Groupe d'

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Groupe d'étude INRP  Ampères Dynamiser
létude des mathématiques dans lenseignement
secondaire (collège et lycée) par la mise en
place de séquences denseignement organisées
autour dActivités dÉtude et de Recherche (AER)
ou de Parcours dÉtude et de Recherche (PER)
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AMPERES

• Apprentissages Mathématiques et Parcours d'Études
  et de Recherches pour l'Enseignement Secondaire
• Des équipes à Bordeaux, Clermont-Fd, Marseille,
  Poitiers, Toulouse, et Dijon, Nice, Montpellier
• Des contacts avec des équipes belges et espagnoles

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Motifs

•  Demandez aux enseignants quels sont leurs
  principaux sujets de préoccupation les
  salaires, les programmes, les notes et
  l'évaluation, les parents, la laïcité, la
  violence, les incivilités... ? Vous n'y êtes pas
  c'est la motivation des élèves, leur engagement
  dans le travail scolaire, leur intérêt pour les
  activités et les savoirs constitués. 
• Sur le site du café pédagogique du 1er septembre

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Motifs

•  Je crois que ce qui manque souvent dans
  lenseignement des sciences, cest le sens dun
  enjeu, dun problème non résolu à lavance qui a
  mobilisé les passions dêtres humains 
•  Pour comprendre ce quest une investigation il
  vaut mieux lire les enquêtes de Sherlock Holmes
  quun manuel scolaire de physique. 
•  In bulletin de lAPMEP de mai-juin 2008 

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CONSTATS Les mathématiques, discipline qui
contribue à apporter un éclairage sur le monde ?
Extrait de Radiographie du peuple lycéen. Pour
changer le lycée (Establet R. al., 1995)
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D'après le rapport 'Science Education Now A
Renewed Pedagogy for the Future of Europe'

• La recommandation principale du groupe concerne
  un revirement de l'enseignement des sciences dans
  les écoles pour passer d'une méthode
  principalement déductive à une méthode basée sur
  le questionnement. L'approche déductive de
  l'enseignement suppose que l'enseignant présente
  des concepts, leurs implications logiques et des
  exemples d'applications. En revanche,
  l'enseignement scientifique basé sur le
  questionnement (Inquiry-Based Science Education,
  IBSE) donne plus d'espace à l'observation et à
  l'expérimentation et l'enfant, guidé par
  l'enseignant, est invité à construire ses propres
  connaissances.

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Principes

• Partir de questions à fort pouvoir générateur
  détudes et de recherches
• Guider létude par un jeu de questions cruciales
• Exemples Dans le domaine de la géométrie,
   Comment déterminer la distance entre deux
  points inaccessibles ?   Comment représenter
  un solide? 

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Exemples clermontois

• Comment introduire le produit scalaire? Quelles
  questions?
• Comment introduire le calcul littéral? 
• Quelles questions?

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Des raisons dêtre de lalgèbre 

• Comment représenter de façon concise et non
  ambiguë des programmes de calcul.
• Comment comparer des programmes de calcul.
• Comment résoudre des équations .
•  lalgèbre élémentaire est la science des
  programmes de calcul (sur les nombres),
• et en particulier la science du calcul sur les
  programmes de calcul. 

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Une AER en classe de cinquième

• Ce sont surtout les raisons d'être de l'Algèbre
  qui nous ont guidé l'enjeu est de faire
  comprendre aux élèves les raisons pour lesquelles
  on s'intéresse aux transformations d'écritures
  algébriques comme, par exemple, l'usage de la
  distributivité de la multiplication par rapport à
  l'addition

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Brevet des collèges 2007
On donne un programme de calcul
Choisir un nombre. Lui ajouter 4. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi. Ajouter 4 à ce produit. Ecrire le résultat.
1) Écrire les calculs permettant de vérifier que
si l'on fait fonctionner ce programme avec le
nombre -2, on obtient 0. 2) Donner le résultat
fourni par le programme lorsque le nombre choisi
est 5. 3) a) Faire deux autres essais en
choisissant à chaque fois un nombre entier et
écrire le résultat obtenu sous la forme du carré
d'un autre nombre entier (les essais doivent
figurer sur la copie). b) En est-il toujours
ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au
départ de ce programme de calcul ? Justifier la
réponse. 4) On souhaite obtenir 1 comme résultat.
Quels nombres peut-on choisir au départ ?
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Représenter un calcul?

• Lîlâvati, Exemple 50. Jolie fille aux yeux
  mouvants, si tu connais la bonne méthode
  d'inversion, dis-moi quel est le nombre qui,
  multiplié par trois, auquel on ajoute ses trois
  quarts, divisé par sept et diminué de son tiers,
  multiplié par lui-même et ayant soustrait
  cinquante-deux du produit, ayant extrait la
  racine carrée de ce qui reste et ayant ajouté
  huit puis divisé par dix, donne deux. (Réponse 
  28)
• Textes écrits, textes dits dans la tradition
  mathématique de lInde médiévale
• Agathe Keller , CNRS, Equipe REHSEIS

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Une AER en classe de cinquième

• La situation proposée devait conduire les élèves
  à comparer des programmes de calculs en
  travaillant uniquement l'expression littérale de
  ceux-ci. Il convenait donc que les élèves ne
  puissent pas se référer à la situation modélisée
  pour faire la comparaison. C'est ce qui nous a
  conduit à proposer non pas un mais deux problèmes
  que l'on découvrira ci-dessous.
• Une équation à résoudre sans utiliser les
  règles de transposition , il s'agit cependant de
  faire percevoir aux élèves que certaines formes
  de programme de calcul sont plus opérantes que
  d'autres, une façon de plus de justifier l'étude
  des transformations algébriques.

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Entrer dans lalgèbre en classe de cinquième
Introduire lobjet détude les programmes de
calcul




15
Les textes distribués aux élèves






2
1

• Sujet 1
• On considère un carré recouvert de carreaux
  blancs avec tout autour une rangée de carreaux
  grisés. Le  nombre de carreaux blancs sur le côté
  du carré central est variable.
• 1- a) Combien y a-t-il de carreaux grisés sur la
  figure 1 ci-dessus ?
• b) Combien y aurait-il de carreaux grisés si
  le nombre de carreaux sur un côté du carré
  central était de 8 ?
• c) de 35 ?
• 2 - Ecris le programme de calcul que tu as
  utilisé pour trouver le nombre de carreaux grisés
  de nimporte quelle figure semblable à celles de
  la première question.

16
Les textes distribués aux élèves






1
2

• Sujet 2
• On considère un carré recouvert de carreaux
  blancs avec tout autour une rangée de carreaux
  grisés. Le  nombre de carreaux blancs sur le côté
  du carré central est variable.
• 1- a) Combien y a-t-il de carreaux grisés sur la
  figure 2 ci-dessus ?
• b) Combien y aurait-il de carreaux grisés si
  le nombre de carreaux sur un côté du carré
  central était de 8 ?
• c) de 35 ?
• 2 - Ecris le programme de calcul que tu as
  utilisé pour trouver le nombre de carreaux grisés
  de nimporte quelle figure semblable à celles de
  la première question.

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Les objectifs de lAER

• Produire un programme de calcul.

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(No Transcript)
19
(No Transcript)
20
Les objectifs de lAER ne pas se tremper
denjeu!

• (a 4) 4
• (a 2) (a 2) ( a a)

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Une  équation 

• a) En utilisant un des programmes de calcul
  trouvés dans la classe, retrouver le nombre de
  carreaux sur le côté du carré blanc sachant que
  le nombre de carrés grisés est 228.
• b) Même question si le nombre de carrés grisés
  est 139.
• Les différents programmes trouvés en classe ont
  été écrits au tableau 
• (c 2 )2 c c
• ( a 1 ) 4
• c 4 4
• c 2 ( c 2 ) 2
• ( c 2 ) ( c 2 ) 4

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En fin de parcours la forme dun programme de
calcul donne des renseignements

• Usage pour les problèmes de constructions
  géométriques
• Inscrire un carré dans un triangle