
d
b
b
d
c
a
Echange
a
c
d
b
b
d
c
a
b
a
d
c
c
d
a
b
83
Opérations sur les arêtes
84
Opérations sur les arêtes
85
Opérations sur les arêtes
86
Opérations sur les arêtes
87
Opérations sur les arêtes
88
Maintenance de la représentation basée sur la
décomposition modulaire
89
Suppression dun sommet
t
v
s
u
t
S
u
v
//
s
s
u
t
v
a
S
P
b
c
d
t
v
s
u
90
Suppression dun sommet
v
s
u
S
u
v
//
s
s
u
v
a
S
P
b
c
d
v
s
u
91
Suppression dun sommet
S
u
v
//
s
a
S
//
b
S
c
d
s
v
u
92
t
v
s
u
S
//
s
u
t
v
a
S
P
b
c
d
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v
s
u
a
t
s
v
u
c
d
b
a
s
u
t
v
b
d
c
93
Lorsquon supprime un sommet dans le réaliseur
dun graphe de permutation premier, le nombre
dintervalles communs forts créés, de même que le
nombre dintervalles communs, est O(n).
94
Lorsquon supprime un sommet dans le réaliseur
dun graphe de permutation premier, le nombre
dintervalles communs forts créés, de même que le
nombre dintervalles communs, est O(n).
Uno et Yagiura 00
Trouvent tous les intervalles communs de 2 ordres
totaux en temps O(nK), où n est le nombre
déléments et K le nombre dintervalles communs.
95
Décomposition de Tutte
96
Décomposition de Tutte
Sommet séparateur
97
Décomposition de Tutte
Sommet séparateur
98
Décomposition de Tutte
Graphe 2-connexe
Sommet séparateur
99
Décomposition de Tutte
Paire séparatrice
100
Décomposition de Tutte
Paire séparatrice
101
Décomposition de Tutte
Paire séparatrice
Graphe 3-connexe
102
Décomposition selon une paire séparatrice
103
Décomposition selon une paire séparatrice
104
Décomposition selon des paires séparatrices
105
Décomposition selon des paires séparatrices
106
Décomposition selon des paires séparatrices
107
Problème dunicité
108
Problème dunicité
109
Problème dunicité
110
Décomposition canonique
Décomposition selon x,y et x,z
x
y
z
111
Décomposition canonique
112
Arbre de décomposition modulaire.
S
//
a
S
P
a
b
b
O(n) en espace
113
h
i
k
g
j
a
b
n
l
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m
f
c
p
d
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e
114
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//
P
S
//
S
S
//
S
P
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
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P
S
S
S
116
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w2
z
o1
o2
p1
p2
q1
q2
r1
r2
r3
s1
128
Branches non pleines
Pour tout nud u de Tw, si la branche de u nest
pas pleine alors u a au plus un fils non creux.
y
x
u
a
b
129
Graphes dintervalles
b
e
c
a
d
5
6
1
2
3
4
7
130
Graphes de cordes
131
Graphes darcs de cercle
132
Problème dunicité
M2
M1
En commençant par M2
133
Problème dunicité
M2
M1
134
Problème dunicité
M2
M1
135
Problème dunicité
M2
M1
136
Problème dunicité
M2
M1
En commençant par M1
137
Problème dunicité
M2
M1
138
Problème dunicité
M2
M1
139
Problème dunicité
Si M1 et M2 sont disjoints
G
M1
M2
140
Problème dunicité
Si M1 et M2 sont ordonnés par inclusion
G
M1
M2
141
Problème dunicité
En commençant par M1
G
M1
M2
M2
142
Problème dunicité
G
M1
M2
143
Problème dunicité
En commençant par M2
M1
G
M1
M2
144
Problème dunicité
G
M1
M2
145
Problème dunicité
En commençant par M1
En commençant par M2
146
Autres décompositions
147
Décomposition de Tutte
x
y
z
148
Décomposition en coupes
E
C
P
E
149
Réaliseur restreint aux voisins de x
x
a
b
c
d
e
f
g
c
b
f
a
e
g
d
x
x
a
d
f
x
f
a
d
150
Realiseur restreint aux voisins de x
x
a
b
c
d
e
f
g
c
b
f
a
e
g
d
x
x
a
d
f
x
f
a
d
151
Intervalles dinsertion dans les non voisins
152
Conditions dinsertion réussie
x
Propriété gauche
Propriété droite
x
153
Quelle est sa PQ-représentation?
d2
e2
f1
f2
g2
h2
i2
j2
k2
n
o1
o2
r1
r2
s1
t1
t2
u
v
d1
e1
g1
h1
i1
j1
k1
r3
t3
p1
p2
q1
q2
154
PQ-arbre
c
b
b
b
i
i
i
n
n
n
m
o
a
a
a
f
g
g
l
k
e
h
j
h
d
155
PQ-arbre
c
b
b
b
i
i
i
n
n
n
m
o
a
a
a
f
g
g
l
k
e
h
j
h
d
156
PQ-arbre
P
Q
Q
P
P
b
b
a
a
e
d
157
P
Q
Q
P
P
b
b
a
a
e
d
c
b
b
b
i
i
i
n
n
n
m
o
a
a
a
f
g
g
l
k
e
h
j
h
d
158
P
Q
Q
P
P
b
b
a
a
e
d
c
b
b
b
i
i
i
n
n
n
m
o
a
a
a
f
g
g
l
k
e
h
j
h
d
159
P
Q
Q
P
P
b
b
a
a
e
d
c
b
b
b
i
i
i
n
n
n
m
o
a
a
a
f
g
g
l
k
e
h
j
h
d
160
P
Q
Q
P
P
b
b
a
a
e
d
c
b
b
b
i
i
i
n
n
n
m
o
a
a
a
f
g
g
l
k
e
h
j
h
d
161
P
Q
Q
P
P
c
b
b
b
i
i
i
n
n
n
m
o
a
a
a
f
g
g
l
k
e
h
j
h
d
162
PQ-représentation
Korte et Möhring 89
b
b
a
a
e
d
163
PQ-représentation
n
b
b
a
a
e
d
164
PQ-représentation
i
n
b
b
a
a
e
d
165
PQ-représentation
i
b
n
b
b
a
a
e
d
166
PQ-représentation
i
b
n
o
b
b
a
a
e
d
167
PQ-représentation
i
j
b
h
a
k
n
g
l
o
m
f
c
d
e
b
b
a
a
e
d
168
PQ-représentation
i
j
b
h
a
k
n
g
l
o
m
f
c
d
e
169
PQ-représentation
i
j
b
h
a
k
n
g
l
o
m
f
c
d
e
170
PQ-représentation
i
j
b
h
a
k
n
g
l
o
m
f
c
d
e
e
a
b