Perch

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Perché Achille la Tartaruga la raggiunge, eccome!

• Fabio Bagagiolo
• Università di Trento
• Dipartimento di Matematica

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Il paradosso di Zenone

• Un giorno Achille sfida la Tartaruga in una gara
  di velocità. Le dà un vantaggio iniziale e le
  dice vediamo se riesci a non farti
  raggiungere!
• Con un balzo Achille raggiunge il punto in cui la
  Tartaruga si trova inizialmente.
• Ma questa nel frattempo si è spostata un po più
  avanti.
• Con un altro balzo Achille raggiunge questo nuovo
  punto in cui si trova la Tartaruga. Ma, ancora,
  questa si è nel frattempo spostata un po più
  avanti.
• Achille fa un ulteriore balzo, ma ancora la
  Tartaruga è andata un pochino più avanti.
• La gara prosegue quindi in questo modo Achille
  raggiunge il punto in cui si trova la Tartaruga
  quando lui inizia il balzo in avanti, ma nel
  frattempo la Tartaruga si è spostata un po più
  in là.
• Achille quindi non raggiungerà mai la Tartaruga.

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Istante iniziale
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Dopo un tempo t1
5
Dopo un tempo t1t2
6
Dopo un tempo t1t2t3
7
Dopo un tempo t1t2t3t4
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Dopo un tempo t1t2t3t4t5
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• Cosa significa affermare che Achille non
  raggiungerà mai la Tartaruga?
• Significa affermare che qualunque sia il tempo
  trascorso dallinizio della gara, Achille starà
  sempre dietro alla Tartaruga.
• Ma dire che Achille sta dietro alla Tartaruga è
  come dire che deve fare ancora qualche balzo in
  avanti per poterla raggiungere.
• Cioè, qualunque sia il tempo trascorso
  dallinizio della gara, Achille ha compiuto un
  numero (eventualmente molto grande) di balzi in
  avanti ancora non sufficiente per raggiungere la
  Tartaruga.

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• Ovvero, qualunque tempo noi decidiamo a priori di
  aspettare, ci sarà un numero di balzi di Achille,
  non sufficiente per raggiungere la tartaruga, e
  il cui tempo necessario per compierli tutti è
  maggiore del tempo da noi deciso di aspettare.
• Cioè, qualunque tempo T decidiamo di aspettare,
  ci sarà una quantità n di tempi (dipendente da T)
  t1,t2,t3,,tn corrispondente ai balzi di Achille,
  tale che t1t2t3tngtT.

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• In definitiva, la somma degli infiniti tempi
• t1t2t3t4t1000t1001t1002
• è grande quanto si vuole, ovvero vale
  infinito.

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• In definitiva, la somma degli infiniti tempi
• t1t2t3t4t1000t1001t1002
• è grande quanto si vuole, ovvero vale
  infinito.

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Il ragionamento di Zenone (vedremo sbagliato)

• Se la somma dei tempi t1t2t3t4 vale
  infinito, allora significa che Achille non
  raggiungerà mai la Tartaruga.
• Quella somma consiste in un numero infinito di
  addendi positivi (tutti i tempi tn) e quindi la
  loro somma deve essere necessariamente infinta.
• Ne segue che, sicuramente, Achille non
  raggiungerà mai la Tartaruga.

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Non facciamo filosofia

• Lintento di Zenone, con questo paradosso, era
  forse quello di provare che se si assume
  linfinita suddivisibilità dello spazio e del
  tempo (come facevano i Pitagorici spazio e tempo
  sono formati da entità ultime infinitesime
  punti e istanti) allora il movimento è
  impossibile.
• In realtà, con altri paradossi, egli provava che
  il movimento è impossibile anche se si assume
  vero il contrario.

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Non facciamo filosofia

• Queste argomentazioni appartengono strettamente
  ad un ambito filosofico, nel quale non vogliamo
  addentrarci.
• Il nostro intento è solamente quello di prendere
  a pretesto il paradosso di Zenone per introdurre
  il concetto matematico di somma di infinti numeri
  e enunciarne alcune proprietà.
• In realtà, non è nemmeno scontato che Zenone non
  sapesse che il suo ragionamento fosse
  matematicamente scorretto. Ma egli era
  orientato verso altri scopi, per cui sembrava non
  curarsene.

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Il concetto di serie numerica

• Sia (an)n una successione di numeri reali
  (positivi, negativi, interi, frazionari
  decimali,), cioè una legge che ad ogni numero
  naturale n (cioè intero non negativo0,1,2,3,4)
  associa un numero reale an.
• Si dice serie associata alla successione (an)n
  lespressione

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Il concetto di serie numerica
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Il concetto di serie numerica
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Il concetto di serie numerica
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Il concetto di serie numerica
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Il concetto di serie numerica
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Il concetto di serie numerica

• Il nostro intento è ora quello di dare un
  significato alla scrittura (somma di infiniti
  addendi, ovvero somma della serie)

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Il concetto di serie numerica

• In particolare vorremmo poter rispondere alle
  seguenti domande
• Quanto vale la somma della serie?
• Come calcolarla?
• Ma, prima di tutto bisogna chiedersi
• Che cosa è la somma della serie?
• Che oggetto matematico è?
• Come posso definirla, in modo adeguato e rigoroso?

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Il concetto di serie numerica

• Soltanto dopo aver definito in modo rigoroso cosa
  intendiamo per somma della serie possiamo
  andare alla caccia di essa (la somma).
• Il compito di un matematico è quindi prima di
  tutto dare un senso e una buona definizione degli
  oggetti che si vanno a considerare.
• Dopo di che, una volta ben definito che cosa si
  sta cercando, si cercherà di ottenere dei
  risultati che garantiscano, sotto opportune
  ipotesi, lesistenza degli oggetti in questione e
  gli eventuali algoritmi per trovarli
  (calcolarli).
• Un passo ulteriore sarà quello di studiare le
  proprietà degli oggetti prima definiti e poi
  verificatane lesistenza.

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Importanza delle serie

• Perché occuparci del concetto di serie, cioè di
  somma di infiniti addendi?
• Se fosse solo per il paradosso di Achille e la
  Tartaruga, sarebbe una motivazione un po debole.
• In realtà, il bisogno di poter sommare un numero
  infinito di addendi è molto frequente nella
  matematica, soprattutto in quella moderna, che
  molto spesso si occupa, appunto, dellinfinito.

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Importanza delle serie

• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

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Importanza delle serie

• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

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Importanza delle serie

• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

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Importanza delle serie

• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

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Importanza delle serie

• Fin dallantichità, i matematici si sono trovati
  a dover fare somme di un numero elevato di
  addendi. Per esempio nel calcolare aree di
  regioni curve, approssimandole con regioni
  delimitate da spezzate con un numero molto alto
  di segmenti.
• Oppure, collegato al precedente, per calcolare
  valori decimali di p, ottenendolo come rapporto
  tra il perimetro di poligoni regolari iscritti in
  una circonferenza con un numero molto elevato di
  lati e il diametro della circonferenza stessa.
• Archimede di Siracusa.

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Importanza delle serie

• Quali sono le funzioni più facili da
  maneggiare valutarle in un punto, disegnarne
  il grafico, derivarle, integrarle?
• I polinomi!
• Se tutte le funzioni fossero polinomi, la vita
  sarebbe più facile.
• Data una funzione qualunque, è possibile
  approssimarla con un polinomio?
• E qual è lerrore che si commette con tale
  approssimazione?

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Serie di potenze
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Approssimazione con serie di potenze

• Sotto opportune ipotesi, ma abbastanza generali,
  una funzione (non polinomio) può essere scritta
  come serie di potenze.

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Approssimazione con serie di potenze

• I primi studi su questo tipo di approssimazione
  sono dovuti a Taylor
• Altri tipi di approssimazioni sono le cosiddette
  serie di Fourier, che sostituisce alle serie di
  potenze le serie trigonometriche, formate da
  seni e coseni.

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Come definire la (eventuale) somma di una serie

• Cosa sappiamo già fare rispetto alloperazione
  somma?
• Sappiamo già fare la somma di un numero finito di
  addendi 135-6710.
• Cosa ci dice di fare una serie?

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Come definire la (eventuale) somma di una serie

• Una serie ci dice
• prendi a0, e questo lo sappiamo fare
• poi ci dice prendi a1 e sommalo ad a0, e anche
  questo lo sappiamo fare a0a1
• poi ancora prendi a2 e sommalo al risultato
  prima ottenuto, e anche questo lo sappiamo
  farea0a1a2
• e ancora prendi a3 e sommalo al risultato prima
  ottenuto, e anche questo lo sappiamo
  farea0a1a2a3
• e così via.
• In definitiva, una serie ci dice di fare la somma
  degli infinti addendi, ma ci dice anche in che
  ordine dobbiamo sommarli!

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Come definire la (eventuale) somma di una serie

• E quindi abbastanza naturale definire le
  cosiddette somme parziali di ordine k.
• Sia k un numero intero non negativo, diciamo
  somma parziale di ordine k della serie, la somma
  dei primi k addendi
• ska0a1a2a3ak

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Esempi di somme parziali
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Definizione di somma

• Diremo che una serie ha per somma il numero reale
  S, se la successione delle somme parziali sk
  tende a S.
• Cioè se, al crescere di k, ovvero al crescere del
  numero di addendi che vado a sommare, le somme
  parziali si avvicinano sempre di più a S.

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Somma finita

• Il numero reale S è la somma della serie se,
  preso un qualunque intervallo centrato in S,
  esiste k tale che per ogni kgtk sk sta
  nellintervallo

S
sk2
sk3
sk1
sk4
sk5
skk
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Somma 8

• Si dice che la somma della serie è 8 se, preso
  un qualunque numero reale M, esiste k tale che
  per ogni kgtk skgtM

M
sk2
sk3
sk1
sk4
sk5
skk
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Somma -8

• Si dice che la somma della serie è -8 se, preso
  un qualunque numero reale M, esiste k tale che
  per ogni kgtk skltM

M
sk2
sk3
sk1
sk4
sk5
skk
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Definizioni

• Se la serie ha per somma un numero reale S, si
  dice che la serie converge ad S, o che la serie è
  convergente.
• Se la serie ha per somma 8, si dice che la serie
  diverge a 8, o che la serie è divergente.
• Se la serie ha per somma -8, si dice che la serie
  diverge a -8, o che la serie è divergente.
• Se la serie non ha somma (né finita né infinita)
  si dice che la serie è oscillante.

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Qual è, se esiste, la somma della seguente serie?
48
Qual è, se esiste, la somma della seguente serie?
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Sapendo che la seguente serie converge,
calcolarne la somma S (serie geometrica di
ragione ½)
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Una condizione necessaria per la convergenza

• Condizione necessaria affinché una serie converga
  è che il suo termine generale (an)n sia
  infinitesimo.
• Cioè che diventi sempre più piccolo, in valore
  assoluto.
• limn?8 an0

ann
0
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Una condizione necessaria

• Se infatti fosse, per esempio, angt1 per ogni n,
  allora si avrebbe immediatamente che la serie
  diverge a 8.
• Questo si avvicina al ragionamento di Zenone
  ogni volta aggiungo una quantità maggiore di uno
  e quindi le somme parziali diventano grandi
  quanto si vuole.
• Attenzione questa e solo una condizione
  necessaria, non anche sufficiente se la serie
  converge, allora necessariamente an è
  infinitesimo, ma può succedere comunque che an
  sia infinitesimo senza che la serie converga.

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Esempi
53
Esempi
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Dovè lerrore?
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Il problema delle serie oscillanti

• In realtà, questo errore, se così si può
  chiamare, fu addirittura fatto anche da Eulero.
• Il fatto è che, con la moderna definizione di
  serie convergente (Cauchy), le serie oscillanti
  non sono più un problema. Nel passato si voleva
  invece dare comunque un senso ad esse, dando
  unopportuna definizione di somma .
• Anche in epoche più recenti, pur sapendo che
  quelle serie non hanno somma, vari matematici
  cercarono di dare comunque a loro un significato.
• Ad esempio Cesaro (1859-1906) diede una
  definizione di convergenza per serie, sostituendo
  il limite delle somme parziali con il limite
  delle loro medie aritmetiche.
• E nel caso della serie di prima, questa
  definizione di somma dà esattamente 1/2

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Proprietà della somma di una serie

• Abbiamo visto che, in un qualche modo, il
  concetto di somma di una serie estende quello di
  somma di un numero finito di addendi.
• Quindi, al matematico, sorge spontanea una
  domanda
• Quali proprietà della usuale somma valgono anche
  per la somma di infiniti addendi, cioè le serie?

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Proprietà della somma di una serie

• Qual è la proprietà più popolare per
  loperazione somma?
• Forse la commutatività.

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Proprietà della somma di una serie

• Domanda vale la proprietà commutativa per le
  serie?
• Cioè, data una serie convergente a una somma S,
  riordinando gli addendi an, si ottiene ancora una
  serie convergente a S?

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Riordinamento di una serie
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La commutatività non vale

• Purtroppo, la proprietà commutativa non vale per
  le serie.
• Essa vale solo per le serie assolutamente
  convergenti.

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Lassoluta convergenza
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Due Teoremi

• Teorema data una serie assolutamente
  convergente, allora ogni suo riordinamento è
  ancora convergente alla medesima somma.
• Teorema (Riemann 1826-1866) data una serie
  convergente ma non assolutamente convergente,
  allora si ha
• per ogni S reale, esiste un riordinamento della
  serie che converge a S,
• esiste un riordinamento della serie che diverge a
  8,
• esiste un riordinamento della serie che diverge a
  -8,
• esiste un riordinamento della serie che oscilla.

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Esempio (serie armonica alternata)

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Torniamo ad Achille ed alla Tartaruga

• Supponiamo che sia Achille che la Tartaruga
  corrano a velocità costante, e che Achille corra
  10 volte più veloce della Tartaruga.
• Sia c la velocità della Tartaruga (ad esempio 2
  km/h).
• Quindi la velocità di Achille e 10c (20 km/h).
• Sia infine d il vantaggio iniziale della
  Tartaruga (ad esempio 0.1 km).

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Torniamo ad Achille ed alla Tartaruga
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Torniamo ad Achille e la Tartaruga
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Torniamo ad Achille e la Tartaruga