QUE ES UN ARGUMENTO CORRECTO?

1
EVALUACIÓN DE ARGUMENTOS UN EXAMEN DIAGNOSTICO
José Alfredo Amor Facultad de Ciencias
UNAM jaam_at_fciencias.unam.mx
2

• En el lenguaje coloquial se llama lógico a lo
  que se considera de sentido común. Incluso en
  matemáticas o filosofía
• Este sentido común que aplicamos en la vida debe
  dirigir la construcción del razonamiento lógico?
  La manera natural de razonar determina a la
  lógica?
• O por el contrario, Son las normas de la lógica
  las que deben regir nuestra manera natural de
  razonar? La lógica nos enseña a razonar
  correctamente?

3
Esto es lógico o no lógico ?
4
(No Transcript)
5
(No Transcript)
6
CIRCUNFERENCIA DEL ECUADOR ?2r CIRCUNFERENCIA
CON UN METRO MÁS ?2R La diferencia entre las dos
circunferencias es
?2R ?2r 1m por construcción. Entonces
factorizando ?2, ?2(R r) 1m. Y despejando
R r 1/?2 m ? 0.159 m. Es decir, ? R
r 15.9 cm !
ADEMÁS, R r 1/?2 NO DEPENDE DEL TAMAÑO DE
r ES UNA CONSTANTE !
R r15.9cm !
7
Sabemos negar?

• 1. La negación lógica del enunciado
• Si te portas bien entonces te llevo
  al cine es
• a) Si no te portas bien entonces no te
  llevo al cine.
• b) Si te portas bien entonces no te llevo
  al cine.
• c) Te portas bien y no te llevo al
  cine.
• 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que
• w?x/ x?A y x?B, entonces
• a)w?A y w?B b)w?A y (w?B o w?B) c)
  w?A o w?B
• 3. La negación lógica de ser blanco es
• a)ser negro.
  b)no ser blanco.
• c)ser de color
  distinto al blanco.
• 4. La negación lógica de 3 lt x es
• a) 3 gt x b) 3 ? x
  c) 3 ? x
• 5. La negación lógica de Todos los perros
  ladran es
• a)Hay perros que no ladran. b)Todos los
  perros no ladran.
  c)Ningún perro ladra.

8
Respuestas Correctas c,c,b,c,a.

• 1. La negación lógica del enunciado
• Si te portas bien entonces te llevo
  al cine es
• c) Te portas bien y no te
  llevo al cine.
• 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que
  w?x/ x?A y x?B, entonces
• c) w?A o w?B
• 3. La negación lógica de ser blanco es
• b)no ser blanco.
• 4. La negación lógica de 3 lt x es
• c) 3 ? x
• 5. La negación lógica de Todos los perros
  ladran es
• a)Hay perros que no ladran.
  

9
LA LÓGICA DEDUCTIVA

• Podemos pensar a la lógica clásica como el
  estudio del razonamiento deductivo correcto o
  válido.
• El razonamiento deductivo válido es el proceso de
  obtener conclusiones a partir de suposiciones o
  hechos, en el que las conclusiones se siguen
  necesariamente de las suposiciones o hechos.
• Esto es sumamente importante en el razonamiento,
  ya que las demostraciones son argumentos o
  sucesiones de argumentos, y estos deben ser
  argumentos válidos. Resulta pues obvia la
  importancia de saber si un argumento dado es
  válido o no lo es.

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QUE ES UN ARGUMENTO?

• Un argumento es un conjunto finito ordenado de
  afirmaciones de las cuales se dice que la última
  (llamada conclusión), se sigue de las anteriores,
  (llamadas premisas).
• EJEMPLO
• Juan vendrá, si hay buen día.
• No hay buen día.
• Por lo tanto, Juan no vendrá
• Un argumento es lógicamente válido o
  lógicamente inválido

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QUE ES UN ARGUMENTO VÁLIDO?

• Un argumento es lógicamente válido
• si y sólo si sucede que
• Sin importar cuál es la interpretación,
• Si todas las premisas son verdaderas, la
  conclusión necesariamente debe ser verdadera.
• Dicho de otra manera, es lógicamente válido, si
  no hay interpretación alguna para la cual las
  premisas sean todas verdaderas y la conclusión
  sea falsa.

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• Hay ejemplos de los cuatro tipos de argumentos
• 1. Válidos con conclusión verdadera
• 2. Válidos con conclusión falsa
• 3. Inválidos con conclusión verdadera
• 4. Inválidos con conclusión falsa.
• (Aquí verdadera o falsa, es respecto a la
  interpretación natural)

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ALGUNAS PRECISIONES

• Obsérvese que en un argumento válido, si las
  premisas son todas verdaderas, la conclusión será
  necesariamente verdadera. Por lo tanto, en un
  argumento válido, si la conclusión es falsa,
  entonces al menos una de las premisas debe ser
  falsa. No importa cuál es la
  interpretación!
• Si el argumento es inválido, lo único que
  podemos decir es que hay una interpretación para
  la cual las premisas son verdaderas y la
  conclusión es falsa, pero con otras
  interpretaciones puede suceder cualquiera otra
  cosa.

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Ejemplos de lo anterior, con la interpretación
natural de la aritmética, son los siguientes

• A) ARGUMENTO VÁLIDO CON C)
  ARGUMENTO INVÁLIDO CON CONCLUSIÓN VERDADERA
  CONCLUSIÓN VERDADERA
• Todo múltiplo de 6 es
  Todo número con exactamente
• múltiplo de 3.
  dos divisores es primo.
• 12 es múltiplo de 6.
  4 no tiene exactamente dos
• ? 12 es múltiplo de 3.
  divisores. (Tiene tres 1,2,4)
• 
  ? 4 no es primo.
• B) ARGUMENTO VÁLIDO
  D) ARGUMETO INVÁLIDO
• CON CONCLUSIÓN FALSA
  CON CONCLUSIÓN FALSA
• Todo múltiplo de 4 es par. Todo
  múltiplo de 6 es par.
• 5 es múltiplo de 4.
  8 no es múltiplo de 6.
• ? 5 es par.
  ? 8 no es par.

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Ejemplos de lo anterior, con una interpretación
natural, son los siguientes

• A) ARGUMENTO VÁLIDO CON C) ARGUMENTO INVÁLIDO
  CONCONCLUSIÓN VERDADERA CON CONCLUSIÓN
  VERDADERA
• Todo hombre es mortal. Todo pingüino es
  ave.
• Sócrates es hombre. Mi perro no es
  pingüino.
• ?Sócrates es mortal
  ? Mi perro no es ave.
• B) ARGUMENTO VÁLIDO D) ARGUMETO
  INVÁLIDO
• CON CONCLUSIÓN FALSA CON
  CONCLUSIÓN FALSA
• Toda ave es voladora. Todo pez es
  nadador.
• El avestruz es ave. El delfín no es pez
  (es mamífero).
• ? El avestruz es voladora. ? El delfín no
  es nadador.
• Una última observación si en un argumento, la
  conclusión es falsa con alguna interpretación,
  sólo podemos concluir que
• o bien el argumento es inválido, o
  bien alguna de las premisas es falsa.

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Ejemplos de lo anterior, con una interpretación
natural, son los siguientes Para mostrar que C)
es inválido, basta con cambiar ave por
animal.

• A) ARGUMENTO VÁLIDO CON C) ARGUMENTO INVÁLIDO
  CONCONCLUSIÓN VERDADERA CON CONCLUSIÓN
  VERDADERA
• Todo hombre es mortal. Todo pingüino es
  ave.
• Sócrates es hombre. Mi perro no es
  pingüino.
• ?Sócrates es mortal
  ? Mi perro no es ave.
• B) ARGUMENTO VÁLIDO D) ARGUMETO
  INVÁLIDO
• CON CONCLUSIÓN FALSA CON
  CONCLUSIÓN FALSA
• Toda ave es voladora. Todo pez es
  nadador.
• El avestruz es ave. El delfín no es pez
  (es mamífero).
• ? El avestruz es voladora. ? El delfín no
  es nadador.
• Una última observación si en un argumento, la
  conclusión es falsa con alguna interpretación,
  sólo podemos concluir que
• o bien el argumento es inválido, o
  bien alguna de las premisas es falsa.

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• Debe ser claro que los dos ejemplos de argumentos
  inválidos C) y D) tienen la misma forma y que el
  hecho de que la conclusión pueda ser verdadera
  (con la interpretación usual) es una
  contingencia es decir, se debe a la casualidad,
  si únicamente consideramos las premisas dadas.
• Debe ser claro también que en el ejemplo B) de
  argumento válido con conclusión falsa, por el
  hecho de ser un argumento válido, necesariamente
  alguna de las premisas debe de ser falsa con la
  interpretación usual.

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• Ahora bien, cómo podemos demostrar que un
  argumento inválido es efectivamente inválido?.
• La manera de hacerlo es dando una interpretación
  conveniente al lenguaje involucrado, de modo que
  resulte (respecto a esa interpretación) que las
  premisas sean todas verdaderas y la conclusión
  sea falsa. Esto ocurre en el argumento D) con la
  interpretación usual tal como está.

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Y cómo demostramos la validez de un argumento?

• La manera semántica directa de demostrar que un
  argumento es válido consiste en suponer
  verdaderas a todas las premisas (con respecto a
  una interpretación abstracta), sin tomar en
  cuenta ninguna interpretación en particular, y a
  partir de eso, usando únicamente los criterios de
  verdad, hacer ver que la conclusión es
  necesariamente verdadera.
• En algunos casos la manera semántica directa, no
  es posible, por lo que hay que hacerlo de modo
  indirecto, por reducción al absurdo, es decir
  suponiendo que hubiera una interpretación
  respecto a la cual todas las premisas fueran
  verdaderas y la conclusión fuera falsa. A partir
  de ahí, llegar a una contradicción.

20
Escribir el número y su respuesta

• 1. Considere el siguiente argumento
• Todos los borogroves son kismis, si algo tirila.
• Nito tirila y Pac es un borogrove.
• Por lo tanto, Pac es un kismi.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

21
Escribir el número y su respuesta

• 2. Considere el siguiente argumento
• Todos le tienen miedo a Drácula.
• Drácula sólo le tiene miedo a William.
• Por lo tanto, William es Drácula.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

22
Escribir el número y su respuesta

• 3. Considere el siguiente argumento
• Si hoy es jueves entonces mañana será viernes.
• Mañana será viernes.
• Por lo tanto, hoy es jueves.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

23
Escribir el número y su respuesta

• 4. Considere el siguiente argumento
• Juan es hermano de todos los hermanos de Roberto.
• Juan no es hermano de sí mismo.
• Por lo tanto, Juan no es hermano de Roberto.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

24
Escribir el número y su respuesta

• 5. Considere el siguiente argumento
• X es un número menor que todos los números
  menores que Y.
• X no es menor que X.
• Por lo tanto, X no es menor que Y.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

25
Escribir el número y su respuesta

• 6. Considere el siguiente argumento
• Algunos humanos son mexicanos.
• Algunos mexicanos fuman.
• Por lo tanto, Algunos humanos fuman.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

26
Escribir el número y su respuesta

• 7. Considere el siguiente argumento
• Hay una lanza que perfora a todos los escudos.
• Hay un escudo al que no lo perfora ninguna lanza.
• Por lo tanto, Hay una lanza que perfora y no
  perfora a un escudo.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

27
Escribir el número y su respuesta

• 8. Considere el siguiente argumento
• 2 divide al numerador de 6/8.
• 6/8 3/4.
• Por lo tanto, 2 divide al numerador de 3/4.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

28
Escribir el número y su respuesta

• 9. Considere el siguiente argumento
• Romeo ama a Julieta
• Julieta es una palabra de siete letras
• Por lo tanto, Romeo ama a una palabra de siete
  letras.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

29
Escribir el número y su respuesta

• 10. Considere el siguiente argumento
• Cualquier barbero de Ensenada, rasura a todos los
  hombres de Ensenada que no se rasuran a sí
  mismos, y sólo a esos.
• Por lo tanto, no hay barberos en Ensenada.
• a) El argumento es lógicamente válido
• b) El argumento es lógicamente inválido

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Respuestas Correctas

• 1. a)
• 2. a)
• 3. b)
• 4. a)
• 5. a)
• 6. b)
• 7. a)
• 8. a)
• 9. a)
• 10. a)

31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
33
VALIDEZ E INVALIDEZ DE ARGUMENTOS diga de cada
afirmación si es verdadera o falsa

• a) Si un argumento es válido, su conclusión es
  verdadera.
• b) Si la conclusión de un argumento es verdadera,
  el argumento es válido.
• c) Si un argumento es inválido, todas sus
  premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.
• d) Si un argumento es inválido, al menos una de
  sus premisas es verdadera y la conclusión es
  falsa.
• e) Si un argumento tiene todas sus premisas
  verdaderas y la conclusión falsa, el argumento es
  inválido.

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• f) Si un argumento válido tiene alguna premisa
  falsa, tiene también la conclusión falsa.
• g) Si un argumento válido tiene la conclusión
  falsa, tiene todas las premisas falsas.
• h) Si un argumento válido tiene la conclusión
  falsa, tiene al menos una premisa falsa.
• i) Si un argumento válido tiene todas sus
  premisas verdaderas, tiene la conclusión
  verdadera.
• j) Si un argumento tiene todas sus premisas
  verdaderas y la conclusión verdadera, es válido.

35
Respuestas Correctas

• Sólo son verdaderas
• e), h), i).

36
BIBLIOGRAFÍA

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  en La razón comunicada II, TDL, Univ. Xalapa,
  AML, Ed. Torres Asociados, 2003.
• Amor J. A., Paradojas, intuición y lógica,
  revista Ciencias no.29, Facultad de Ciencias,
  UNAM, 1993.
• Easley, J. A. Lógica y heurística en la reforma
  curricular de las matemáticas, Matemáticas y
  Enseñanza, Nos. 7 y 8, SMM, 1976.
• Solow, D. Cómo entender y hacer demostraciones en
  matemáticas, Limusa, 1987.
• Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas,
  Editorial Trillas, 1965.
• Smullyan Raymond, Cómo se llama este libro?,
  Editorial Cátedra colec. Teorema, 1978.
• Tarski Alfred, Truth and proof, Scientific
  American, junio 1969.
• Torres Torija, Planteo y resolución de
  problemas, Editorial Trillas, 1976.

37
(No Transcript)