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  Probabilités
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Le calcul de probabilités s'est développé à
partir du 16ème siècle. Les interrogations de
ses débuts portaient sur les jeux de hasard.
Pierre de Fermat (1601-1665) et Blaise Pascal
(1623-1662), mathématiciens célèbres, posèrent
les bases des probabilités.
Blaise Pascal
Pierre de Fermat
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I. Vocabulaire
1) Expérience aléatoire
Une expérience est dite  aléatoire  si elle
vérifie deux conditions 
- Elle conduit à des résultats possibles que lon
peut nommer.
- On ne peut pas prévoir ces résultats.
Remarque  Le résultat d'une expérience aléatoire
s'appelle aussi une issue.
Exemple   On lance un dé à 6 faces et on
regarde quel nombre on obtient.
Cette expérience est bien une expérience
aléatoire car 
- Les résultats (ou issues) possibles sont 1 ou 2
ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.
- Quand on lance le dé, on ne sait pas sur quelle
face on va tomber.
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2) Evénement
Un événement dans une expérience aléatoire est
constitué de plusieurs issues (ou résultats).
Exemple  On dispose des cinq cartes suivantes.
On tire une carte au hasard parmi les
cinq.
Obtenir une reine est un événement.
Obtenir un cœur est un autre événement.
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II. Probabilités
1) Probabilité et fréquence
Lorsquon répète une expérience aléatoire un
grand nombre de fois,
la fréquence de nimporte quel
évènement de cette expérience finit par se
stabiliser autour dun nombre 
la probabilité de cet événement.
Le lien fût établi par le mathématicien suisse
Jacques Bernoulli (1654-1705)
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Exemple  On dispose dune pièce de monnaie.
Si on lance un très grand nombre de fois cette
pièce,
et que lon compte le nombre de fois quelle
donne pile et le nombre de fois quelle donne
face,
la fréquence de ces deux résultats va se
stabiliser autour de ½.
Remarque  La probabilité dun événement est en
quelque sorte la chance que cet
événement se produise. Avec lexemple
ci-dessus, on a 1 chance sur 2
dobtenir face
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2) Probabilité et espace échantillonnal
Nous appelons lensemble de tous les résultats
possibles lespace échantillonnal de
lexpérience aléatoire et nous pouvons dénombrer
au moyen dune figure appelée arbre de
probabilités ou diagramme arborescent.
diagramme arborescent
lespace échantillonnal
PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF
P
F
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Voici un diagramme arborescent pour le lancé de
deux dés. Donne lespace échantillonnal
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
123456
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
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Voici lespace échantillonal pour le lancé de
deux dés

• 21 31 41 51 61
• 22 32 42 52 62
• 23 33 43 53 63
• 24 34 44 54 64
• 25 35 45 55 65
• 26 36 46 56 66

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3) Calculer une probabilité
Quand les résultats d'une expérience
aléatoire ont tous la même probabilité alors la
probabilité d'un événement E est égale au
quotient
Nb de résultats favorables à lévénement
P(E)
Nb de résultats possibles
Exemple  On lance un dé à 6 faces numérotées de
1 à 6.
Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre
pair ?
Quand on lance un dé, il y a 6 résultats
possibles.
Le résultat favorable à l'événement   obtenir
un chiffre pair  est  obtenir un 2, un 4, un
6  donc il y a 3 résultats favorables.
On a alors P ( obtenir un chiffre pair ) 3/6
ou encore 1/2
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Remarques 
- La probabilité d'un événement est toujours
comprise entre 0 et 1.
- La somme des probabilités associées à chaque
issue est égale à 1.
L'événement contraire de l'événement A est celui
qui se réalise quand A n'a pas lieu.
On a alors P( non A ) 1 - P(A)
Exemple  On lance un dé à 6 faces numérotées de
1 à 6.
L'événement  non 2  est constitué de 5 issues
 1 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6 .
On a P(2) 1/6
Donc P(non 2) 5/6
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Notes importantes 

• Si p est la probabilité quun événement se
  produise alors 0 p 1.
•  
• Si p 1, lévénement est une certitude.
•  
• Si p 0, lévénement est impossible.
•  
• Plus p est près de 1, plus lévénement est
  probable.
•  
• Plus p est près de 0, moins probable est
  lévénement.
•  
• Si q est la probabilité que lévénement naie pas
  lieu, alors q 1 - p

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Calculer la probabilité dévénements mutuellement
exclusifs

• Deux événements sont incompatibles sils ne
  peuvent pas se produire tous les deux en même
  temps.
• Exemple 1 Un jeu consiste à faire rouler un seul
  dé. Vous gagnez si le dé montre un 3 ou un 5.
  Quelle est la probabilité de gagner ?
• P(3) ou P(5) sont des événement incompatibles
  alors
• P(gagner) P(3) P(5)
•  

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Note bien la prochaine diapositive!
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Évènements incompatibles et " OU"

• Le mot "ou" entre deux évènements dans un
  problème de probabilité, détermine que ces
  évènements sont incompatibles. Il faut donc
  additionner les probabilités lorsque tu vois le
  mot "OU "!

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Calculer la probabilité dévénements mutuellement
exclusifs

• Ainsi, si un événement peut se produire de deux
  façons incompatibles qui ont les probabilités p1
  et p2, alors la probabilité que cet événement se
  produise est la somme soit p p1 p2
• On peut seulement additionner si les événements
  sont incompatibles.

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Calculer la probabilité dévénements mutuellement
exclusifs

• À ton tour 
• Un nombre entier entre 1 à 10 inclusivement
  est choisi au hasard. Quelle est la probabilité
  de choisir un nombre pair ou un nombre inférieur
  à 5 ?

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Calculer la probabilité dévénements indépendants

• Deux événements sont appelés indépendants si la
  réalisation de lun ninfluence pas celle de
  lautre.
• Exemple 1 
• Un jeu consiste à faire rouler un dé, puis à
  lancer une pièce de monnaie. Vous gagnez si le
  dé montre un 3 et la pièce montre le côté face.
  Quelle est votre probabilité de gagner ?
• Les évènements 3 et face sont des événements
  indépendants. 
• P(gagner) P(3) et P(face)
• 1/6 x 1/2 1/12

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Note bien la prochaine diapositive!
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Évènements indépendant et ET"

• Le mot " et " entre deux évènements dans un
  problème de probabilité, détermine que ces
  évènements sont indépendants. Il faut donc
  multiplier les probabilités lorsque tu vois le
  mot " ET "!

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Calculer la probabilité dévénements indépendants

• À ton tour
• On tire une bille dun sac contenant 3 billes
  vertes, 2 billes bleues et 4 billes rouges. On la
  remet ensuite dans le sac et on en tire une
  deuxième. Quelle est la probabilité de tirer une
  bille verte et une bille bleue?
• P(verte et bleue) P(verte) x P(bleue)
• 3/9 x 2/9
• 6/81
• 
  2/27

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3) Etude dune expérience à deux épreuves
On lance deux fois de suite une pièce de
monnaie.
Calculer la probabilité de lévènement E
 On obtient au moins une fois PILE.  
On schématise les différentes issues avec un
arbre de probabilités.
(P  P)
P
(probabilité dobtenir deux piles)
P
F
(P  F)
(probabilité dobtenir pile puis face)
(F  P)
P
(probabilité dobtenir face puis pile)
F
F
Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.
On a P(E )

La probabilité que lévènement E se réalise est
de ¾.
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4) Etude dune expérience à quatre épreuves
familles de 4 enfants P(nombre de filles)
Simulation
Valeurs possibles 0 1 2 3 4
probabilités
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Avec remise et sans remise

• Avec remise expression qui veut dire que tu
  replace lobjet là où tu las pris. Cela naffect
  pas le calcul de tes probabilités.
• Sans remise expression qui veut dire que tu ne
  replace pas lobjet là où tu las pris. Cela
  affect le calcul de tes probabilités.
• .

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Problème avec remise

• On brasse un jeu de 52 cartes et on pige deux
  cartes au hasard avec remise. Trouve la
  probabilité que les cartes soient respectivement
  un ace noir et un 2?
• P(ace noir et 2) P(Ace noir) et P(2)
• 2/52 x 4/52
• 1/26 x 1/13
• 1/338

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Problème sans remise

• On brasse un jeu de 52 cartes et on pige deux
  cartes au hasard sans remise. Trouve la
  probabilité que les cartes soient respectivement
  un ace noir et un 2?
• P(ace noir et 2) P(Ace noir) et P(2)
• 2/52 x 4/51
• 1/26 x 4/51
• 4/1326

Si il ny a pas de remise alors il y a une carte
de moins lors de la 2ième pige.