Title: Programaci
1Programación LinealProgramación Entera
2Universidad del CEMALDE 700Teoría de la Decisión
- Alejandro Bustamante
- Ariadna Berger
3Programación Lineal
- La PL es un método matemático de resolución de
problemas donde el objetivo es optimizar
(maximizar o minimizar) un resultado a partir de
seleccionar los valores de un conjunto de
variables de decisión, respetando restricciones
correspondientes a disponibilidad de recursos,
especificaciones técnicas, u otras condicionantes
que limiten la libertad de elección.
4- En PL un sistema de producción se representa
mediante un modelo o matriz en el que se
incluyen - costos e ingresos generados por unidad de
actividad (función objetivo). - aportes y requerimientos de insumos y productos
por unidad de cada actividad considerada
(coeficientes insumo/producto). - disponibilidad de recursos, especificaciones
técnicas y empresariales a respetar (RHS).
5Representación matemática de un problema de PL
- Función objetivo
- Z c1X1 c2X2 ... cnXn
- Relaciones entre Requerimientos y Disponibilidad
de Recursos - a11X1 a12X2 ..... a1nXn lt b1
- ............................................. lt
.. - am1X1 am2X2 ..... amnXn lt bm
- Xj variables de decisión
- cj costos o ingresos por unidad
- aij coeficientes insumo producto
- bi disponibilidad de recursos
6Supuestos
- Proporcionalidad
- Las actividades se pueden representar mediante
funciones de producción lineales. Esto implica
asumir retornos constantes a escala. Por
consiguiente - el uso de recursos por parte de una actividad es
proporcional al nivel de la actividad.
7Supuestos (cont.)
- Aditividad
- El uso total de recursos es la suma de los
recursos empleados por las actividades
individuales. - El valor de la función objetivo es la suma de las
contribuciones de las actividades individuales. - La contribución de una variable de decisión a la
función objetivo o al uso de recursos es
independiente de los valores que se asignen a
otras variables de decisión.
8Supuestos (cont.)
- Divisibilidad
- Es posible que las variables tomen valores no
enteros. - Certeza
- Se asume que no hay aleatoreidad en los
coeficientes que definen a las variables de
decisión del problema.
9Campo de Factibilidad
- Es el conjunto de posibilidades de producción que
cumple con la condición de respetar todas las
restricciones de un problema de decisión. - De todas las alternativas técnicamente factibles,
hay una sola que es óptima desde el punto de
vista de la función a optimizar. - Hay una serie de soluciones subóptimas que vale
la pena explorar.
10Tasa Marginal de Sustitución Técnica
- Es la relación técnica que define el reemplazo de
dos actividades entre sí manteniendo constante el
uso de un determinado recurso.
11Ingreso Marginal
- Es el incremento en el resultado provocado por el
ingreso en la solución de una unidad adicional de
una actividad.
12Costo de Oportunidad (Precio Sombra)
- Cuando el objetivo es maximizar el resultado, el
Costo de Oportunidad es el beneficio que se deja
de percibir por no contar con una unidad
adicional de un recurso. - El Costo de Oportunidad de un recurso se
determina en base al mejor uso alternativo. En
términos económicos, es equivalente al Valor del
Producto Marginal del recurso. - Los recursos escasos se asignan a aquellas
actividades en las que el valor del producto
marginal de cada recurso sea mayor.
13Costo de Oportunidad (cont.)
- El valor de los recursos obtenido de acuerdo al
criterio de VPMg es interno, propio de cada
situación evaluada en función de las alternativas
consideradas tanto en sus aspectos de mercado
(costos y precios) como técnicos (funciones de
producción asociadas a cada alternativa), y de la
abundancia o escasez relativa de los recursos
disponibles. - Por consiguiente, el Costo de Oportunidad Interno
de un recurso puede diferir de su valor de
mercado.
14Costo Marginal
- En un problema de maximización, el Costo Marginal
es el incremento en el costo total resultante de
agregar una unidad de actividad en la solución. - En PL, el Costo Marginal de una actividad se
calcula valuando los recursos consumidos por cada
actividad según el Costo de Oportunidad Interno
de los recursos.
15Principio de Optimización (Simplex)
- En un problema de maximización, conviene
incrementar la participación de una actividad en
el plan en tanto el Ingreso Marginal sea mayor
que el Costo Marginal que se incurra. - Se llega a una solución óptima siguiendo un
mecanismo iterativo, en la que cada solución
mejora sobre la previa a partir de incluír
actividades que aportan más que lo que cuestan. - Se llega a una solución óptima cuando no hay
sustituciones factibles que permitan lograr un
resultado mayor. Para todas las actividades
incluídas en el óptimo se cumple el principio - Ingreso Marginal Costo Marginal
16Costo de Sustitución (Costo Reducido)
- Indica la diferencia entre el Ingreso Marginal y
el Costo Marginal para cada actividad. - En una solución óptima, las actividades incluídas
en el plan cumplen con la condición Ingreso
Marginal Costo Marginal, por lo que el Costo de
Sustitución de las mismas es igual a 0. - Las actividades no incluídas en el plan tienen un
Costo Marginal mayor que su Ingreso Marginal. El
Costo de Sustitución indica la magnitud de esta
diferencia.
17Solución óptima
- Una solución es óptima para una situación
determinada en relación a precios relativos,
funciones de producción, disponibilidad de
recursos y restricciones empresariales
especificadas. - Cualquier alteración en los supuestos empleados
va a tener un impacto cierto en el resultado
obtenido y eventualmente en el nivel o
composición de las actividades incluídas en la
solución.
18Información obtenida
- Resultado (óptimo)
- Dimensión de cada actividad en la solución
- Costo de Sustitución de las actividades
- Uso de cada recurso
- Costo de Oportunidad de cada recurso
- Rango de precios dentro del cual no se modifica
la dimensión de las actividades en la solución
(ceteris paribus) - Rango dentro del cual se mantiene el Costo de
Oportunidad de cada recurso (ceteris paribus)
19Soluciones degeneradas
- Cuando en la solución hay menos variables con
valores positivos que cantidad de restricciones,
la solución es degenerada. - En general la degeneración no es un problema,
pero a veces puede ocurrir que haya soluciones
óptimas alternativas que no son fáciles de
identificar. - Costos de sustitución igual a 0 o costos de
oportunidad igual a 0 son indicadores de
soluciones degeneradas.
20Soluciones fallidas
- Solución no factible
- Posibles causas error en la formulación (p.ej.
una desigualdad con signo equivocado), o problema
con restricciones incompatibles. - Solución no limitada
- El modelo fue formulado de tal modo que la
función objetivo puede aumentar (en un problema
de maximización) o disminuír (en un problema de
minimización) sin límites. - Posibles causas falta incluír alguna restricción
esencial o se introdujo algún coeficiente con
signo equivocado.
21Problemas de Transporte
- Hay un conjunto de m puntos de origen desde los
que se envía una mercadería. - Cada punto de origen i tiene una capacidad
máxima de abastecimiento. - Hay un conjunto de n puntos de demanda hacia los
que se destina mercadería. - Cada punto de demanda j debe ser abastecido con
un mínimo de mercadería. - Cada unidad producida en un punto de origen i y
enviada a un punto de demanda j incurre en un
costo cij
22Balanceo de un problema de transporte
- Si la oferta excede a la demanda, se puede
balancear el problema creando un punto de demanda
ficticia que absorba el exceso de oferta. - Si la demanda excede a la oferta, para que el
problema se vuelva factible se puede permitir no
satisfacer parte de la demanda pagando una
penalidad por unidad de demanda insatisfecha. Se
agrega un punto de abastecimiento ficticio con
una capacidad igual a la demanda insatisfecha, y
una penalidad asociada a cada punto demanda.
23- Problemas de Asignación son problemas
balanceados de transporte en los cuales todas las
ofertas y todas las demandas son iguales a 1. - Problemas de Transbordo son problemas de
transporte en los que se agregan puntos de
transbordo. Los puntos de transbordo son puntos
que pueden tanto recibir mercadería de otros
puntos como enviar mercadería a otros puntos.
24Programación Entera / Mixta
- Los problemas de programación con enteros se
formulan de la misma manera que los problemas de
programación lineal, pero agregando la condición
de que al menos alguna de las variables de
decisión debe tomar valores enteros. - Una variable de decisión binaria sólo puede tomar
valores 0 o 1. Una variable entera puede tomar
cualquier valor, en tanto éste sea entero.
25Factores a considerar al incluír variables de
decisión enteras en un problema.
- El procedimiento de resolución es bastante más
trabajoso que el método Simplex. - Se pierde la posibilidad de contar con
información sobre el costo de oportunidad de los
recursos y el costo de sustitución de las
actividades.
26Resolución de problemas enteros por el método de
Ramificar y Podar
- En un problema con enteros existe un número
finito de soluciones posibles (no todas son
factibles) que pueden representarse mediante un
diagrama de árbol. - No hace falta enumerar todas las soluciones
posibles si se pueden eliminar ramas
dominadas. - Una rama puede eliminarse si puede demostrarse
que no contiene una solución factible que sea
mejor que una ya obtenida.
27Pasos en el método de Ramificar y Podar
- 1. Comenzar resolver el problema como si fuera
un problema ordinario de PL (relajación de
enteros). La solución obtenida se toma como cota
máxima y base para el procedimiento de búsqueda
de una solución factible. - 2. Ramificar a partir de la solución de PL
designar una variable como entera y seleccionar,
a partir de los posibles valores enteros que
pueda tomar, una rama para investigarla.
28Ramificar y Podar (cont.)
- 3. Limitar encontrar un límite para el problema
definido por la rama seleccionada. El límite está
dado por el valor de la mejor solución factible
de enteros encontrada hasta el momento, y domina
a todos los otros posibles resultados de una
rama.
29Ramificar y Podar (cont.)
- 4. Comparar comparar la solución obtenida en la
rama con el límite de referencia vigente. - Si el valor de la solución es menor que el límite
vigente, se elimina de consideración toda la
nueva rama. Se continúa con las ramas que no
hayan sido evaluadas aún. - Si el valor de la solución es mejor que el límite
vigente y si la solución es entera (factible),
entonces se convierte en el nuevo límite de
referencia. Se examinan las ramas que aún no se
han considerado en relación al nuevo límite. - Si el valor de la solución es mayor que el
límite vigente, pero la solución no es entera
(factible) deben explorarse las ramificaciones de
nivel inferior en la misma rama.
30Ramificar y Podar (cont.)
- 5. Terminar quedarse con la mejor solución
factible obtenida una vez examinadas todas las
ramificaciones.
31Problemas con Variables Binarias
- Estibaje son problemas con una sola restricción
de capacidad. - Cargo Fijo hay un costo asociado con desarrollar
una actividad que no depende del nivel de la
actividad. - Cobertura cada elemento de un conjunto debe ser
cubierto por un elemento aceptable de otro
conjunto. El objetivo del problema es minimizar
el número de elementos del segundo conjunto
requerido para cubrir todos los elementos del
primer conjunto. - Escala mínima de operación