Automi temporizzati cooperanti (TCA)

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Automi temporizzati cooperanti (TCA)

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Automi cooperanti (CA)
Un CA consiste di n automi finiti, ciascuno con
insieme di stati, stato iniziale e tabella delle
transizioni. Gli automi si sincronizzano
prendendo le transizioni in accordo con il
simbolo letto, il loro stato interno e formule
condizionali del tipo la componente i è
correntemente nello stato q.

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (1)

• I TCA estendono i CA
• consentendo vincoli temporali sulle transizioni
• Consentendo passi consistenti di sequenze di
  transizioni (attività stimolate dallambiente ma
  interne e non urgenti ossia con consumo di tempo
  non nullo).
• Un ambiente è una tripla ?a lt a1, a2, a3gt
• dove a1 N? 2S dà linsieme dei segnali
  comunicati a ogni
• interazione
• a2 N? Time dà il tempo a ogni
  interazione e soddisfa monotonicità e progresso
  Time è un dominio del tempo denso
• a3 N? Time dà la durata della
  comunicazionedurante linterazione, ossia a2(i)
  a3(i) a2(i1)

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (2)

• La collezione PS delle condizioni ambientali su S
  è definita
• induttivamente come segue
• True, a ? S
• p1 ? p2 , p1 p2 , ?p1 per p1 , p2 ? PS
• Per un insieme di simboli di stato Q la
  collezione delle condizioni
• interne GQ è definita induttivamente come segue
• true, q t, qt, qt dove t ? Time
• p1 ? p2 , p1 p2 , ?p1 per p1 , p2 ? GQ
• Per consentire passi consistenti di sequenze di
  transizioni
• distinguiamo tra stati di input (che iniziano e
  terminano
• unattività) e stati non di input (stati
  intermedi di unattività
• interna.
• La condizione di accettazione è una condizione di
  Buchi.

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (3)
Un TCA è una tupla M ltM1,, Mn, I, Fgt,
dove ogni automa sequenziale Mi è una tripla ltQi,
q0i, digt tale che Qi è un insieme finito di
stati Q1,, Qn disgiunti, Q ? 1in Qi q0i ? Qi
stato iniziale di sè la relazione di
transizione linsieme I degli stati di input è
tale che ?1in q0i ? I ? Q F ? I è linsieme
degli stati accettanti. Una configurazione
locale per un automa sequenziale Mi è Ci ltqi,
ini, outi, si gt, dove 1) qi ? Q è stato abilitato
da Qi 2) ini Qi ? Time funzione di abilitazione
dello stato dà il tempo più recente in cui lo
stato è stato abilitato ed è indefinito se non
è stato mai abilitato 3) outi Qi ? Time
funzione di disabilitazione dello stato 4) si ?
Time tempo locale.

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (4)

• Una configurazione locale Ci ltqi, ini, outi, sigt
  è di input se qi ? I.
• Una configurazione locale Ci ltqi, ini, outi, sigt
  è iniziale se qi q0i
• si 0, ini(q0i) 0 e ini indefinito altrimenti,
  outi indefinito per ogni q
• (denotata C0i ).
• Una configurazione globale C è ltC1, Cn, a, mgt
  dove
• 1) Ci configurazione locale
• 2) a ambiente
• 3) m ? N indica che si tratta della m-esima
  iterazione, ossia
• a lta1(m),a2(m),a3(m)gt.

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (5)

• Sia C ltC1, Cn, a, mgt con Ci ltqi, ini, outi,
  sigt allora
• le condizioni interne True, qt, qt, q t
  sono indefinite a s se sigts
• qt valuta a True al tempo s sse sis, qqi e
  ini(q) s-t, ossia q è stato
• abilitato per un tempo t
• qt valuta a True al tempo s sse qqi oppure s-t
  out(qi)s, ossia q è
• stato disabilitato da al più t
• q t valuta a True se e solo se q è stato
  abilitato da esattamente t.
• La proposizione di ambiente p ? P è valutata
  interpretando a True i
• simboli in true ? a a ? lta1(m), a2(m) s
  a2(m)a3(m).

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (6)

• Data una configurazione C ltC1, Cn, a, mgt cè
  una derivazione
• locale da Ci ltqi, ini, outi, sigt a Ci ltqi,
  ini, outi, sigt denotata
• Ci ?C Ci se
• si ? a2(m)
• ltqi, p, g, qigt ? di
• ini(qi) si e ini(q) ini(q) per qi ? q
• outi(qi) si e outi(q) outi(q) per qi ? q
• p valuta a True in a al tempo si e interazione m
• g valuta a True in C al tempo si
• La derivazione è urgente se non cè una
  derivazione locale Ci ?C Ci
• al tempo s con maxsi, a2(m) slt si

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (7)
Un passo locale da una configurazione C ltC1,
Cn, a, mgt è una sequenza di derivazioni locali
Ci ?C Ci1 ? ?C Cin ?C Ci denotata Ci ?C Ci
dove Ci e Ci sono configurazioni locali di input
e Cin non è una configurazione di input per ogni
1 j n. Il passo è urgente se le
configurazioni locali sono urgenti. Il passo
locale Ci ?C Ci è ghost se Ci Ci . Il
comportamento di un TCA è una composizione di
passi locali che garantisce causalità e
massimalità. Il passo locale di una componente
è fatto rispetto alle configurazioni locali delle
altre componenti che sono o nelle configurazioni
iniziali o nelle configurazioni raggiunte
nello stesso passo purché ne sia data una
giustificazione causale. Un passo è urgente se
consiste solo di passi urgenti. Un passo è
reattivo se ciascun passo locale termina prima
della successiva interazione con lambiente.

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (8)
Un run R è una sequenza di configurazioni
globali C0 , C1, , Ci , tale che C0 è iniziale
e Cj ?C Cj1 per j ? 0. Se Inf(R) è linsieme
di stati attraversati infinite volte il run ha
successo se Inf(R) ? F ? ?. Un ambiente è
accettato da un TCA se esiste un run di successo
a a partire dalla configurazione iniziale con
ambiente a. Il linguaggio accettato dal TCA è
linsieme dei run di successo.

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (9)

q1
q2
q3
q4
a,True
True, q2m
a,q30
a,True
a,True
True, q2m
F q4

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (10)
M1
M2

Tr1
St1
q1
Start
(w1 or w2) and in q15
q31
Tr10
q3
good Q21and St21
St20
St2
Not good and trash Q23and St23
St10
cool
q2
Tr2
La macchina M1 riceve materiale rozzo e produce
un prodotto finale, la macchina M2 fornisce a M1
il materiale e poi raccoglie il prodotto finale.

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Automi temporizzati cooperanti (TCA) (11)
La macchina M1 finchè M2 è in grado di fornire il
materiale (stato Tr1 abilitato) e lambiente dà
il segnale start. Allora M1 fa la lavorazione se
il materiale è presente (segnale in) e cè una
richiesta di produrre il prodotto finale p1
(segnale w1) oppure il prodotto finale p2
(segnale w2). Dopo almeno 5 unità di tempo il
prodotto è completo (stato St2 abilitato) e la
macchina M2 raggiunge uno stato in cui può
raccoglierlo. Dopo una fase di raffreddamento M1
verifica la qualità del prodotto e raggiunge lo
stato St1 in una unità di tempo se il prodotto è
buono, in tre unità di tempo altrimenti. Dopo
questa transizione di M1, M2 raccoglie il
prodotto e dopo almeno una unità di tempo
fornisce a M1 nuovo materiale.


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Proprietà di chiusura
Siano M, M TCA. Allora
L(M) ? L(M) L(M ? M)
L(M) ? L(M) L(M ? M) Si ha chiusura per
complementazione?


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Risultati di espressività (1)
Gli automi con vincoli di orologio periodici TAP
hanno vincoli ottenuti applicando liberamente
connettivi booleani a proposizioni atomiche x ?
Tst1, t2 dove x è un orologio e Tst1, t2
ks t k ? N, t1 t t2 per s, t1, t2 ?
Time.

a, x? T20,0, x0
a, true, x0

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Risultati di espressività (2)
Gli automi con transizioni silenti TAe hanno
transizioni in E ? S?S?S?e?2C?f(C).
Vale L(TA) ?
L(TAp) ? L(TAe)

e, t1xt2, x0
a, true, x0
a, x 0

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Risultati di espressività (3)
Sia TCAI un TCA con soli stati di input. Sia STCA
un TCA consistente di un solo automa sequenziale.
Vale L(STCAIRU) ? L(TCARU) ?
? L(TA)
? L(TAP) ?
L(TAe) ? ?
?
L(TCAIRU) ? L(TCAU)
L(TCAR)
?
?
L(STCAU) ? L(STCARU) ? L(STCAR)

?
L(STCA)


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Risultati di decisione

La vuotezza è decidibile per L(STCAIRU). Prova.
Dalla contenutezza di L(STCAIRU) in L(TA).