Curso de Java

1
Búsqueda heurística
2
Búsqueda mejor el primero

• Las estrategias de búsqueda sin información
  suelen ser muy ineficientes.
• Búsqueda mejor el primero
• Función de evaluación (eval-fn)
• Mide lo deseable de expandir un nodo
• Algoritmo
• function BEST-FIRST-SEARCH(problem,
  eval-fn)
• returns a solution sequence
• inputs problem, a problem
• eval-fn, an evaluation
  function
• queueing-fn lt-- a function that
  orders by
• increasing
  eval-fn
• return
• GENERAL-SEARCH(problem, queueing-fn)

3
Búsqueda avara, I

• Es una búsqueda mejor el primero con
  eval-fn(nodo)h(nodo).
• Función heurística (h)
• Origen exclamación de Arquímedes, heureka,
  tras el descubrimiento de su principio
• Algoritmo
• function GREEDY-SEARCH(problem)
• returns a solution or failure
• return BEST-FIRST-SEARCH(problem, h)
• h(nodo)coste estimado del camino más corto desde
  un nodo hasta el objetivo.
• Todas las funciones heurísticas deben cumplir al
  menos
• h(n)gt0, para todo nodo n
• h(n)0, si n es un nodo objetivo

4
Búsqueda avara, II

• Ejemplo Mapa de carreteras
• Viajar desde Arad hasta Bucarest
• Solución obtenida por búsqueda avara
• Nodos expandidos Encuentra el camino
• Arad, Sibiu, Fagaras, Bucharest,
• No es óptima Es más corto
• Arad, Sibiu, Rimnicu, Pitesti, Bucharest
• La búsqueda avara suele encontrar soluciones
  rápidamente
• No suelen ser óptimas
• No siempre se encuentran (ciclos)
• Ej. de situación anómala Ir de Iasi a Fagaras.
  Si no eliminamos repeticiones se entra en un
  ciclo.

5
Búsqueda avara, IV

• En resumen
• No es óptimo ni completo.
• En el peor caso
• Complejidad temporal
• Complejidad espacial
• Se almacenan todos los nodos en memoria
• mmáxima profundidad del árbol de búsqueda

6
Algoritmo A, I

• Algoritmo A, combinación de
• Búsqueda avara
• Reduce coste de búsqueda, pero no es óptima ni
  completa.
• Búsqueda de coste uniforme
• Es completa y óptima pero ineficiente.
• Se define la función f(n)
• f(n)g(n)h(n)
• f(n)coste estimado de la solución de menor coste
  que pasa por n
• Algoritmo
• function A-SEARCH (problem)
• returns a solution or failure
• return BEST-FIRST-SEARCH(problem, gh)

7
Algoritmo A, II

• Heurística admisible
• Una función heurística h es admisible si
• en donde h(n)mínima distancia desde n
• hasta el objetivo
• Ejemplo
• En el mapa de carreteras, h es admisible.
• Solución obtenida por A
• Orden de expansión A, S, R, P, F, B
• Encuentra la solución A, S, R, P, B
• Aplicación algoritmo (ver siguiente página)
• Es la mejor solución.
• Se va a tener el resultado
• Si h es admisible, A es completo y óptimo.

8
Algoritmo A, III
1
f0366366
f140253393
f75374449
2
f118329447
f220193413
f291380671
5
3
f239178417
f300253553
4
f366160526
f591
f450
f31798415
6
f418
f607
f615
9
Algoritmo A, IV

• Una heurística es monótona cuando
• Si h es monótona h admisible.
• Dems
• Sea n un nodo, y sea un camino desde n
  hasta el objetivo
• donde y es un nodo
  objetivo.
• Por tanto

10
Algoritmo A, V

• h admisible monótona
• Dems Contraejemplo
• Si h es una heurística
• h monótona f creciente
• En el problema del mapa, h es monótona (d es la
  distancia en línea recta C es el coste del
  arco)
• y f es creciente (ver gráfico del ejemplo)

C(n,m)
h(m)
h(n)
11
Propiedades de A, I

• A es óptimo y completo si h es admisible
• Grafos localmente finitos
• con factores de ramificación finitos
• donde para todo operador
• Demostración (intuitiva)
• Para el caso más sencillo de heurísticas
  monótonas
• En el ejemplo del mapa de carreteras se tienen
  conjuntos de nivel
• En la búsqueda uniforme se tienen bandas
  circulares, mientras que si la heurística es más
  exacta (h --gt h), las bandas se dirigen más
  directamente al objetivo.

12
Propiedades de A, II

• A es óptimo
• Hipótesis
• (1) h es admisible
• (2) G es óptimo con coste de camino f
• (3) G es objetivo subóptimo
• Dems
• Sea n un estado en el camino óptimo a G y
  supongamos que el algoritmo selecciona para
  expandir G en lugar de G, entonces por (1) y (2)
• Y si se ha escogido G para expandir
• Por tanto
• Es decir
• que es una contradicción con (3). cqd.

13
Propiedades de A, III

• A es completo
• Hipótesis
• (1) heurísticas monótonas,
• (2) factor de ramificación b,
• (3) coste de operadores,
• Dems En algún momento se llegará a que fcoste
  de algún estado objetivo, salvo que existan
  infinitos nodos con f(n)ltf, lo cual sucedería
  si
• Un nodo tuviera (!)
• Hubiera un camino de coste finito pero con
  infinitos nodos. Esto significaría que, por (1) y
  (3)
• Por tanto, el algoritmo debe acabar.Y si acaba,
  es que encuentra una solución. cqd.

14
Propiedades de A, IV

• Si h es monótona, y A ha expandido un nodo n,
  entonces g(n)g(n)
• Es consecuencia directa de que
• Un subgrafo de una heurística monótona da lugar a
  una heurística monótona (que es, por tanto,
  admisible), considerando la nueva heurística
  hh-g(n)
• h admisible --gt A completo y óptimo
• A es óptimamente eficiente
• Ningún otro algoritmo óptimo expandirá menos
  nodos que A
• Si un algoritmo no expande todos los nodos entre
  el origen y el contorno óptimo, corre el riesgo
  de perder la solución óptima.
• Dems ver Dechter Pearl (1985)
• La búsqueda de coste uniforme es un caso
  particular de A (h0)

15
Propiedades de A, V

• Complejidad (espacial y temporal)
• Se puede demostrar que la complejidad del
  algoritmo sigue siendo exponencial si no ocurre
  que
• En casi todas las heurísticas, el error es al
  menos proporcional a h y, por tanto, normalmente
  se tiene complejidad exponencial.
• De todos modos, el uso de heurísticas produce
  enormes mejoras con respecto a la búsqueda no
  informada.
• La complejidad espacial suele ser un mayor
  problema que la temporal.

profundidad de la mejor solución
16
Un ejemplo de A, I
h6
4
1
2
h5
h2
h5
4
5
1
4
2
h4
1
h5
h2
3
2
1
h1
3
h4
h1
5
6
6
h0
h0
17
Un ejemplo de A, II
18
Un ejemplo de A, III

• Si hubiéramos considerado eliminación de estados
  repetidos, entonces
• Habríamos eliminado (B--gtE), (E--gtH) y (G-gtK)
• Al ser h monótona
• A obtiene la mejor solución
• Al eliminar estados repetidos, ya que
• Si h es monótona, entonces si un nodo ha sido
  expandido --gt g(n)g(n)
• entonces, bastaría con
• 1) Si está repetido en los nodos ya expandidos,
  eliminar directamente el nodo nuevo
• 2) Si está repetido en las hojas, quedarse con
  el mejor entre el nodo viejo y el nuevo

19
Un ejemplo de A, IV

• Si eliminamos estados repetidos, en el caso de
  una h admisible pero no monótona, podemos
  eliminar un nodo peor ya expandido

h1
1
3
h1
h4
1
3
f1
h0
f5
f4
Se eliminaría
f3
f6
f5
20
Problema del 8-puzle

• En el problema del 8-puzle
• Una solución típica tiene unos 20 pasos
• Factor de ramificación (b)
• Por tanto
• Si se lleva la cuenta de estados repetidos, el
  número de estados es 9!362.880
• Funciones heurísticas
• h1número de fichas mal colocadas
• h2suma de distancias de Manhattan de las
• fichas a sus posiciones objetivo
• Son heurísticas monótonas

21
Exactitud de heurísticas, I

• Factor efectivo de ramificación (b)
• Nnúmero de nodos expandidos por A (incluido el
  nodo de la mejor solución)
• dprofundidad de la solución obtenida por A
• bfactor de ramificación de un árbol de
  profundidad d y N nodos.
• Resolución no algebraica, sino con métodos de
  cálculo numérico.
• Ejemplo d5, N52 ---gt b1.91
• Normalmente, para una heurística h, bconstante
  en varias instancias del problema.

22
Exactitud de heurísticas, II

• Si h--gth, entonces b--gt1.
• Si h--gt0 (búsqueda de coste uniforme), entonces
  b--gt b (b cantidad operadores)
• Ejemplo (heurísticas h1 y h2 en el problema del
  8-puzle)
• Si una heurística h2 domina a otra h1 (h2gth1
  suponemos h1 y h2 monótonas), entonces h1 expande
  al menos los mismos nodos que h2.
• Idea intuitiva
• Si f(n)ltf, entonces n se expande. Pero esto es
  equivalente a h(n)ltf-g(n). Por tanto, si ese
  nodo es expandido por h2, también lo es por h1

23
Creación de funciones heurísticas

• Método de relajación
• Problema inicial
• Si A es adyacente a B y B es blanco, entonces
  mueve ficha desde A hasta B
• Relajando las condiciones, se obtienen nuevos
  problemas
• 1) Si A es adyacente a B, entonces mueve ficha
  desde A hasta B
• 2) Si B es blanco, entonces mueve ficha desde A
  hasta B
• 3) mueve ficha desde A hasta B
• Entonces
• h para el problema 2) heurística h1
• h para el problema 1) heurística h2
• Otro método
• h1, h2, ...hn admisibles --gt maxh1, h2, ...hn
  también es admisible

24
Algoritmo IDA, I

• Iterative-Deepening A-search (h monótona).
• Algoritmo
• snodo inicial
• Se definen
• y para kgt1
• El algoritmo realiza búsqueda en profundidad para
  los valores L0,1,2,... en los conjuntos

25
Algoritmo IDA, II

• Un ejemplo sencillo (h0)

1
1
3
3
2
2
2
4
4
1
3
3
Se producen 4 iteraciones flt0, flt1, flt3, flt4
26
Algoritmo IDA, III, a
f6
f6
f7
f6
f6
f9
f7
f11
f10
f11
f10
Ejemplo de aplicación de IDA, iteración flt6
27
Algoritmo IDA, III, b
f6
f6
f7
f6
f7
f9
f10
f11
f7
f6
f11
f10
f10
f9
Ejemplo de aplicación de A, iteración flt7
Faltarían otras dos iteraciones flt9, flt10
28
Algoritmo IDA, IV

• IDA es completo y óptimo, pero al ser iterativo
  en profundidad, necesita menos memoria.
  Complejidad espacial
• Complejidad temporal
• En problemas como el mapa de carreteras, cada
  iteración puede añadir sólo un nodo nuevo. Por
  tanto, si A expande N nodos, IDA necesitará N
  iteraciones y expandirá 12...N
  
• Una solución a este problema podría ser
  discretizar los posibles valores de
  (múltiplos de ). Se tendrían heurísticas
  -admisibles. En tal caso, el número de
• iteraciones sería

profundidad de la mejor solución
29
Algoritmos de mejora iterativa, I

• Ejemplo de las N damas
• Partiendo de N damas en el tablero, moverlas
  hasta encontrar una solución.
• Uso de funciones de evaluación (una heurística h
  es un ejemplo).
• Búsqueda de máximos-mínimos.
• Búsqueda con escalada
• Si se puede elegir más de un sucesor que mejore
  el inicial (con el mismo valor de la función de
  evaluación), se elige al azar.
• Inconvenientes
• Máximos locales
• Zonas llanas
• Crestas

30
Algoritmos de mejora iterativa, II

• Enfriamiento simulado
• Simulated annealing
• Annealing Proceso de enfriar lentamente un
  líquido hasta que se congela.
• Si la temperatura se reduce suficientemente
  lentamente en un líquido, el material obtendrá su
  estado de más baja energía (ordenación
  perfecta).
• Algoritmo
• En problemas de satisfacción de restricciones
  como el de las N-damas
• Resolución de problema de 1.000.000 de damas en
  menos de 50 pasos.
• Minimización de conflictos (en una columna al
  azar mover una dama a la casilla que cree menos
  conflictos)
• Aplicados también a programación de observaciones
  en el telescopio Hubble.