CHAPITRE 3 OPTIMISATION

1
CHAPITRE 3OPTIMISATION

• Concepts de base recherche opérationnelle
• Programmation linéaire
• Programmation en nombre entier
• Logiciel LINDO

2
CONCEPTS DE BASE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• Définitions
• Origines
• Applications
• Méthodes
• Modèles

3
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• DÉFINITIONS
• Application de méthodes, techniques, instruments
  scientifiques pour modéliser et résoudre les
  problèmes dans tous les domaines
• Application de la méthode scientifique pour
  modeler et résoudre les problèmes dans tous les
  domaines
• Art de donner des mauvaises réponses à des
  problèmes auxquels autrement de pires réponses
  seraient données

4
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• ORIGINES
• Développement durant la seconde guerre mondiale
• applications aux opérations militaires
• répartition des troupes, du matériel, des
  ressources
• approvisionnement en vivres, en pièces, en
  armement
• Scientifiques et ingénieurs applications civiles
• programmation linéaire (1ère publication en 1939)
• développement du simplexe par G. Dantzig (1947)
• développement des techniques classiques en
  programmation linéaire, non-linéaire, dynamique,
  théorie des files dattente, etc.
• ralentissement des recherches généré par le
  manque doutils de calcul

5
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• APPLICATIONS
• Applications aux problèmes réels de grande
  envergure
• arrivée des processeurs rapides
• développement des bases de données
• techniques d optimisation appliquées à de
  nombreux domaines
• Domaines dutilisation
• militaire
• transport
• aéroport
• route, trajet, livraison
• horaire
• contrôle des réseaux
• infrastructures, distribution
• etc.

6
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• 2 importants centres de recherche à Montréal
• CRT Centre de Recherche sur les Transports
• GÉRAD Groupe dÉtude et de Recherche en Analyse
  des Décisions

7
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• CONCEPT DE SYSTÈME
• Système
• Agrégat ou assemblage dobjets joints par des
  interactions ou interdépendances régulières
• Activité
• Processus qui crée un changement de létat du
  système
• Entité
• Objet dintérêt dans un système
• Attribut
• Propriétés relatives à une entité

8
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• EXEMPLE DE SYSTÈME
• SYSTÈME ACTIVITÉ ENTITÉ ATTRIBUT
• circulation mouvements véhicules vitesse
• trajets routes distances
• banque dépôts clients état de crédit
• communications transmission message priorité

9
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• MÉTHODES
• Techniques mathématiques
• Techniques statistiques
• Modèles de gestion des stocks
• Modèles daffectation
• Modèles de programmation dynamique
• Modèles de files dattente
• Modèles séquentiels
• Modèles de remplacement
• Modèles de compétition
• Techniques de simulation
• Méthodes heuristiques

10
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• MODÈLE
• Moyen pour mieux comprendre la réalité utilisée
  pour représenter les propriétés fondamentales
  dun certain phénomène
• Problèmes de gestion souvent complexes
• Nécessité fréquente dignorer certains paramètres
  pour tirer une version idéale, épurée cest un
  modèle

11
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• CLASSIFICATION DES MODÈLES
• Modèles physiques
• Modèles iconiques
• Pour visualiser une solution pratique
• Modèles réduits, maquettes
• Modèles analogiques
• Phénomène quon étudie pour représenter un autre
• Analogie électrique en hydraulique
• Modèles symboliques
• Modèles mathématiques
• Déterministiques
• Probabilistes ou stochastiques
• Modèles verbaux

12
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• Modèles mathématiques
• Modèles déterministiques
• Incertitude négligeable
• Résultats du phénomène prévu avec certitude
• Modèles probabilistes ou stochastiques
• Incertitude considérée comme facteur important du
  phénomène ou système analysé
• Classe de modèles déterministiques
• Modèles de programmation linéaire
• Équations ou inéquations du premier degré
  représentant les contraintes du problème
• Fonction économique qui traduit lobjectif de
  lentreprise

13
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• Méthode scientifique
• Expériences vécues
• Critères qui permettent de juger si le problème
  est résolu
• Principaux aspects de la réalité
• Paramètres du modèle
• Méthodes appropriées
• Conclusions obtenues versus opinions des
  personnes
• Implantation de la décision

14
RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

• Formulation du modèle mathématique
• Définir le problème
• Quelle est la nature exacte du problème?
• Quel est lobjectif recherché?
• Quelles sont les conditions dopération?
• Quels sont les paramètres à considérer? Quelle
  influence?
• Quel est le degré de précision requis?

15
PROGRAMME LINÉAIRE

• PL
• problème doptimisation consistant à
• maximiser (ou minimiser) une fonction objectif
  linéaire
• de n variables de décision
• soumises à un ensemble de contraintes exprimées
  sous forme déquations ou dinéquations linéaires
• La terminologie est due à George B. Dantzig,
  inventeur de lalgorithme du simplexe (1947)

16
PROGRAMMATION LINÉAIRE

• Hypothèses
• La linéarité des contraintes et de la fonction
  objectif
• La proportionnalité des gains/coûts et des
  consommation de ressources
• La divisibilité des variables
• Le déterminisme des données
• Lors de la modélisation d'un problème réel,
  l'impact de ces hypothèses sur la validité du
  modèle mathématique doit être étudié
• Cette analyse peut mener à choisir un modèle
  différent (non linéaire, stochastique, ...) et
  est essentielle pour la phase d'interprétation
  des résultats fournis par le modèle

17
MISE EN FORME MATHÉMATIQUE

• Définir les variables de décision
• ensemble des variables qui régissent la situation
  à modéliser
• variables réelles, entières, binaires
• Préciser la fonction objectif
• fonction mathématique composée des variables de
  décision qui représente le modèle physique
  modélisé
• fonction linéaire, non-linéaire
• Préciser les contraintes du problème
• ensemble des paramètres qui limitent le modèle
  réalisable
• équations ou inéquations composées des variables
  de décision
• Préciser les paramètres du modèle
• constantes associées aux contraintes et à la
  fonction objective

18
PROGRAMMATION LINÉAIRE

• Validation du modèle et des résultats
• Sassurer
• que le modèle développé est conforme à la réalité
• que les résultats sont valides dans toutes les
  conditions
• Conception du système dapplication
• Possibilité dutiliser des logiciels spécialisés
• Implantation

19
FORMULATION MATHÉMATIQUE DUN PROGRAMME LINÉAIRE

• FONCTION OBJECTIF
• Maximiser ou minimiser
• z c1x1 c2x2 c3x3 cnxn
• Contraintes
• a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn (?, , ?) b1
• a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn (?, , ?) b2
• am1x1 am2x2 am3x3 amnxn (?, , ?) bm
• Contraintes de non-négativité
• xj ? 0 j 1, 2, 3, n
• avec
• xj variables de décision (inconnues)
• aij, bi, cj paramètres du programme linéaire

20
TERMINOLOGIE DU MODÈLE

• Activités
• Ensemble des actes et opérations à effectuer
• j 1,n activités
• Ressources
• Moyens disponibles pour effectuer les activités
• bi, i 1,m ressources
• Quantité requise de ressource
• Quantité unitaire de ressources consommées pour
  chaque activité aij
• Niveau activation
• Quantité de ressources affectée à une activité
• xj niveau dactivation de lactivité j
• Coût ou profit
• Mesure de performance de lallocation des
  ressources aux activités cj

21
TERMINOLOGIE DE LA SOLUTION

• Solution réalisable
• Solution où toutes les contraintes du modèle sont
  satisfaites
• Zone de solution
• Ensemble de toutes les solutions réalisables
• Solution optimale
• Solution réalisable où la fonction objectif
  atteint la meilleure valeur, maximum ou minimum
• Plusieurs solutions optimales possibles

22
EXEMPLE PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES

• Vous disposez de
• 8 kg de pommes
• 2,5 kg de pâte
• 6 plaques
• pour confectionner des chaussons et des tartes
• Pour faire un chausson, il vous faut
• 150 g de pommes
• et 75 g de pâte
• Chaque chausson est vendu 3
• Pour faire une tarte, il vous faut
• 1 kg de pommes
• 200 g de pâte
• et 1 plaque
• Chaque tarte est divisée en 6 parts vendues
  chacune 2
• Que faut-il cuisiner pour maximiser le chiffre
  d'affaires de la vente ?

23
PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES

• Définissons 2 variables de décision
• x1 le nombre de chaussons confectionnés
• x2 le nombre de tartes confectionnées
• Le chiffre daffaires associé à une production
  (x1 x2) est
• z 3x1 (6 x 2)x2 3x1 12x2
• Il ne faut pas utiliser plus de ressources que
  disponibles
• 150x1 1000x2 ? 8000 (pommes)
• 75x1 200x2 ? 2500 (pâte)
• x2 ? 6 (plaques)
• On ne peut pas cuisiner des quantités négatives
• x1 et x2 ? 0

24
MODÈLE PROBLÈMED'ALLOCATION DE RESSOURCES

• Pour maximiser le chiffre daffaires de la vente,
  il faut déterminer les nombres x1 et x2 de
  chaussons et de tartes a cuisiner, solution du
  problème
• Max z 3x1 12x2
• Sujet à
• 150x1 1000x2 ? 8000
• 75x1 200x2 ? 2500
• x2 ? 6
• x1 x2 ? 0
• En fait, il faudrait également imposer à x1 et x2
  de ne prendre que des valeurs entières

25
EXEMPLE PROBLÈME DE RECOUVREMENT

• DONNÉES Les demandes journalières en chauffeurs
  dans une entreprise de transport
• Lu Ma Me Je Ve Sa Di
• 13 18 21 16 12 25 9
• Les chauffeurs travaillent 5 jours d'affilée (et
  peuvent donc avoir leurs 2 jours adjacents de
  congé n'importe quand dans la semaine)
• OBJECTIFS Déterminer les effectifs formant les
  7 équipes possibles de chauffeurs de manière à
• couvrir tous les besoins
• engager un nombre minimum de chauffeurs

26
PROBLÈME DE RECOUVREMENTMODÉLISATION

• Variables de décision On associe une variable
  de décision à chacune des 7 équipes possibles
• x1 nombre de chauffeurs dans léquipe du lundi
  (repos le samedi et le dimanche),
• x2 nombre de chauffeurs dans léquipe du mardi,
  ...
• x7 nombre de chauffeurs dans léquipe du
  dimanche.
• Fonction objectif On veut minimiser le nombre
  total de chauffeurs engagés
• z x1 x7

27
PROBLÈME DE RECOUVREMENTCONTRAINTES

• Contraintes Le nombre de chauffeurs présents
  chaque jour doit être suffisant
• x1 x4 x5 x6 x7 ? 13 (lundi)
• x1 x2 x5 x6 x7 ? 18 (mardi)
• x3 x4 x5 x6 x7 ? 9
  (dimanche)
• Contraintes de bornes Le nombre de chauffeurs
  dans chaque équipe doit non seulement être non
  négatif mais également entier
• xi ? 0 et entier i 1 7

28
PROBLÈME DE RECOUVREMENT FORMULATION

• Min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
• Sujet à
• x1 x4 x5 x6 x7 ? 13
• x1 x2 x5 x6 x7 ? 18
• x1 x2 x3 x6 x7 ? 21
• x1 x2 x3 x4 x7 ? 16
• x1 x2 x3 x4 x5 ?
  12
• x2 x3 x4 x5 x6 ? 25
• x3 x4 x5 x6 x7 ? 9
• x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ? 0 entiers
• Ce problème n'est pas un PL mais un programme
  linéaire en nombres entiers (PLNE)

29
MODÉLISATION

• Exemple production de portes et fenêtres
• 3 usines
• 1 cadres d aluminium
• 2 cadres de bois
• 3 vitres et assemblages des produits
• 2 produits
• A portes vitrées avec cadrage d aluminium
• B fenêtres avec cadrage en bois
• demande illimitée pour les produits
• profits par lot A 3000 B 5000
• temps de production pour chaque lot produit par
  heure
• 1 A 1 B 0
• 2 A 0 B 2
• 3 A 3 B 2
• temps de production disponible par semaine
• 1 4 2 12 3 18

30
FORMULATION DU PROBLÈME

• PRODUCTION DE PORTES ET FENÊTRES
• Temps de production
• Usine 1 2 Temps disponible par semaine
• 1 1 0 4
• 2 0 2 12
• 3 3 2 18
• Profit 3000 5000

31
FORMULATION DU PROBLÈME

• Objectif
• Maximiser les profits
• Variables de décision
• x1 quantité du produit A fabriquée
• x2 quantité du produit B fabriquée
• Fonction objectif
• MAXIMISER z 3x1 5x2
• Contraintes
• usine 1 1x1 0x2 ? 4
• usine 2 0x1 2x2 ? 12
• usine 3 3x1 2x2 ? 18
• Contraintes de non-négativité
• x1 ? 0
• x2 ? 0

32
PROGRAMMATION LINÉAIRE

• Résolution selon les techniques appropriées
• Exemple
• MAXIMISER z 3x1 5x2
• SUJET À
• x1 ? 4
• 2x2 ? 12
• 3x1 2x2 ? 18
• x1 ? 0 x2 ? 0
• Solutions optimales
• programmation linéaire simplexe
• programmation en nombre entier branch-and-bound
• programmation dynamique
• Solutions sous-optimales heuristiques

33
ZONE DE SOLUTION RÉALISABLE

• Zone limitée par lensemble des équations de
  contraintes du problème et par les limites des
  variables de décision

x2
8
6
4
2
x1
0
2
4
6
8
10
34
FONCTION OBJECTIVE

• Déplacement de la fonction objective à
  lintérieur de la zone de solution réalisable
  pour atteindre un extremum

x2
8
Solution x1 2 x2 6 z 36
(2,6)
6
4
2
x1
0
2
4
6
8
10
35
PROGRAMMATION LINÉAIRE

• PHASES DUNE ÉTUDE DE R.O.
• Formulation du problème
• Construction du modèle mathématique
• Identification des variables associées au
  problème
• Formulation des contraintes qui délimitent les
  valeurs que peuvent prendre les variables
• Formulation de la mesure defficacité associée
  aux variables (fonction linéaire dite fonction
  objectif)
• Obtention dune solution optimale à partir du
  modèle
• Vérification du modèle et de la solution
• Établissement de contrôles sur la solution
• Mise en œuvre de la solution

36
RÉSULTAT DUNEOPTIMISATION LINÉAIRE

• Le domaine admissible dun PL peut être
• vide dans un tel cas, le problème est sans
  solution admissible (pas de solution optimale)
• borné (et non vide) le problème possède
  toujours au moins une solution optimale
• non borné dans ce cas, selon la fonction
  objectif
• le problème peut posséder des solutions optimales
• il peut exister des solutions admissibles de
  valeur arbitrairement grande (ou petite)
• dans un tel cas, le PL n'admet pas de solution
  optimale finie et est dit non borné

37
FORMULATION DU PROBLÈME

• PROGRAMMATION LINÉAIRE
• Ressources par activité
• Activités
• Ressources 1 2 n Ressource disponible
• 1 a11 a12 a1n b1
• 2 a21 a22 a2n b2
• . .
• m am1 am2 amn bm
• Contribution c1 c2 cn

38
PROBLÈME DE MAXIMISATION

• Maximiser
• Z x1 2x2
• Sujet à
• 2x1 x2 ? 4
• x1 x2 ? 8
• -x1 x2 ? 4
• x1 ? 5
• x1 ? 0, x2 ? 0

39
PROBLÈME DE MAXIMISATION
x2
X1 2 X2 6 Z 14
-x1 x2 4
8
6
x1 5
4
x1 x2 8
2
2x1 x2 4
x1
0
2
4
6
8
10
40
PROBLÈME DE MINIMISATION

• Minimiser
• Z x1 - x2
• Sujet à
• ½x1 x2 ? 8
• -x1 8x2 ? 40
• x1 ? 8
• x2 ? 8
• x1 ? 0, x2 ? 0

41
PROBLÈME DE MINIMISATION
X1 8 X2 6 Z 2
x2
x2 8
8
6
-x1 8x2 40
4
x1 8
2
½x1 x2 8
0
2
4
6
8
10
x1
12
14
16
18
20
42
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• INTRODUCTION
• développée initialement par George Dantzig en
  1947
• seule méthode exacte pour solutionner des
  problèmes linéaires de grande taille
• méthode itérative algébrique où lon circule
  séquentiellement sur les sommets à lintérieur de
  la zone de solution jusquà lobtention de la
  solution optimale

43
PROPRIÉTÉS DU SIMPLEXE

• Zone de solution du problème linéaire toujours
  convexe
• une surface est convexe si elle est située toute
  entière du même coté d un plan tangent
• Sil existe une seule solution optimale au
  problème linéaire, elle est obligatoirement
  localisée sur un sommet de la zone de solution
• Sil existe de multiples solutions optimales, au
  moins deux dentre elles doivent être localisées
  sur des sommets adjacents
• Le nombre de sommets de la zone de solution est
  fini
• Si la solution réalisable localisée à un sommet
  donné na pas de voisin adjacent dont la solution
  est supérieure, ce sommet est la solution optimale

44
ALGORITHME DU SIMPLEXE

1. Déterminer une solution de base réalisable
2. Vérifier si la solution actuelle est optimale
3. Déterminer la variable hors base qui va devenir
   variable de base
4. Déterminer la variable de base qui sortira de la
   solution
5. Effectuer les opérations linéaires (pivots) selon
   la technique de Gauss-Jordan

45
ALGORITHME DU SIMPLEXE
46
MÉTHODE DU SIMPLEXE DÉFINITIONS

• Systèmes déquations équivalents
• Systèmes qui possèdent le même ensemble de
  solutions
• Variable de base
• Variable qui a un coefficient unitaire positif
  dans une des équations du système et un
  coefficient nul partout ailleurs
• Opérations pivot
• Opération de Gauss-Jordan pour transformer un
  système déquations équivalent dans lequel une
  variable devient de base
• Système canonique
• Système déquations où il y a une variable de
  base par équation
• Solution de base
• Système déquations où les variables hors base
  sont fixées à zéro résolu pour les variables de
  base

47
FORME CANONIQUE

• PROBLÈME DE MAXIMISATION
• PROBLÈME DE MINIMISATION

48
FORME NORMALISÉE

• PROBLÈME DE MAXIMISATION
• PROBLÈME DE MINIMISATION

49
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• FORME CANONIQUE
• Max Z 3 x1 5 x2
• sujet à
• x1 ? 4
• 2 x2 ? 12
• 3 x1 2 x2 ?18
• et
• x1 ? 0, x2 ? 0

50
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• FORME NORMALISÉE
• Max Z
• Z - 3 x1 - 5 x2 0 (0)
• x1 x3 4 (1)
• 2 x2 x4 12 (2)
• 3 x1 2 x2 x5 18 (3)
• avec
• xj ? 0, pour j 1, 2, 3, 4, 5

51
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• ÉTAPE DINITIALISATION
• Déterminer une solution de base réalisable
• Porter les variables hors base à zéro
• Solutionner les variables de base
• Exemple
• z, x3, x4 et x5 sont les variables de base
• x1 et x2 sont les variables hors base
• On obtient
• x1 0 et x2 0
• x3 4, x4 12 et x5 18
• z 0

52
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• VARIABLE ENTRANT DANS LA BASE
• Variable hors base entrant dans la base
• Celle qui sera choisie fera augmenter la valeur
  de la fonction objective le plus rapidement
  possible
• Variable ayant le plus grand coefficient négatif
  (cas de maximisation)de léquation (0)
• Exemple
• X2 devient variable de base

53
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• VARIABLE SORTANT DE LA BASE
• Variable qui limitera le plus rapidement la
  progression de la nouvelle variable de base
• Exemple
• si x2 entre dans la base
• équation (2)
• 2 x2 x4 12
• x2 max 6
• équation (3)
• 3 x1 2 x2 x5 18
• x2 max 9
• limite maximale de x2 égale 6 sinon x4 devient
  négatif

54
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• OPÉRATIONS PIVOT
• Système déquations original (variables de base
  en gras)
• Z - 3 x1 - 5 x2 0 (0)
• x1 x3 4 (1)
• 2 x2 x4 12 (2)
• 3 x1 2 x2 x5 18 (3)
• Pour revenir à la forme canonique, il faut que
  les variables de base aient un coefficient
  unitaire dans une équation et nul dans les autres
• Équation (2) multipliée par ½
• 2 x2/2 x4/2 12 /2 (2)
• x2 ½ x4 6 (2)
• Il faut éliminer les termes x2 des autres
  équations

55
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• OPÉRATIONS PIVOT (suite)
• Équation (0) ancienne (0) 5 équation (2)
• Z - 3 x1 - 5 x2 0 (0)
• 5 x2 5/2 x4 30 (2)
• Z - 3 x1 5/2 x4 30 (0)
• Équation (3) ancienne (3) 2 équation (2)
• 3 x1 2 x2 x5 18 (3)
• - 2 x2 - x4 -12 (2)
• 3 x1 - x4 x5 6 (3)

56
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• OPÉRATIONS PIVOT (suite)
• Nouveau système équivalent déquations
• Z - 3 x1 - 5/2 x4 30 (0)
• x1 x3 4 (1)
• x2 ½ x4 6 (2)
• 3 x1 - x4 x5 6 (3)

57
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• CRITÈRE DOPTIMALITÉ
• Optimalité assurée lorsquil est impossible de
  faire augmenter (cas de maximisation) la valeur
  de z
• Exemple
• x1 peut faire augmenter z
• Variable entrante x1
• Variable sortante x5
• équation (1)
• x1 x3 4
• x1 max 4
• équation (3)
• 3 x1 x4 x5 6
• x1 max 2

58
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• SOLUTION OPTIMALE
• Système équivalent déquations
• Z 3/2 x4 x5 36 (0)
• x3 1/3 x4 - 1/3 x5 2 (1)
• x2 ½ x4 6 (2)
• x1 - 1/3 x4 1/3 x5 2 (3)
• Variables hors base
• x4 0, x5 0
• Variables de base
• x1 2, x2 6, x3 2
• Fonction objective
• z 36

59
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE

• Méthode essentiellement identique
• Informations
• Coefficients des variables
• Constantes des équations
• Variables de base de chaque équation

60
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE

• Initialisation
• Critère doptimalité
• Coefficients de léquation (0) non négatifs ?
• Itération 1
• Variable entrante x2
• Entourer la colonne pivot
• Variable sortante x4
• Entourer la ligne pivot
• Point pivot à lintersection
• Transformation de Gauss-Jordan

61
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE

• Itération 1 (suite)
• Diviser la ligne pivot par le nombre pivot

62
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE

• Itération 1 (suite)
• Appliquer les transformations
• Nouvelle solution
• z 30
• Solution (0, 6, 4, 0, 6)

63
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE

• Itération 2
• Solution
• (2, 6, 2, 0, 0)
• z 36

64
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE

• Ensemble complet

65
SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE

• Forme canonique

66
SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE

• Forme normalisée

67
SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE

• Problème

68
SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE

• Itération 0
• X2 entre
• X4 sort

69
SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE

• Itération 1
• X1 entre
• X5 sort

70
SIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLE

• Itération 2

71
RÉSOLUTION AVECMICROSOFT EXCEL
72
RÉSOLUTION AVEC LINDO
73
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• SITUATIONS PARTICULIÈRES
• Égalité des profits relatifs
• Choix aléatoire de la variable
• Égalité des ratios
• Choix aléatoire
• Situation de dégénérescence remonter à létape
  des ratios identiques
• Solution non bornée
• En pratique, une contrainte est absente
• Solutions multiples
• Variables hors base avec des coefficients nuls
  dans la fonction objective

74
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• VARIABLES ARTIFICIELLES
• Cas ?
• ai1 x1 ai2 x2 ai3 x3 ain xn ? bi
• Ajout dune variable décart
• ai1 x1 ai2 x2 ai3 x3 ain xn xm bi
• Coefficient de la variable décart négatif ne
  peut servir comme variable de base
• Ajout dune variable artificielle
• ai1 x1 ai2 x2 ai3 x3 ain xn xm xa
  bi

75
MÉTHODE DU SIMPLEXE

• VARIABLES ARTIFICIELLES
• Cas
• Lajout dune variable artificielle permet
  linsertion dune variable de base dans la
  solution de départ
• Les variables artificielles sont éliminées de la
  solution en leur assignant une pénalité
  importante dans la fonction objective
• RÉSOLUTION
• Méthode du grand M
• Méthode des deux phases

76
DUALITÉ

• PROBLÈME PRIMAL PROBLÈME DUAL

77
EXEMPLE DE DUALITÉ

• Le problème dual du programme
• Max z x1 4x2
• Sujet à
• x1 x2 ? 2
• 2x1 x2 ? 5
• x2 ? 3
• x1, x2 ? 0
• est Min w 2y1 5y2 3y3
• Sujet à
• y1 2y2 ? 1
• -y1 y2 y3 ? 4
• y1, y2 , y3 ? 0

78
DUALITÉ
79
EXERCICE

• Utiliser la méthode du simplexe
• Max Z 4 x1 3 x2 6 x3
• Sujet à
• 3 x1 x2 3 x3 ? 30
• 2 x1 2 x2 3 x3 ? 40
• et
• x1 ? 0, x2 ? 0, x3 ? 0

80
PROBLÈME DE TRANSPORT

• EXEMPLE
• Une municipalité possède 3 serres pour fournir 4
  parcs
• Capacité de production des serres C1, C2 et C3
• Demande hebdomadaire D1, D2 et D3
• Coût unitaire de transport Cij

81
PROBLÈME DE TRANSPORT

• FORMULATION DU PROBLÈME

82
EXERCICE

• 3 serres
• S1 3
• S2 7
• S3 5
• 4 parcs
• P1 4
• P2 3
• P3 4
• P4 4
• Coûts dexpédition

83
EXERCICE

• 4 usines et 3 centres de distribution

Distribution Usines M1 M2 M3 Disponibilité
W1 4 3 7 140
W2 5 2 10 100
W3 13 8 17 60
W4 9 3 11 40
Demande 120 20 200
84
PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER

• Max Z 10 x1 50 x2
• Sujet à
• -x1 2 x2 ? 5
• x1 2 x2 ? 14
• x1 ? 8
• et
• x1 ? 0, x2 ? 0
• x1, x2 entiers

85
PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER
86
PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER
87
PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER

• Méthode de séparation et dévaluation progressive
  (Branch-and-Bound Technique)
• Choix de la variable de séparation
• Critère de la variable la plus distante
• Critère du meilleur cj

88
Critère de la variable la plus distante Séparation
selon x1
89
Critère de la variable la plus distante Séparation
à partir de P2
90
Critère de la variable la plus distante Séparation
à partir de P1
91
Critère du meilleur cj
92
PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER
93
(No Transcript)