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Universidad del CEMA LDE 700 Teor a de la Decisi n Alejandro Bustamante Ariadna Berger Programaci n Lineal La PL es un ... El valor de la funci n objetivo es ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Programaci


1
Programación LinealProgramación Entera
2
Universidad del CEMALDE 700Teoría de la Decisión
  • Alejandro Bustamante
  • Ariadna Berger

3
Programación Lineal
  • La PL es un método matemático de resolución de
    problemas donde el objetivo es optimizar
    (maximizar o minimizar) un resultado a partir de
    seleccionar los valores de un conjunto de
    variables de decisión, respetando restricciones
    correspondientes a disponibilidad de recursos,
    especificaciones técnicas, u otras condicionantes
    que limiten la libertad de elección.

4
  • En PL un sistema de producción se representa
    mediante un modelo o matriz en el que se
    incluyen
  • costos e ingresos generados por unidad de
    actividad (función objetivo).
  • aportes y requerimientos de insumos y productos
    por unidad de cada actividad considerada
    (coeficientes insumo/producto).
  • disponibilidad de recursos, especificaciones
    técnicas y empresariales a respetar (RHS).

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Representación matemática de un problema de PL
  • Función objetivo
  • Z c1X1 c2X2 ... cnXn
  • Relaciones entre Requerimientos y Disponibilidad
    de Recursos
  • a11X1 a12X2 ..... a1nXn lt b1
  • ............................................. lt
    ..
  • am1X1 am2X2 ..... amnXn lt bm
  • Xj variables de decisión
  • cj costos o ingresos por unidad
  • aij coeficientes insumo producto
  • bi disponibilidad de recursos

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Supuestos
  • Proporcionalidad
  • Las actividades se pueden representar mediante
    funciones de producción lineales. Esto implica
    asumir retornos constantes a escala. Por
    consiguiente
  • el uso de recursos por parte de una actividad es
    proporcional al nivel de la actividad.

7
Supuestos (cont.)
  • Aditividad
  • El uso total de recursos es la suma de los
    recursos empleados por las actividades
    individuales.
  • El valor de la función objetivo es la suma de las
    contribuciones de las actividades individuales.
  • La contribución de una variable de decisión a la
    función objetivo o al uso de recursos es
    independiente de los valores que se asignen a
    otras variables de decisión.

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Supuestos (cont.)
  • Divisibilidad
  • Es posible que las variables tomen valores no
    enteros.
  • Certeza
  • Se asume que no hay aleatoreidad en los
    coeficientes que definen a las variables de
    decisión del problema.

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Campo de Factibilidad
  • Es el conjunto de posibilidades de producción que
    cumple con la condición de respetar todas las
    restricciones de un problema de decisión.
  • De todas las alternativas técnicamente factibles,
    hay una sola que es óptima desde el punto de
    vista de la función a optimizar.
  • Hay una serie de soluciones subóptimas que vale
    la pena explorar.

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Tasa Marginal de Sustitución Técnica
  • Es la relación técnica que define el reemplazo de
    dos actividades entre sí manteniendo constante el
    uso de un determinado recurso.

11
Ingreso Marginal
  • Es el incremento en el resultado provocado por el
    ingreso en la solución de una unidad adicional de
    una actividad.

12
Costo de Oportunidad (Precio Sombra)
  • Cuando el objetivo es maximizar el resultado, el
    Costo de Oportunidad es el beneficio que se deja
    de percibir por no contar con una unidad
    adicional de un recurso.
  • El Costo de Oportunidad de un recurso se
    determina en base al mejor uso alternativo. En
    términos económicos, es equivalente al Valor del
    Producto Marginal del recurso.
  • Los recursos escasos se asignan a aquellas
    actividades en las que el valor del producto
    marginal de cada recurso sea mayor.

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Costo de Oportunidad (cont.)
  • El valor de los recursos obtenido de acuerdo al
    criterio de VPMg es interno, propio de cada
    situación evaluada en función de las alternativas
    consideradas tanto en sus aspectos de mercado
    (costos y precios) como técnicos (funciones de
    producción asociadas a cada alternativa), y de la
    abundancia o escasez relativa de los recursos
    disponibles.
  • Por consiguiente, el Costo de Oportunidad Interno
    de un recurso puede diferir de su valor de
    mercado.

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Costo Marginal
  • En un problema de maximización, el Costo Marginal
    es el incremento en el costo total resultante de
    agregar una unidad de actividad en la solución.
  • En PL, el Costo Marginal de una actividad se
    calcula valuando los recursos consumidos por cada
    actividad según el Costo de Oportunidad Interno
    de los recursos.

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Principio de Optimización (Simplex)
  • En un problema de maximización, conviene
    incrementar la participación de una actividad en
    el plan en tanto el Ingreso Marginal sea mayor
    que el Costo Marginal que se incurra.
  • Se llega a una solución óptima siguiendo un
    mecanismo iterativo, en la que cada solución
    mejora sobre la previa a partir de incluír
    actividades que aportan más que lo que cuestan.
  • Se llega a una solución óptima cuando no hay
    sustituciones factibles que permitan lograr un
    resultado mayor. Para todas las actividades
    incluídas en el óptimo se cumple el principio
  • Ingreso Marginal Costo Marginal

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Costo de Sustitución (Costo Reducido)
  • Indica la diferencia entre el Ingreso Marginal y
    el Costo Marginal para cada actividad.
  • En una solución óptima, las actividades incluídas
    en el plan cumplen con la condición Ingreso
    Marginal Costo Marginal, por lo que el Costo de
    Sustitución de las mismas es igual a 0.
  • Las actividades no incluídas en el plan tienen un
    Costo Marginal mayor que su Ingreso Marginal. El
    Costo de Sustitución indica la magnitud de esta
    diferencia.

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Solución óptima
  • Una solución es óptima para una situación
    determinada en relación a precios relativos,
    funciones de producción, disponibilidad de
    recursos y restricciones empresariales
    especificadas.
  • Cualquier alteración en los supuestos empleados
    va a tener un impacto cierto en el resultado
    obtenido y eventualmente en el nivel o
    composición de las actividades incluídas en la
    solución.

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Información obtenida
  • Resultado (óptimo)
  • Dimensión de cada actividad en la solución
  • Costo de Sustitución de las actividades
  • Uso de cada recurso
  • Costo de Oportunidad de cada recurso
  • Rango de precios dentro del cual no se modifica
    la dimensión de las actividades en la solución
    (ceteris paribus)
  • Rango dentro del cual se mantiene el Costo de
    Oportunidad de cada recurso (ceteris paribus)

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Soluciones degeneradas
  • Cuando en la solución hay menos variables con
    valores positivos que cantidad de restricciones,
    la solución es degenerada.
  • En general la degeneración no es un problema,
    pero a veces puede ocurrir que haya soluciones
    óptimas alternativas que no son fáciles de
    identificar.
  • Costos de sustitución igual a 0 o costos de
    oportunidad igual a 0 son indicadores de
    soluciones degeneradas.

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Soluciones fallidas
  • Solución no factible
  • Posibles causas error en la formulación (p.ej.
    una desigualdad con signo equivocado), o problema
    con restricciones incompatibles.
  • Solución no limitada
  • El modelo fue formulado de tal modo que la
    función objetivo puede aumentar (en un problema
    de maximización) o disminuír (en un problema de
    minimización) sin límites.
  • Posibles causas falta incluír alguna restricción
    esencial o se introdujo algún coeficiente con
    signo equivocado.

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Problemas de Transporte
  • Hay un conjunto de m puntos de origen desde los
    que se envía una mercadería.
  • Cada punto de origen i tiene una capacidad
    máxima de abastecimiento.
  • Hay un conjunto de n puntos de demanda hacia los
    que se destina mercadería.
  • Cada punto de demanda j debe ser abastecido con
    un mínimo de mercadería.
  • Cada unidad producida en un punto de origen i y
    enviada a un punto de demanda j incurre en un
    costo cij

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Balanceo de un problema de transporte
  • Si la oferta excede a la demanda, se puede
    balancear el problema creando un punto de demanda
    ficticia que absorba el exceso de oferta.
  • Si la demanda excede a la oferta, para que el
    problema se vuelva factible se puede permitir no
    satisfacer parte de la demanda pagando una
    penalidad por unidad de demanda insatisfecha. Se
    agrega un punto de abastecimiento ficticio con
    una capacidad igual a la demanda insatisfecha, y
    una penalidad asociada a cada punto demanda.

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  • Problemas de Asignación son problemas
    balanceados de transporte en los cuales todas las
    ofertas y todas las demandas son iguales a 1.
  • Problemas de Transbordo son problemas de
    transporte en los que se agregan puntos de
    transbordo. Los puntos de transbordo son puntos
    que pueden tanto recibir mercadería de otros
    puntos como enviar mercadería a otros puntos.

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Programación Entera / Mixta
  • Los problemas de programación con enteros se
    formulan de la misma manera que los problemas de
    programación lineal, pero agregando la condición
    de que al menos alguna de las variables de
    decisión debe tomar valores enteros.
  • Una variable de decisión binaria sólo puede tomar
    valores 0 o 1. Una variable entera puede tomar
    cualquier valor, en tanto éste sea entero.

25
Factores a considerar al incluír variables de
decisión enteras en un problema.
  • El procedimiento de resolución es bastante más
    trabajoso que el método Simplex.
  • Se pierde la posibilidad de contar con
    información sobre el costo de oportunidad de los
    recursos y el costo de sustitución de las
    actividades.

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Resolución de problemas enteros por el método de
Ramificar y Podar
  • En un problema con enteros existe un número
    finito de soluciones posibles (no todas son
    factibles) que pueden representarse mediante un
    diagrama de árbol.
  • No hace falta enumerar todas las soluciones
    posibles si se pueden eliminar ramas
    dominadas.
  • Una rama puede eliminarse si puede demostrarse
    que no contiene una solución factible que sea
    mejor que una ya obtenida.

27
Pasos en el método de Ramificar y Podar
  • 1. Comenzar resolver el problema como si fuera
    un problema ordinario de PL (relajación de
    enteros). La solución obtenida se toma como cota
    máxima y base para el procedimiento de búsqueda
    de una solución factible.
  • 2. Ramificar a partir de la solución de PL
    designar una variable como entera y seleccionar,
    a partir de los posibles valores enteros que
    pueda tomar, una rama para investigarla.

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Ramificar y Podar (cont.)
  • 3. Limitar encontrar un límite para el problema
    definido por la rama seleccionada. El límite está
    dado por el valor de la mejor solución factible
    de enteros encontrada hasta el momento, y domina
    a todos los otros posibles resultados de una
    rama.

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Ramificar y Podar (cont.)
  • 4. Comparar comparar la solución obtenida en la
    rama con el límite de referencia vigente.
  • Si el valor de la solución es menor que el límite
    vigente, se elimina de consideración toda la
    nueva rama. Se continúa con las ramas que no
    hayan sido evaluadas aún.
  • Si el valor de la solución es mejor que el límite
    vigente y si la solución es entera (factible),
    entonces se convierte en el nuevo límite de
    referencia. Se examinan las ramas que aún no se
    han considerado en relación al nuevo límite.
  • Si el valor de la solución es mayor que el
    límite vigente, pero la solución no es entera
    (factible) deben explorarse las ramificaciones de
    nivel inferior en la misma rama.

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Ramificar y Podar (cont.)
  • 5. Terminar quedarse con la mejor solución
    factible obtenida una vez examinadas todas las
    ramificaciones.

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Problemas con Variables Binarias
  • Estibaje son problemas con una sola restricción
    de capacidad.
  • Cargo Fijo hay un costo asociado con desarrollar
    una actividad que no depende del nivel de la
    actividad.
  • Cobertura cada elemento de un conjunto debe ser
    cubierto por un elemento aceptable de otro
    conjunto. El objetivo del problema es minimizar
    el número de elementos del segundo conjunto
    requerido para cubrir todos los elementos del
    primer conjunto.
  • Escala mínima de operación
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