Computa

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Computação Gráfica Modelagem Geométrica

• Profa. Mercedes Gonzales Márquez

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Tópicos

• Curvas
• Superfícies
• Técnicas principais de Modelagem Geométrica

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Curvas e Superfícies - Introdução

• Estuda-se dentro do escopo da Modelagem
  Geométrica. Curvas são a base, tanto da geração
  de formas simples, como círculos e elipses,
  quanto na criação de projetos complexos como
  automóveis, navios, aeronaves ou até mesmo faces
  e corpos humanos.

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Introdução

• Curvas e superfícies desempenham um papel
  importante em várias áreas, como criação de
  objetos e visualização de fenômenos científicos.
• Representar uma curva como uma sucessão de
  linhas retas não é suficiente. O desafio maior é
  definir uma curva que passe por um determinado
  conjunto de pontos.

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Representação de Curvas

• Basicamente existem duas formas principais de
  representar curvas
• Por um conjunto de pontos
• Por representação analítica.

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Representação de Curvas

• (A) Por Conjunto de Pontos
• A curva é representada por um conjunto finito de
  pontos conectados por pequenos segmentos de retas.

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Representação de Curvas

• Para ter uma aparência natural deve-se usar um
  conjunto grande de pontos.

A
B
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Representação de Curvas

• (B) Representação Analítica
• Usa uma ou mais equações. Vantagens
• Maior precisão
• Mais compacta
• Não requer área de armazenamento
• Facilidade de calcular novos pontos (caso
  necessário)
• Facilidade de cálculo de propriedades da curva
  como área, inclinação, curvatura
• Maior simplicidade para ser redesenhada quando
  sujeita a transformações como escala, rotação,
  projeções, etc.

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Representação de Curvas

• A representação analítica de curvas pode usar ou
  não parâmetros, sendo classificados como
• B.1. paramétricas
• B.2. não-paramétricas.
• As formas não-paramétricas podem ser, ainda,
• B.2.1. explícitas
• B.2.2. implícitas.

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Representação de Curvas

• B.1 Formas paramétricas
• As coordenadas são dadas em termos de um
  (conjunto) de parâmetros. Usa-se um parâmetro (t,
  ?, etc.) para definir as coordenadas dos pontos
  da curva.
• P(t) (x(t), y(t))
• Exemplos

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Representação de Curvas

• B.1 Formas paramétricas
• P(t) (x(t), y(t))
• Exemplos

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Representação de Curvas

• B.1. Formas paramétricas
• P(t) (x(t), y(t))
• Exemplos

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Representação de Curvas

• B.2. Formas não-paramétricas
• Não há parâmetros e uma coordenada da curva é
  dada em função da outra, ou seja
• y f(x) ou x f(y)
• Exemplos
• 1) Equação de um semi-círculo de raio 2

2) Equação de uma reta y 2x 1 ou x ½ (y 1)
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Representação de Curvas

• B.2.1 Forma não-paramétrica explícita É dada
  por uma equação do tipo y f(x), ou seja uma
  das coordenadas é explicitamente dada em função
  das outras.
• Exemplos
• 1) Equação genérica explícita de uma parábola
• y ax2 bx c
• 2) Equação de uma reta
• y mx b
• 3) Polinômios
• P(x) anxn an-1xn-1 ... a2x2 a1x1 a0

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Representação de Curvas

• Obtém-se um valor de y para cada valor de x dado.

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Representação de Curvas

• B.2.2. A representação implícitas não tem essa
  limitação. Nela as coordenadas são relacionadas
  por uma função. A sua forma é

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Representação de Curvas

• Exemplo seções cônicas.
• ax2 bxy cy2 dx ey f 0
• Essa expressão representa a variedade de curvas
  planas denominadas seções cônicas. Essas curvas
  (cinco) são obtidas pelo corte de um cone por um
  plano, resultando em círculo, elipse, parábola,
  hipérbole, reta.

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Representação de Curvas
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Representação de Curvas
Cônica Forma Paramétrica Forma Implícita
Elipse x a cos ? y b sen ?
Parábola x at2, y 2at y2 4ax 0
Hipérbole x a cosh ? y b senh ?
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Exercício

• Faça o seguinte exercício.
• 1. Use o programa double.c e substitua o quadrado
  por um círculo. Para desenhar o círculo use uma
  sequencia de segmentos de linhas que unem pontos
  obtidos pela representação explícita do círculo
  (y-sqrt(R²-x²)). Use incrementos constantes em
  x para obter os pontos extremos de cada segmento.
  
• 2.Substitua a representação explicíta pela
  representação paramêtrica (R cos t, R sen t) ,
  com incrementos constantes em t para obter os
  pontos extremos de cada segmento. Compare os
  resultados visuais.

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Curvas de Bézier

• É uma técnica de aproximação de curvas.
• Uma curva de Bézier pode ser gerada por 3, 4, até
  n 1 pontos de controle (ajuste para um
  polinômio de grau n).
• Geralmente utiliza-se quatro pontos de controle
  (forma cúbica).
• A curva passa pelo primeiro e pelo último ponto
  de controle.

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Curvas de Bézier
B2
B1
B3
B0
Figura 1
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Curvas de Bézier

• A curva paramétrica de Bézier é definida como

• Onde Bi representa cada um dos n1 pontos de
  controle considerados e Jn,i (t) são as funções
  que combinam a influência de todos os pontos
  (blending functions).

• Essas funções são descritas pelos polinômios de
  Bernstein como

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Curvas de Bézier

• onde n é o grau dos polinômios e

• (i 0, 1, ..., n) são os coeficientes binomiais.
  
• Essas funções Jn,i (t) devem satisfazer as
  condições Jn,i (t) ? 0 para todo i entre 0 e 1,
  isto é 0 t 1 e também

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Curvas de Bézier

• Expressões que definem as curvas de Bézier
• Para três pontos de controle ? polinômios com
  grau 2.
• P(t) (1 t)2 B0 2t (1 t) B1 t2B2,
• onde t inicialmente é 0.

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Curvas de Bézier

• Expressões que definem as curvas de Bézier
• Para quatro pontos de controle ? polinômios com
  grau 3.
• P(t) (1 t)3 B0 3t (1 t)2 B1 3t2 (1
  t)B2 t3B3,
• onde t inicialmente é 0.

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Curvas de Bézier - Algoritmo

• Material auxiliar para melhor entendimento de
  curvas e superfícies de Bézier, veja applets java
  em http//www.dca.fee.unicamp.br/courses/EA978/1
  s2003/demos/geometry.html
• Exercício
• Faça um programa que dado um número n, permita o
  ingresso interativo (pelo cliques do mouse) de
  n1 pontos de controle e construa a curva de
  Bézier correspondente. Preste atenção que as
  coordenadas da cena diferem ligeiramente das
  coordenadas da tela onde os cliques serão feitos.

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Curvas de Bézier - Problemas

• Falta de controle local Uma alteração em um
  ponto no polígono de Bézier acarreta alterações
  em toda a curva de Bézier. Indesejável quando
  desejamos fazer ajustes finos.
• 2. O grau do polinômio cresce com o número de
  pontos de controle do polígono de controle.

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Superfícies Bézier

• - Generalização da idéia de curva de Bézier.
• Sejam Bij, i0,...,m, j0,...,n, um conjunto de
  pontos no R3 de tal forma que sua projeção no
  plano x0y seja formada pelos vértices de mn
  retângulos de mesmas dimensões. A superfície de
  Bézier definida no domínio 0,1x0,1 é

Onde Jni e Kmj são os polinômios de Bernstein.
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Superfícies Bézier
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Outras representações de Superfícies
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Representação Octree (estrutura de árvore)

Envolve o objeto por um cubo que em seguida é
subdividido em 8 cubos menores. Cada um deles
pode ser Cheio, vazio ou cheio-vazio. Os nós
cheios ou vazios são terminais, enquanto os
cheio-vazios não são.
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Representação Octree Exemplo
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Representação Octree Exemplo

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Geometria Sólida Construtiva (CSG)

• Consiste em construir um objeto a partir da
  combinação operatória (união, interseção e
  diferença) de dois ou mas sólidos.

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Geometria Sólida Construtiva (CSG)
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Varredura (Sweeping)

• Uma superfície é descrita quando uma curva C1
  (curva geratriz) é deslocada no espaço, ao longo
  de uma trajetória dada por uma outra curva C2
  (caminho o diretriz).
• - Varredura translacional (Extrusão ou
  superfícies geradas por deslocamento)

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Varredura (Sweeping)

• - Varredura rotacional (ou superfícies de
  revolução)

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Malha de Polígonos

• - Coleções de polígonos (ou faces) que, juntos,
  formam a pele ou casca do objeto
• Forma rápida e prática para representar objetos
• Estrutura de Dados
• Opção A
• . Lista contígua das coordenadas de todos os
  vértices que compõem cada face.
• - Arestas implícitas
• - Faces explícitas

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Malha de Polígonos

• - Coleções de polígonos (ou faces) que, juntos,
  formam a pele ou casca do objeto
• Forma rápida e prática para representar objetos

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Superfície de Revolução - Tarefa

• Material auxiliar para melhor entendimento de
  curvas e superfícies de Bézier, veja programa
  torus.c, superficies.c e o executável swprj.exe
• O programa torus.c desenha a superfície chamada
  torus.
• O executável swprj.exe permite desenhar uma curva
  geratriz que dará origem a uma superfície de
  revolução
• O programa superfícies.c permite desenhar uma
  curva de Bézier como curva geratriz e a partir
  dela obter uma superfície de revolução.