iz predmeta: Mehanika sa teorijom relativnosti

1
Furijeova analiza periodicnih kretanja u
mehanici, modulacija
Maturski rad

• iz predmeta Mehanika sa teorijom relativnosti

Mentor Ljubiša Nešic
Aleksandra Cerovic
2

• Francuski matematicar i fizicar Žan Baptist
  Furijer (1786-1830) otkrio je da bilo koji
  neprekidni, ponovljivi talasni oblik može da se
  izgradi od sinusnih i kosinusnih talasa.
  Rastavljanje kompleksnog talasnog oblika na
  komponentne u njegovu cast je nazvano Furijeova
  analiza.
• Furijeova analiza se
  na neki nacin
• može posmatrati kao
  svojevrsna
• matematicka prizma.

3
Vrste kretanja u mehanici

• Mehanicko kretanje posmatranog tela predstavlja
  promenu položaja tog tela u odnosu na bilo koje
  drugo telo .
• Kada se neko telo krece, razni njegovi delici
  mogu se kretati na isti ili na razlicite nacine.
  U vezi sa tim postoje dva osnovna oblika
  kretanja translatorno i rotaciono.
• Translatorno kretanje je oblik kretanja
• pri kojem se sve tacke tela krecu na isti
• nacin duž koja spaja bilo koje dve tacke
• tela pomera se paralelno samoj sebi.

4

• Rotaciono kretanje je oblik kretanja
• pri kojem sve tacke tela opisuju kružne
• putanje u paralelnim ravnima, a centri
• tih kružnica leže na jednoj pravoj koja
• se zove osa rotacije.
• U prirodi postoji veliki broj sistema cije se
  kretanje ponavlja u odredenim vremenskim
  intervalima kazaljke na satu, žica na gitari,
  parcici plute na zatalasanoj površini vode Sva
  ova kretanja spadaju u takozvana periodicna
  kretanja. U skladu s tim se vremenski period
  posle koga se ovakva kretanja ponavljaju naziva
  period.
• Oscilatorno kretanje predstavlja takvo kretanje
  kod koga je period uvek isti, a tela prolaze kroz
  odredeni položaj cas u jednom, cas u suprotnom
  smeru. Položaj oko koga telo osciluje je
  ravnotežni položaj. Za vreme oscilovanja
  periodicno se transformiše potencijalna energija
  u kineticku i obrnuto.

5
Slaganje oscilacija istog pravca

• Ako se oscilatorno kretanje sastoji iz dva
  oscilovanja duž iste prave, elongacije tih
  kretanja su date izrazima
• gde predstavljaju amplitude,
  ugaone frekvencije, a
• pocetne faze oscilacija.
• Ukupna elongacija ce pri tome biti njihov
  zbir
• Kako je rezultujuce kretanje takode
  oscilatorno trebalo bi da ima sledeci oblik

6
Slika 2. Rezultat slaganja tri harmonijske
oscilacije cije frekvencije stoje u odnosu 135,
a amplitude 11/31/5
Slika 1. Rezultat slaganja dve harmonijske
oscilacije cije frekvencije stoje u odnosu 13, a
amplitude 11/3
7

• Ako se ovakav postupak nastavlja i dalje
  (dodavanje novih harmonijskih oscilacija sve vece
  i vece frekvencije) lako je zakljuciti da ce
  rezultat slaganja biti oscilacija koja ce sve
  više da podseca na pravougaonu oscilaciju.
• Ova oscilacija se dakle može prikazati kao
  sledeci beskonacni zbir

8
Furijeovi redovi

• Furijeovi redovi pokazuju kako se u opštem
  slucaju periodicne funkcije razvijaju u
  beskonacne sume sinusa i kosinusa.
• Neka funkcija f(x) predstavlja periodicnu
  funkciju koju razlažemo i koja je sastavljena od
  funkcija oblika
• gde ? predstavlja ugaonu frekvenciju, t
  vreme, a ? pocetnu fazu.
• Kako ? predstavlja odredenu konstantu, i
  i ce takode biti konstante, pa se
  svaka periodicna neprekidna funkcija f(t) sa
  periodom T matematicki može predstaviti na
  sledeci nacin

9

• Clan predstavlja zapravo srednju vrednost
  tokom jednog perioda, od t0 do tT (naime
  srednja vrednost sinusnih i kosinusnih funkcija
  tokom jednog perioda je 0, tokom 2,3, bilo kojeg
  celog broja perioda takode je 0, dakle srednja
  vrednost svih clanova sa desne strane jednacine,
  sem jednaka je 0), pa se racuna kao
• Ostali koeficijenti koji se nalaze uz sinuse i
  kosinuse dobijaju se na sledeci nacin
• 
  

10
Furijeov red u kompleksnoj formi

• Furijeov red funkcije f može da se prikaže i u
  kompleksnom obliku. Veza izmedu trigonometrijskih
  (sinusnih i kosinusnih) i kompleksnih
  eksponencijalnih funkcija data je Ojlerovom
  formulom
• Opšti clan Furijeovog reda može se napisati u
  obliku

11

• Ako se uvedu oznake
• Furijeov red funkcije f se može zapisati kao

12
Parne i neparne funkcije

• Posebno interesantne funkcije za Furijeovu
  analizu su parne i neparne funkcije. Kada je
  funkcija parna za nju važi
• To je moguce jedino ukoliko su koeficijenti uz
  sinusne sabirke jednaki nuli, tj.
  i u tom slucaju razvoj
  funkcije u red predstavljen je na sledeci nacin

13
Parne i neparne funkcije

• Za neparnu funkciju, odnosno funkciju koja menja
  znak prilikom promene znaka argumenta važi
• U ovom slucaju koeficijent , kao i svi
  koeficijenti uz kosinuse
• ( ) moraju da budu jednaki
  nuli, pa je razvoj funkcije oblika

14
Prekidne funkcije

• Ukoliko medutim funkcija f(t) nije neprekidna,
  Furijeova suma nece dati tacnu vrednost. Npr. ako
  imamo sledecu funkciju

Furijeova suma ce dati tacnu vrednost u svakoj
tacki, osim u tacki ,gde ce dati 1/2 ,
umesto 1. Ovakve funkcije se rešavaju na sledeci
nacin umesto rešavanja jednog integrala od 0 do
T, prethodni primer bi rešili rešavanjem dva
integrala, u granicama (0, ) i ( , T).
15
Modulacija

• Uopšte pod modulacijom nekog signala
  podrazumevamo njegovu obradu. Jedan od glavnih
  razloga za obradu signala je da se dati signal
  pripremi za kanal kroz koji se šalje, kako bi
  se što uspešnije preneo, zatim kako bi se
  smanjila verovatnoca greške pri prenosu (tj.
  izoblicenja talasnog oblika datog signala usled
  uticaja smetnji u vidu šuma) i snaga potrebna za
  prenos datog signala...
• Cilj modulacije jeste da se uz pomoc jednog
  deterministickog signala (signala koji u
  potpunosti možemo opisati uz pomoc matematickih
  funkcija) modifikuje ulazni signal (signal koji
  nosi željenu informaciju i koji se ne može
  matematicki opisati) kako bi se obezbedio prenos
  date poruke.

16

• Signal koji nosi orginalnu poruku zove se
  modulišuci signal, pomocni signal koji se koristi
  zove se nosilac, a novonastali signal se zove
  modulisani signal.
• Uredaj koji vrši modulaciju naziva se modulator,
  uredaj koji vrši suprotnu operaciju (dobijanje
  originalnog modulišuceg signala od modulisanog)
  naziva se demodulator, a uredaj koji može da vrši
  obe operacije naziva se modem.
• Nosilac i signal informacije se unose u
  modulator, signal informacije menja nosilac na
  neki nacin, a zatim se pojacan, moduliran nosilac
  šalje u antenu ili kabl za prenos. Kada prijemnik
  uhvati signal, on se šalje u demodulator, na
  cijem izlazu se dobija originalni signal
  informacije.

17

• Kako sinusni talas (nosilac) može biti opisan
  pomocu tri parametra amplitude, frekvencije i
  faze. Zavisno koji deo nosioca pravimo direktno
  proporcionalnim modulišucem signalu razlikujemo 3
  osnovne vrste modulacija
• Amplitudna modulacija (AM),
• Frekventna modulacija (FM),
• Fazna modulacija (PM).
• FM i PM se jednim imenom nazivaju ugaone
  modulacije.

18
Slika 3. Amplitudna modulacija Nosilac,
modulišuci i modulisan signal
Slika 4. Fazna modulacija noseci signal,
modulišuci signal,modulisan signal
19
Slika 5. Frekventna modulacija modulišuci signal
i FM nosilac
20
(No Transcript)