Exerc

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ExercíciosAnálise de algoritmos Ordenação

• Eduardo Laber

2
Cap 2- Tardos

• Exercício 3
• f2 lt f3 lt f6 lt f1 ltf4 ltf5

3
Cap 2- Tardos

• Exercício 4
• g3 lt g4 lt g1 lt g5 lt g2 lt g7 lt g6

4
Cap 2- Tardos

• Exercício 5
• Verdadeiro, assumindo g(n)gt1.
• log f(n) lt log (c.g(n)) lt
• log c log g(n) lt d log g(n) para d gt log c
• Falso. f(n)4n2 e g(n)n2
• Verdadeiro. f(n)2 lt c2 g(n) 2 lt d.g(n) 2 para
  dgtc.

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Cap 2- Tardos

• Exercício 6
• O(n3)
• Para mostrar ?(n3), considere i variando de 1 a
  n/4 e j variando de n/4 a n
• For i1,2,...,n do
• Bi,i?Ai
• For i1,2,...,n
• For ji1,i2,...,n
• Bi,j ?Bi,j-1Aj
• O(n2)

6
Cap 2- Tardos

• Exercício 8
• Enquanto o primeiro vazo não quebra, jogar de
  alturas n0.5, 2n0.5,, n0.5 n0.5
• Se ele quebrar ao jogar de altura i.n0.5
• Jogar de alturas (i-1)n0.5 , (i-1)n0.5 1 ,
  (i-1)n0.5 2, até ele quebrar
• Total de passo lt 2n0.5

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Exercícios Extras

• Escreva o pseudo-código da operacão de remover o
  elemento Ai de um heap armazenado em um vetor
  A1..n

8
Exercício

• Projete um algoritmo para fazer um merge de k
  listas ordenadas que execute em O(n log k), aonde
  n é o total de elementos nas k listas

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Solução

• Seja L(1),...,L(k) as k listas
• Remova o primeiro elemento de cada lista e
  construa um heap com eles O(k)
• Para i1,...,n
• Remova o menor elemento do heap e insira na lista
  ordenada. Assuma que este elemento veio da lista
  j O(log k)
• Remova o primeiro elemento da lista L(j) e insira
  no heap. O(log k)

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Exercício

• Mostre como ordenar n inteiros no intervalo
  1,n2 em tempo linear O(n)

11
Solução

• Solução
• Crie vetores B e C com n posições, indexadas de 0
  a n-1. Cada posição pode armazenar uma lista de
  inteiros
• Percorra o vetor A inserindo Ai na lista Bi
  mod n.
• Para i variando de 0 a n-1
• Para cada elemento x da lista Bi faça
• Insira x no final da lista C x div n
• Para i variando de 0 até n-1
• Para cada elemento x da lista Ci faça
• Imprima x

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Exercício

• A) Mostre que para fazer o merge de duas listas
  com n elementos é necesário realizar pelo menos
  2n-1 comparações no pior caso.
• B) Mostre que para fazer o merge de duas listas,
  uma com n elementos e outra com m elementos, é
  necesário realizar pelo menos comparações
  no pior caso.

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Solução

• Considere as duas listas A a(1)lt ... lt a(n) e
  Bb(1) lt ... lt b(n) de n elementos
• Seja X a ordem
• a(1)ltb(1)lta(2)ltb(2) lt...lta(n)ltb(n)
• Seja Y(j), j1,...,n, a ordem idêntica a ordem X,
  exceto pelo fato que a(j) gt b(j)
• Seja Z(j), j2,..,n, a ordem idêntica a ordem X,
  exceto pelo fato que a(j) lt b(j-1)

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Solução

• Se o algoritmo não comparar a(j) com b(j) ele não
  tem como diferenciar X de Y(j)
• Se o algoritmo não comparar a(j) com b(j-1) ele
  não tem como diferenciar X de Z(j)
• Logo são necessárias 2n-1 comparações

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Exercício

• Perdido em uma terra muito distante, você se
  encontra em frente a um muro de comprimento
  infinito para os dois lados (esquerda e direita).
  Em meio a uma escuridão total, você carrega um
  lampião que lhe possibilita ver apenas a porção
  do muro que se encontra exatamente à sua frente
  (o campo de visão que o lampião lhe proporciona
  equivale exatamente ao tamanho de um passo seu).
  Existe uma porta no muro que você deseja
  atravessar. Supondo que a mesma esteja a n passos
  de sua posição inicial (não se sabe se à direita
  ou à esquerda), elabore um algoritmo para
  caminhar ao longo do muro que encontre a porta em
  O(n) passos. Considere que n é um valor
  desconhecido (informação pertencente à
  instância). Considere que a ação composta por dar
  um passo e verificar a posição do muro
  correspondente custa O(1).

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Solução

• p0
• Enquanto não encontrar o muro
• Ande até a posição 2p. Se encontrar o muro no
  caminho pare
• Ande até a posição -2p. Se encontrar o muro pare
• p
• Fim Enquanto
• Assuma que a porta esta na posição n. Seja p
  tal que 2p-1ltnlt2p
• O algoritmo anda no máximo 3 2p1 4 .2p1 para
  encontrar o muro. Esse valor é menor que 14 n.

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Exercício

• Analise a complexidade do algoritmo abaixo
• Leia(n)
• x ? 0
• Para i ? 1 até n faça
• Para j ? i1 até n faça
• Para k ? 1 até j-i faça
• x? x 1

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Exercício

• Projete o algoritmo mais eficiente que você
  conseguir para encontrar a mediana de um vetor de
  n elementos. Análise sua complexidade.

19
Solução

• Ordene os elementos e retorne o elemento n/2 da
  lista ordenada
• Complexidade O(n log n)
• Mais adiante no curso mostraremos um algoritmo
  O(n)

20
Exercício

• Dizemos que um vetor P1..m ocorre em um vetor
  T1..n se  P1..m    Ts1..sm  para
  algum s. O valor de um tal s é um deslocamento
  válido.
• Projete um algoritmo para encontrar todos os
  deslocamentos válidos de um vetor e analise sua
  complexidade.

21
Exercício

• Seja A1..n um vetor que pode conter números
  positivos e negativos.
• Projete um algoritmo com complexidade O(n3)
  determinar os índices i e j, com iltj, tal que
  Ai ...Aj é máximo. Tente reduzir a
  complexidade para O(n2), depois para O(n log n) e
  então para O(n)

22
Exercício

• Resolvas as equações abaixo encontrando uma
  função f(n) tal que T(n) ?(f(n))
• T(n)2.T(n/2) n2 para ngt1 T(1)1
• T(n) 2.T(n/2) n, para ngt1 T(1)1
• T(n)T(n/2) 1, para ngt1 T(1)1
• T(n)T(n/2) n, para ngt1 T(1)1

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Exercício

• Seja uma matriz quadrada A com n2 números
  inteiros que satisfaz as segintes propriedades
• Ai,j lt Ai1,j para 1ltiltn-1 e 1ltjltn
• Ai,jltAi,j1, para 1ltiltn e 1ltjltn-1
• a) Dado um elemento x, descreva um procedimento
  eficiente para determinar se x pertence a A ou
  não. Analise a complexidade do algoritmo
  proposto.
• b) Mostre que este problema é ?(n)

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Solução

• a) Considere o procedimento abaixo
• Seja y o elemento do canto superior direito da
  matriz. Compara y e x
• Se xgty, descarte a primeira linha e aplique o
  procedimento recursivamente para matriz restante.
• Se xlty, descarte a última coluna e aplique o
  procedimento recursivamente para matriz restante.
• Se xy devolva a posição de y

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Solução

• Análise
• A cada passo o número de linhas ou de colunas da
  matriz diminui de 1, portanto o algoritmo executa
  no máximo 2n passos.

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Solução

• Lower Bound
• Considere a seguinte entrada matriz
• Ai,j 0 se ijltn1,
• Ai,j n1 se ijgtn1
• Ai,j é um inteiro entre 1 e n se ijn1
• Se x é um número entre 1 e n que não pertence a
  A, qualquer algoritmo tem que examinar todas as
  entradas Ai,j, com ijn1 para concluir que x
  não esta em A. Logo, o problema é ?(n)

27
Exercício

• Seja Aa(1) lt .... lt a(n) uma lista de números
  reais. A proximidade entre a(i) e a(j) é definida
  como a(i)-a(j).
• a) Dados os inteiros j e k, encontre os k
  elementos de A mais próximos de Aj em O(k).

28
Exercício

• Seja A1..n um vetor com n números positivos e
  seja SiA1...Ai.
• Encontre o índice i que minimiza
• Minimiza Si (Ai1 ... An)

29
Exercício

• Mostre que

30
Solução