De p a la tomograf

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De p a la tomografía computada
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p, la longitud de una circunferencia de diámetro 1
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Euclides y p
2cm

• Euclides fue el primero en demostrar que la
  relación entre una circunferencia y su diámetro
  es una cantidad constante.
• Se puede calcular p en cualquier circunferencia,
  dividiendo el perímetro por la longitud del
  diámetro.

3cm
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Cómo calcular p?

• Hay muchas formas de calcular p, algunas de ellas
  son a través de sumas infinitas.

Usando una serie podemos calcular la función
inversa de la tangente
Como tan(p/4) 1, podemos obtener p por la
fórmula
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Cómo calcular p?
En este gráfico vemos la cantidad de dígitos de p
que obtenemos calculando solo los primeros
términos de las series anteriores.
Te invitamos a que elijas uno de los métodos y te
fijes cuántos dígitos correctos pudiste calcular.
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(No Transcript)
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El método Monte Carlo
Elegimos un punto al azar en el cuadrado (podemos
pensar que lanzamos un dardo) y calculamos la
distancia al (0, 0). Si la distancia es menor o
igual a 1, el punto está dentro del círculo (el
dardo dio en el blanco). Si repetimos este
experimento varias veces, podemos estimar p por
la fórmula
En el ejemplo obtenemos
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La aguja de Buffon
Dibujamos en el piso rectas paralelas a distancia
d. Tiramos muchas agujas, de longitud l, y
contamos cuántas agujas tocan a alguna
recta. Podemos estimar p por la fórmula
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Luis A. Santaló1911-2001
Profesor emérito de la UBAPadre de la Geometría
Integral

Cuando se habla de los recursos de un país hay
uno, por lo general escaso, que no es costumbre
mencionar los talentos matemáticos. Es deber de
la escuela descubrirlos y guiarlos es obligación
de la sociedad el ofrecerles oportunidad para su
desarrollo. Desconocer el lenguaje a que aspiran
las ciencias y usan las técnicas es encerrarse en
una manera de analfabetismo. Aquí el precio de
la incuria es la dependencia, la pérdida de la
soberanía. Luis A. Santaló.
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Un teorema de Santaló
La cantidad de figuras que corta una línea
elegida al azar es, en promedio
N cantidad de figurasu perímetro de las
figurasU perímetro del rectángulo que las
contiene

• Este tipo de teoremas formaron la base para la
  geometría integral de Santaló, que permitió el
  desarrollo de dos técnicas de gran importancia
  la estereología y la tomografía computada.

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Estereología

• Conjunto de métodos para la exploración del
  espacio tridimensional a partir del conocimiento
  de secciones bidimensionales o de proyecciones
  sobre el plano.
• Es una rama interdisciplinaria cuyas técnicas son
  útiles en una gran variedad de disciplinas, como
  la biología, la mineralogía y la metalurgia.

Imaginemos una roca con pedazos de minerales en
su interior. El problema consiste en averiguar la
proporción del volumen de los minerales dentro de
la roca, a partir de la proporción de las áreas
en las secciones por planos. Se puede medir la
proporción de las áreas en los planos y, a partir
de allí, mediante geometría integral, deducir la
proporción entre el volumen de los minerales y el
volumen de la roca.
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Tomografía computada
Se lanzan rayos en muchísimas direcciones y se
determina qué objetos intersecaron esos rayos.
Se divide al cuerpo en fetas y usando
geometría integral se reconstruye la imagen.