Exerc

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Exercícios de Fluxo em Redes
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Exercício 5

• Falso. Considere o contra-exemplo abaixo

1
1
s
1
4
1
t
1
1
3
Exercício 7

• Construa uma rede de fluxo da seguinte forma
• Crie um nó para cada cliente, um nó para cada
  estação, um nó fonte s e um nó terminal t.
• Se um cliente u está a distância menor ou igual a
  r de uma base v, conecte u a v com uma aresta de
  capacidade 1.
• Conecte s a cada cliente com arestas de
  capacidade 1 e cada base a t com arestas de
  capacidade L
• Se a rede tiver fluxo máximo igual a n então é
  possível ligar cada cliente a uma base atendendo
  os requisitos

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Exercício 10

• Seja G a nova rede obtida aterando a capacidade
  de e.
• Caso 1. f não satura e em G. Então f é máximo
  para G.
• Caso 2. f satura e. Os passos a seguir são
  executados
• Obtemos um fluxo f viável para G da seguinte
  forma. Seja P um caminho de s a t em G que contém
  a aresta e e só utiliza arestas em que o fluxo f
  é positivo. Seja um fluxo f tal que fe fe -1
  se a aresta e pertence a P e fe fe caso
  contrário. Note que é possível encontrar P em
  O(mn) e, portanto, construir tal fluxo.
• Execute o algoritmo de Ford-Fulkerson utilizando
  f como fluxo inicial. Como o valor do fluxo
  máximo em G difere do valor do fluxo máximo em G
  por no máximo uma unidade, o algoritmo executa em
  O(mn).

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Exercício 12

• Encontre o corte mínimo em G e remova k arestas
  deste corte

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Exercício 15

• b) Devemos considerar a rede de fluxo utilizada
  para resolver o problema de emparelhamento que
  foi discutida em sala de aula. Esta rede tem
  tamanho O(n2).
• A solução encontrada pela Alanis, descartando
  pi,pj,dk e dl corresponde a um fluxo f de valor
  n-2 nesta rede. Utilizando f como fluxo inicial
  para o algoritmo de Ford-Fulkerson necessitamos
  executar no máximo 2 iterações, cada uma delas
  com complexidade O(n2), para decidir a existência
  de uma solução viável para o problema de
  escalonamento de jantares.

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Exercício 18

• a)
• Construimos uma rede de fluxo com os nós do
  conjunto X, do conjunto Y e os nós s e t.
• s é conectado aos nós de X, os nós de X são
  ligados aos nós de Y e os nós de Y Y ? M são
  conectados a t.
• Todas as arestas tem capacidade 1.
• Além disso, s tem suprimento Mk, todo nó de Y?
  M tem demanda 1 e t tem demanda k.
• O problema considerado tem solução viável se e
  somente se a rede construída tem circulação viável

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Exercício 18

• a) É possível mostrar que o fluxo máximo obtido
  ao aplicar o algoritmo de Ford-Fulkerson,
  utilizando M como fluxo inicial, satura todos os
  vértices de Y

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Exercício 22

• a) Seja uma matriz 3x3 onde somente as entradas
  (3,1), (3,2), (1,3) e (2,3) são iguais a 1.
  Qualquer que seja a permutação das linhas e das
  colunas os elementos inicialmente em (3,1) e
  (3,2) ficarão na mesma linha, cobrindo no máximo
  uma diagonal. Por outro lado, os elementos
  inicialmente em (1,3) e (2,3) ficarão na mesma
  coluna, cobrindo no máximo uma diagonal.
  Portanto, as 3 diagonais não serão cobertas

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Exercício 22

• b) Lema. Uma matriz é reamurrável se e somente
  se é possível escolher exatamente uma entrada com
  valor 1 de cada linha de modo que toda coluna
  seja escolhida ao menos uma vez.
• gt Se for possível basta permutar as colunas
• lt Se a matriz tem 1s na diagonal principal
  então é possível fazer a escolha.
• Seja uma matriz M que não possui a propriedade
  desejada. Seja M a matriz obtida ao trocar 2
  linhas de M. Claramente, M não possui a
  propriedade. O mesmo vale para matriz obtida
  trocando duas colunas. Portanto, não é possível
  rearrumar M a partir de trocas

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Exercício 22

• Seja G uma rede de fluxo com três camadas, além
  dos nós s e t
• A camada 1 tem um nó para cada linha
• A camada 2 tem um nó para cada entrada de M com
  vaor 1
• A camada 3 tem um nó para cada coluna

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Exercício 22

• O nó correspondente a linha i na camada i é
  ligado a todo nó correspondente a linha i na
  camada 2
• Todo nó correspondente a coluna i na camada 2 é
  ligado ao nó correspondente a coluna i na camada
  3.
• S e ligado a todo nó da camada 1 e todo nó da
  camada 3 e ligado a t
• Todas capacidades são 1
• A Matriz é rearrumável se e somente se o fluxo
  máximo em G é igual a dimensão da matriz

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Exercício 29

• Construímos uma rede de fluxo com os nós 1,,n
  correspondendo as aplicações e um nó adicional t.
  
• Utilize duas arestas anti-paralelas,cada uma
  delas com capacidade xij, para ligar o nó i ao nó
  j.
• Ligue cada nó u do conjunto 2,,n a t
  utilizando uma aresta de capacidade bu.
• Calcule o corte mínimo que separa 1 de t na rede.
  Os nós da partição associada a t constituem a
  solução ótima.

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Exercício 42

• Para encontrar o menor fluxo de valor inteiro
• A) Um limite superior para a solução ótima pode
  ser obtido transformando o problema de encontrar
  uma circulação viável na rede G em um problema de
  fluxo máximo conforme apresentado na sala de
  aula. Seja U este limite superior. Note que U
  depende apenas dos lower bounds.
• Construimos uma rede G igual a rede original G,
  exceto pelo fato que um novo nó s é conectado a
  s com capacidade c. Fazemos então uma busca
  binária para descobrir o menor valor de c para o
  qual o problema de circulação em G apresenta
  solução viável. A complexidade deste algoritmo é
  log U vezes a complexidade do problema de fluxo
  máximo.