Optimisation de l

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• Optimisation de lEvolution des Systèmes
• (Décisions dans lincertain)
• Eric Sanlaville
• Professeur université du Havre
• Eric.sanlaville_at_isima.fr
• Wwwmaths.univ-bpclermont.fr/sanlavil

ISIMA 3 F3 et Master 2 SIAD Novembre 2008
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Organisation

• 3 x 4 heures de Cours / TD
• 4 heures de TP
• Plan
• Décisions sous incertitudes
• Programmation stochastique
• Modèles markoviens pour lévolution de systèmes
• Processus de décision markoviens finis et infinis
  
• Evaluation
• compte rendu de TP

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Références

• Hillier Lieberman Introduction to OR
• Martel techniques et applications de la RO
• Heche, Liebling, De Werra (PUR)
• Roseaux Exercices et problèmes résolus de RO, T3
• Allen Statistics and queueing theory
• Bouyssou Roy (multicritères)
• Fuderberg Tirole (game theory)
• Ehrgott Gandibleux (multicritères)
• Kouvelis Yu (robust optimisation)
• White (markov decision processes)

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Partie 1

• Décisions sous incertitudes modèles, méthodes,
  évaluations des décisions

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Prise en compte des incertitudes pourquoi?

• Logistique des trains toujours à lheure
• Production des machines jamais en panne, des
  opérateurs toujours disponibles
• Marketing des clients toujours prévisibles
• Chaîne logistique des fournisseurs toujours
  fiables
• Equipements publics des politiques stables, des
  populations stables

Nos décisions sappliquent-elles à un monde
parfait?
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Importance de la dimension temporelle

• Une décision sapplique
• Immédiatement. Mais il nous manque des données.
• Dans le futur. Nos données resteront-elles
  pertinentes?
• On pilote un système qui évolue
• suite de décisions
• Étalées dans le temps (notion dhorizon de
  décision)

En général la connaissance des données utiles
(les paramètres du système) augmente avec le
temps Mais on ne peut pas toujours reporter la
prise de décision !
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Différents types dincertitudes

• Nos décisions visent au pilotage dun système.
  Elles dépendent des valeurs des paramètres de ce
  système (qui peuvent à leur tour dépendre de ces
  décisions variables!).
• Logistique nombre et type de camions, produits
  à transporter, lieux dapprovisionnement et de
  dépôts,
• Production machines, robots de transport,
  quantités à produire,
• Marketing nombre de clients potentiels, coût
  dune campagne de pub,..

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Différents types dincertitudes (2)

• Incertitudes sur les données discrètes nombre
  de camions disponibles, nombre de machines en
  pannes, nombre de commandes
• Incertitudes sur les données continues durée
  dun trajet, durée dune opération sur un poste
  de travail, quantité à produire,
• Incertitude structurelle certaines données ne
  sont pas disponibles !
• Appel doffre dun concurrent (secret)
• Décisions à un niveau supérieur (secret aussi ?)
• Taille dun marché (étude de marché incomplète)
• Marge derreur dune étude

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Comment juger en présence dincertitudes ?

• Intuition il nous faut être capables de classer
  différentes alternatives (ou décisions, ou
  solutions).
• Problème suivant les conditions réelles,
  lordre relatif des alternatives peut changer!
• Exemple le produit X ne fera des bénéfices que
  si le nombre de clients dépasse un certain seuil,
  qui dépend du prix de vente (la décision à
  prendre) mais ne peut être entièrement déterminé
  à lavance
• La meilleure alternative est donc déterminée a
  postériori? Inacceptable!!

• Il faut être capable de choisir entre deux
  alternatives,
• Même si aucune nest toujours meilleure que
  lautre

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Comment juger en présence dincertitudes (2)

• Hypothèse il existe un critère  objectif 
  permettant de choisir entre deux alternatives A
  et B pour des données fixées D.
• Ce critère peut être absolu ZD(A).
• Exemple bénéfice obtenu si le prix de vente est
  de A, et le nombre de clients est de D.
• Ce critère peut être relatif A ltD B
• exemple un expert décide entre 2 alternatives,
  sans pouvoir quantifier son choix.

Il nous faut donc pouvoir  agréger les
préférences  Etant donné lensemble de tous
les scénarios possibles, quelle
alternative/décision/solution choisir?
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Les différents modèles pour la prise de décision
en présence dincertitudes se distinguent donc
suivant la façon dont ils réalisent cette
agrégation des préférences pour ne retenir quune
alternative AVANT la levée des incertitudes
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Approches

• Modèles Déterministes (analyse de la valeur
  moyenne, échantillonnage)
• Théorie des jeux
• Décisions multi-critères
• Optimisation robuste (min max regret)
• Optimisation robuste (espérance)
• Optimisation stochastique
• Processus de décision markoviens
• Etc, etc,

Et la simulation là dedans?
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Modèle déterministe 1 Analyse de la valeur
moyenne

• Domaine dapplication
• incertitude sur les durées et les quantités.
• Horizon de temps quelconque
• Chaque paramètre variable est remplacé par sa
  valeur moyenne (estimation)
• Recherche dune bonne solution pour ces valeurs
  de paramètres.

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Analyse de la valeur moyenne inconvénients

• La solution nest pas toujours réalisable
• Elle est  bonne  (optimale) sur un domaine
  étroit analyse de sensibilité.
• Elle peut être très mauvaise sur un grand nombre
  de scénarios du problème

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Modèle déterministe 2 échantillonnage et
optimisation

• Domaine dapplication incertitude sur les
  durées et les quantités
• N scénarios sont sélectionnés par échantillonnage
• Une meilleure solution est calculée pour chacune.
  
• Lensemble de ces solutions est considéré celle
  qui est globalement  la meilleure  est choisie.

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Echantillonnage et optimisation inconvénients

• Méthode coûteuse N optimisations
• On a réduit le nombre dinstance et le nombre de
  solutions considérées. Mais le choix de la
  solution finale ? Voir les autres méthodes
• A ton conservé toutes les solutions
  intéressantes?
• La solution retenue estelle toujours réalisable
  ?

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Exemple (Wallace 00) production sans stockage
3 produits A, B, C. production 1
demandes pour A et B a et b inconnues, mais
leur somme vaut 1 C substitution Interdit
produire plus que la demande
a connue après la décision
Solution optimale pour a fixée (a,1-a,0)
Infaisable !
Les solutions optimales ont une structure
indésirable A,B gt0, C 0
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Théorie des Jeux

• Plusieurs acteurs en concurrence (joueurs)
• Chaque joueur a le choix entre plusieurs
  décisions (stratégies)
• Une fois que chaque joueur a choisi sa stratégie,
  le gain de chacun est connu
• Horizon de temps quelconque

Incertitudes ? La stratégie des autres joueurs !
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Théorie des Jeux

• Cadre
• économie
• Tarification telecom, aérien
• Fonctionnement dun marché libre
• Situations de conflit
• Hypothèse comportement rationnel et
  individualiste des joueurs (??)

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Théorie des jeux exemple 1
Chaque joueur tente de maximiser son gain, mais
doit tenir compte de la stratégie de lautre
Joueur 2
3 2 1 stratégies
6 -2 -3 1
2 0 2 2
-4 -2 5 3
Existence dun point déquilibre Aucun joueur
na intérêt à changer de stratégie
Joueur 1
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Théorie des jeux exemple 2
Chaque joueur tente de maximiser son gain, mais
doit tenir compte de la stratégie de lautre
Joueur 2
Léquilibre est instable Alternatives
? Stratégies mixtes probabilistes
3 2 1 stratégies
2 -2 0 1
-3 4 5 2
-4 3 2 3
Joueur 1
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Théorie des Jeux, extensions

• Plus de 2 joueurs
• Jeux simples, jeux répétés
• Objectif recherche des équilibres
• Résolution programmation linéaire,
  programmation mathématique,

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Décisions multicritères approche qualitative
N critères, P alternatives Chaque critère
(votant) trie lensemble des alternatives (fixées)
Exemple 100 votants, 5 alternatives
A B C D E
A 54 48 75 89
B 46 58 72 59
C 52 42 47 63
D 25 28 53 57
E 11 41 37 43
CONDORCET A gt B gt C gtA
Méthode Electre Prudence !!

Seuil à 55 restent A et B
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Décisions multicritères approche quantitative

• N critères (N petit). Un grand nombre de
  solutions.
• Conserver les solutions non dominées
• X solution de Pareto (min) pour tout Y,
• Yi lt Xi implique il existe j, Yj gt Xi

C1
-

-
-
-
-
X


-
-
-


C2
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Décisions multicritères approche quantitative
(2)

• Problème les optima de Pareto peuvent être
  nombreux (courbe de Pareto)
• Trouver un optimum de Pareto peut être bien plus
  dur que optimiser un seul critère!

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Optimisation robuste 1 min max regret

• Constat on ne peut pas trouver une solution
  optimale pour tous les scénarios.
• Hypothèse Ce qui compte, cest lécart à la
  meilleure solution pour chaque scénario.
• le regret ce que lon aurait dû faire si on
  avait su!
• La meilleure solution celle pour laquelle le
  plus grand regret est minimum

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Optimisation robuste 1 min max regret

• Trouver X / maxs ( fs (X) fs ) est minimum

fs (X) valeur de la solution X pour le scénario
s fs valeur optimale pour le scénario s
Cest une approche pire cas Résoudre le
problème doptimisation est en général Très
difficile.
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Exemple (Mahjoub 04)

• Ligne de production (petite série, flow shop).
• Une des machines (la dernière) est en panne.
• ( Il en manque une partie, qui arrivera le
  lendemain )
• 7 pièces doivent passer par la ligne, il faut
  déterminer tout de suite leur ordre de passage
  pour quelles soient disponibles à larrivée de
  la machine ordre figé.
• A chaque pièce est associée une durée dexécution
  sur la machine en panne, et une date de livraison
  impérative
• Le service commercial souhaite minimiser le
  nombre de retards de livraisons (une pénalité est
  prévue)

PB la date darrivée de la partie manquante
nest pas connue
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Exemple (indisponibilité,suite)
1/ / SUj Ordonnancement sur une machine,
minimiser le nombre de pièces en retard.
Indisponibilité possible de la machine au
démarrage
Cas de deux scénarios. La pièce est livrée par
camion soit à 8h, soit à11 h ( indispo sur
0,3)
7 6 5 4 3 2 1 j
1 1 1 3 1 1 1 pj
9 9 9 6 3 3 3 dj
Ordre initial 1 2 3 4 5 6 7

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Exemple (indisponibilité,suite)

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Optimisation robuste 2

• Objectif minimiser le critère f sur lensemble
  des scénarios
• Hypothèses
• On a une modélisation du problème déterministe
  initial (PL, PLNE, quadratique)
• On fait bouger une contrainte ou plusieurs
• La fonction objectif ne change pas
• On transforme le problème en un nouveau problème
  doptimisation (en général plus complexe). La
  solution cherchée est réalisable pour tous les
  scénarios retenus.

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Optimisation robuste 2 exemples Programmation
linéaire

• Exemple 1 les coefts de la contrainte varient
  sur un intervalle ai-a,aia
• Exemple 2 lensemble de la contrainte devient
  une ellipsoïde
• Dans le 2ème cas, on est ramené à un programme
  quadratique particulier, polynômial!
• Remarque ces modèles reviennent souvent à
  éliminer les scénarios extrèmes, très improbables

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Exemple dapplication incertitudes sur la
qualité des matières premières
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Approches stochasssstiques

• Jusquici aucune hypothèse probabiliste
  explicite sur les données incertaines
• Quel est lapport des modèles stochastiques?

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Modélisation stochastique

• Chaque donnée incertaine est modélisée par une
  variable aléatoire.
• Lobjectif devient lui-même une variable
  aléatoire.
• On cherche à minimiser son espérance, plus
  rarement minimiser la probabilité quil dépasse
  un certain seuil résultat très utile, mais
  difficile à obtenir !!

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Exemple indisponibilité de la machine revisité

• On suppose maintenant que la durée
  dindisponibilité de la machine est une variable
  aléatoire discrète. Elle est de 3 heures avec
  proba p, et de zero sinon.

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Exemple indisponibilité de la machine exercice

• Quelle est alors lespérance du nombre de retards
  pour chacune des 3 solutions suivant p ?
• Tracez les courbes associées
• Concluez
• Vous êtes le chef datelier. Que faites vous?

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39
Programmation stochastique

• Hypothèses lincertitude influence la valeur
  des solutions plus que leur structure. Chaque
  scénario induit donc une fonction différente à
  optimiser. Il est possible dassocier une
  probabilité à chaque scénario.
• méthode considérer lespérance de la valeur des
  solutions comme une fonction unique, pour se
  ramener à un seul problème doptimisation

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Programmation stochastique exemple classique du
vendeur de journaux

• Un vendeur de journaux achète un journal au prix
  unitaire a. Il le vend au prix p. Il peut ramener
  les invendus, dans ce cas il obtient r lt a par
  journal.
• La demande est modélisée par une variable
  aléatoire d.

Quelle quantité de journaux doit-il acheter ??
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Processus de décision markoviens

• On travaille sur un horizon de temps long.
• Les décisions influent sur lévolution du système
  considéré. Cette évolution est probabiliste.
• Le coût total dépend des décisions et des états
  successifs
• Hypothèse markovienne évolution sans mémoire du
  système
• Objectif minimiser lespérance du coût total
  sur N périodes (ou le coût par période en horizon
  infini)

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Processus de décision markoviens

• Marketing
• Systèmes de production
• Gestion de stocks
• Tout système qui se laisse conduire

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La Simulation

• Simulation monte carlo tirage aléatoire répété
  pour obtenir un échantillon dune variable
  aléatoire.
• Exemple échantillonner une donnée incertaine
• Simulation de lévolution dun système
• Simu à événements discrèts un tirage aléatoire
  permet de calculer la date dun événement.
• Exemple système de production, fin dune
  opération.
• Cas particulier simulation dun réseau de files
  dattente quand les méthodes analytiques sont
  inapplicables

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Simulation versus Optimisation ?

• La simulation un outil pour analyser le
  comportement dun système complexe
• Pour nous permet dévaluer la performance dune
  solution dun problème de décision
• Ne permet pas de calculer une  bonne  solution
  !!

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Couplage Simulation/Optimisation !!

• Quand calculer la valeur dune solution est trop
  coûteux par une méthode analytique, la
  simulation permet dévaluer cette valeur
• En répétant une simulation, on évalue la
  performance moyenne dune solution S, et on
  approche E(f(S))
• Exemple système de production, modèle RFA
• Utilisation on peut incorporer la simulation
  dans les méthodes classiques doptimisation
  heuristiques de voisinage, algos évolutionnaires,
  Branch and Bound,

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Conclusions

• Prise en compte des incertitudes de nombreux
  modèles.
• Ils ne sappliquent pas aux mêmes problèmes, ils
  nont pas les même outils pour le choix.
• Seul le contexte permet de choisir.
• En dernier ressort, ces outils restent des AIDES
  à la DECISION