Alberi Rosso-Neri

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Alberi Rosso-Neri

• Algoritmi e Strutture Dati
• 20 aprile 2001

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Alberi Binari di Ricerca
Gli alberi di ricerca binari consentonolindividu
azione di un elemento al propriointerno in un
tempo mediamente proporzionaleallaltezza
dellalbero considerato
Costruiamo un albero a partire dalla sequenza4,
2, 6, 1, 3, 5, 7
3
Alberi Binari di Ricerca
Inseriamo gli stessi elementi con un diverso
ordine
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
4
Alberi Rosso-Neri

• Gli alberi Rosso-Neri sono alberi binari di
  ricerca estesi
• Ciascun nodo di tali alberi contiene uncampo
  addizionale che riporta il suo colore
• Le operazioni di inserimento e cancellazionevengo
  no opportunamente integrate in modotale da
  rendere lalbero binario bilanciato

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Un esempio di albero Rosso-Nero
6
Caratterizzazione
La caratterizzazione degli alberi
Rosso-Neriavviene attraverso la formulazione
diquattro proprietà vincolanti
7
Proprietà n. 1
Ogni nodo dellalbero è rosso o nero
8
Proprietà n. 2
Ogni foglia dellalbero (NIL) è nera
NIL
NIL
9
Proprietà n.3
Se un nodo è rosso entrambi i suoi figli sono neri
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Proprietà n.4
Dato un nodo, tutti i percorsi discendenti
che raggiungono una foglia contengono lo
stesso numero di nodi neri
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Proprietà

1. Ogni nodo è rosso o nero
2. Ogni foglia (NIL) è nera
3. Se un nodo è rosso entrambi i suoi figli sono
   neri
4. Dato un nodo, tutti i percorsi discendenti che
   raggiungono una foglia contengono lo stesso
   numero di nodi neri

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Osservazione
Proviamo a costruire un albero Rosso-Nero sbilanci
ato
13
Osservazione
1
2
3
4
5
6
NIL
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Altezza-nero

• Definiamo altezza-nero di un nodo
  x(black-height(x)) il numero di nodi neriche si
  incontrano in un qualsiasi camminodiscendente da
  x verso una foglia
• Definiamo laltezza-nero di un alberoRosso-Nero
  come laltezza-nero della suaradice

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Altezza-nero
black-height(32) 2
black-height(42) 2
black-height(T) black-height(65) 3
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Lemma 1
Un albero Rosso-Nero con n nodi interni
ha altezza al più 2lg(n1)
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Lemma 2
Dato un nodo x appartenente ad un
alberoRosso-Nero, il sottoalbero ivi radicato
contiene almeno 2bh(x)-1 nodi interni
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Dimostrazione Lemma 2
Dimostriamo il Lemma 2 per induzione sullaltezza
del nodo x. Se laltezza di x è 0, x è una
foglia questo implica che Il sottoalbero
radicato in x ha 0 20-1 nodi interni
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Dimostrazione Lemma 2
Consideriamo un nodo x che ha altezza gt 0, esso
avrà quindi due figli
Ciascuno dei due figli di x avrà altezza bh(x)
oppure bh(x)-1.
6
8
2
20
Dimostrazione Lemma 2
Per lipotesi induttiva, poiché laltezza dei
figli di x è inferiore allaltezza di x possiamo
affermare che ciascun figlio ha almeno 2bh(x)-1-1
nodi interni Quindi, il sottoalbero radicato in
x ha almeno (2bh(x)-1-1) (2bh(x)-1-1) 1 nodi
interni (2bh(x)-1-1) (2bh(x)-1-1) 1
2bh(x)-1 2bh(x)-1 1
22bh(x)-1 1 2bh(x)
1
21
Dimostrazione Lemma 1
Un albero Rosso-Nero con n nodi interni
ha altezza al più 2lg(n1)
Dim. Sia h laltezza dellalbero considerato. La
proprietà 3 degli alberi Rosso-Neri impone che
almeno la metà dei nodi che separano la radice
dalle foglie siano neri. Questo implica che
laltezza-nero dellalbero è perlomeno h/2.
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Dimostrazione Lemma 1
Dallapplicazione del Lemma 2 possiamo affermare
che il numero di nodi interni n è maggiore o
uguale di 2h/2 1
n 2h/2 1 n 1 2h/2 log(n1) h/2 h
2lg(n1)
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Alberi Rosso-Neri
Il mantenimento delle proprietà
caratterizzanti gli alberi Rosso-Neri deve essere
garantito in corrispondenza delle comuni
operazioni chevanno a modificare la struttura
dellalbero stesso Le operazioni di inserimento
e cancellazionegià viste per gli alberi binari
di ricerca vengonomantenute ed integrate con una
successiva operazione di ribilanciamento
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Rotazioni
Ai fini dellimplementazione delle proceduredi
ribilanciamento si rivela utile
lintroduzione delle operazioni di left-rotation
(rotazione sinistra) e right-rotation (rotazione
destra)
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Rotazione sinistra
26
Left-Rotate
Left-Rotate(T,x) Y?rightx rightx? lefty If
lefty ? NIL then plefty ? x py?px If
px NIL then rootT ? y else if x
leftpx then leftpx ? y else rightpx
? y lefty ? x px ? y
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Inserimento

• Lalgoritmo di inserimento di un nodo x in
  unalbero Rosso-Nero
• Inserisce il nuovo nodo nellalbero secondoil
  tradizionale algoritmo di inserimento per
  alberibinari di ricerca
• Verifica se lalbero risultante viola le
  proprietàdegli alberi Rosso-Neri
• In caso di violazione, si risale lalbero sino
  allaradice operando opportunamente rotazioni
  ecambiamenti di colore

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Inserimento
Lalgoritmo di inserimento che presenteremodistin
gue tre possibili casi di intervento
perripristinare le proprietà degli alberi
Rosso-Neripiù altri tre simmetrici
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RB-Insert(T,x)
RB-Insert(T,x) Tree-Insert(T,x) colorx?
RED While x ? rootT and colorpx RED do
if px leftppx then y ?
rightppx if colory RED then
colorpx BLACK colory
BLACK colorppx RED x ?ppx
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RB-Insert(T,x)
. else if x rightpx then x ?
px Left-Rotate(T,x) colorpx
BLACK colorppx RED
Right-Rotate(T,ppx) else . ColorrootT
? BLACK
31
Un esempio 1/3
Inseriamo nellalbero corrente lelemento x 24
26
NIL
NIL
NIL
NIL
NIL
32
Un esempio 2/3
Ci troviamo nel terzo caso della proceduradi
ribilanciamento
ppx
px
26
NIL
NIL
NIL
x
NIL
24
NIL
NIL
33
Un esempio 3/3
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Cancellazione

• Lalgoritmo di cancellazione di un nodo x da
  unalbero Rosso-Nero opera secondo la
  stessafilosofia dellalgoritmo di inserimento
• Cancella il nodo dallalbero secondo
  iltradizionale algoritmo di cancellazione
  peralberi binari di ricerca
• Verifica se lalbero risultante viola le
  proprietàdegli alberi Rosso-Neri
• In caso di violazione, si risale lalbero sino
  allaradice operando opportunamente rotazioni
  ecambiamenti di colore

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Cancellazione

• Lalgoritmo di cancellazione prevede
  quattropossibili casi di intervento più altri
  quattrosimmetrici
• La complessità di tale algoritmo è di ordineO(h)

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Un esempio
65
26
73
42
NIL
NIL
24
x
32
51
NIL
NIL
NIL
NIL
NIL
NIL