????????? ?????????? ver. 2.1

1
???????????????????ver. 2.1

• ???? ?? ?
• ???? ????

2
Definitions

• ??? ??????????
• ? ?
• ?
• ??
• ??????1????
• ???????
• ????
• ??????? ? ? ? ?
• ??????? ??? ???
• ? ? ?
  ?

3
Definitions (jump positions)

• ??????
• ??????????
• 38 ????? 38 ?????
• ???? ?? ??????
• ? 76 ?????????

4
peg solitaire problem

• ???????
• ???? ????
• ?
• ??????(???)????.
• ??????? ??????.

5
previous results

• ??????
• Uehara, Iwata (1990)
• ??????????NP-??
• ??????????
• de Bruijn (1972)
• ???????????
• Berlekamp, Conway, Guy (1982)(Winning Ways)
• ?????????????
• (????????????)
• Avis, Deza (1996)
• solitaire cone (?????????)

6
our results

• ??????????????????
• ????????.
• ??????
• ?????????
• ???????
• ?????????

7
upper bound

• ?????????,?????????
• ?????????????.
• ??
  ??
• ??, ?????????????
• (??????) ?1
• ??? ??? ??? ??

8
notations
1 2 3 4 5 6 7 ? ?

• n ???
• ????? n33
• ?????? n-?? 0-1????
• ???????1?????

? ? 27 28 29 30 31 32 33
?0,133
1 ???? 0 ????
9
jump vector

• ????????
• ???? ???????????
• (?????????2?? 1 ?1?? -1)

0 0 0 0 0 0 1 1 -1
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 -1 0
?
?

10
jump matrix

• ?????? (????)(??????)
• ??????
• 1 -1 ??? -1 0
• 1 1 ??? 0 0
• A -1 1 ??? 1 1
• 0 0 ??? 1 -1
• 0 0 ??? 0 1
• ?? p ? ?? p
• ??????j??????
• ? pp - A uj (uj ?j ??????)

????
11
jump matrix and peg solitaire problem

• A ?????? (?????????)
• ps ???????????.
• pf ???????????.
• ?????????????????????, ?x(x1,x2,...,xm)T
• (1) ????????????????
• ??????
• (2) ps - Ax pf
• xj ?????? j ????????

12
integer programming

• IPj max. xj
• sub. to ps - Ax pf , x?0,
• x(x1,x2,...,xm)T
  ???????.
• (1) IPjs ?????????
• ? ????????????????
• (2) (??j???????? )?( IPj????)
• IPj ?????,??????j??
• ?????????.
• ????????,
• ???????j?????IPj???.
• ??????76, ??76, ???33

13
example of upper bounds

• ???
• 76 ?????????
• ??????

14
example of infeasible peg solitaire problem

• ???
• 76 ??????
• IPj ?????
• ? ????????????????
• ?????????,
• ?????????????.

15
pagoda function approach

• Berlekamp, Conway, Guy (1982)(Winning Ways)
• ??????? ??y, yTA?0, yT(ps - pf )lt0
• ? ?????????????????
• Farkas ???
• (1) ? (2) ????????????????
• (1) ?y, yTA?0, yT(ps - pf )lt0,
• (2) ?x, ps - Ax pf , x?0.
• IPj maxxj ps - Ax pf , x?0, x?Zn
• IPj??????????????????????????.

16
example of infeasible peg solitaire problems (2)

• ???
• ???!
• 76 ???????????
• ??????
• IP ????? ? ???????????
• IP ????? ???????????

17
algorithm

• ??????????????????
• ????????.
• ??????
• ?????????
• ???????
• ?????????

18
game tree

• ???
• ????
• ?????????
• ??????????.
• ? ??
• ? ????.
• ??????

????.
19
search of game tree

• ??????
• ??????

20
DFSUB

• ??????
• ??

????
2
1
1
0
2
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
????
21
DFSUB

• ??????
• ??

????
2
1
1
0
2
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
????
22
hash table

• ????????2?????????,
• ????????.
• ??????? 2,000,000
• ????1???????????????.
• ?????????????.

23
search method

• ????? ?????????
• ???-??????

????
24
computational experience

• MMX Pentium 233MHz with 64MB memory
• ?? (i)
• 76 IPs 9.1 sec.
• ????? 37 min.
• ?-?????1.4 sec.
• ?? (ii)
• 76 IPs 122 sec.
• ????? 3.0 sec.
• ?-????? hash overflow

25
END
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
(No Transcript)