Epis

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Episódios da História Antiga da MatemáticaAutor
Asger Aaboé

• Gabriel Moreira
• Tassiana Carvalho
• Thiago Farias

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Estrutura do livro

• Prefácio e Introdução
• A Matemática Babilônia
• A Matemática Grega Antiga e a construção
  Euclidiana para o Pentágono Regular
• Três exemplos de Matemática Arquimediana
• A Construção, por Ptolomeu, de uma tábua de
  Trigonométrica

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• As diferenças entre a matemática antiga e atual
  está principalmente na forma, e não de conteúdo.
• A matemática progride de maneira ordenada,
  lógica, a partir de axiomas explicitamente
  enunciados. (p.5)

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• É muito estimulante descobrir a maneira de
  pensar das grandes mentes do passado distante, e
  nas ciências matemáticas pode-se reconhecer
  quando a ressonância é obtida com um grau muito
  mais alto de certeza do que em qualquer outro
  campo. É um privilégio conduzir outros pelos
  caminhos percorridos pela primeira vez há tanto
  tempo, ou segundo uma bela frase antiga, fazer
  com que os antigos falem novamente, em seus
  túmulos. Não há, contudo, nenhum substituto real
  para a leitura dos próprios matemáticos antigos,
  e se este livreto conseguir induzir alguns de
  seus leitores a fazerem isso, terá desempenhado
  bem sua tarefa. (p. 8)

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A Matemática da Babilônia
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As fontes

• Região da Mesopotâmia
• Escrita cuneiforme

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Tábua de Multiplicação
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• Os babilônios usaram, algumas vezes, um símbolo
  para o zero, mas apenas para representar o espaço
  vazio no interior de um número. Em textos mais
  antigos, deixava-se simplesmente um espaço
  aberto, ou ainda não se fazia nada.

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Tábua de Recíprocos
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Sistema Numérico Posicionais

• Número finito de símbolos ou algarismos
• Atribuímos importância a sua posição
• Exprimimos funções
• Bases do sistema
• Ausência do equivalente da vírgula

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Equações Quadráticas

• Somei a área e dois terços do lado de meu
  quadrado, e o resultado é 035. Tome 1, o
  coeficiente, é 040. Metade disso, 020, você
  multiplicará por 020 e o resultado, que é
  0640 você adicionará a 035, e o resultado,
  041, 40 tem raiz quadrada 050. Multiplique 020
  por ele próprio e subtraia o resultado de 050,
  e 030 é o lado do quadrado

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Diagonal de um Quadrado
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A Área de um Trapézio

• Em Um trapézio 30 é o comprimento, 30 o
  segundo comprimento, 50 a largura superior, 14 a
  largura inferior. 30 vezes 30 é 150. Subtraia 14
  de 50 e o resto é 36. Metade disso é 18. 18 vezes
  18 é 524. Subtraia 524 de 150 e o resultado é
  936. O que deveríamos multiplicar por si próprio
  para que o resultado seja 936? 24 vezes 24 é
  936. 24 é a reta divisora. Adicione 50 e 14, as
  larguras, e o resultado é 14. Metade disso é
  32. Multiplique por 24, a reta divisora, por 32,
  e o resultado é 1248.

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A Matemática Grega Antiga e a Construção de
Euclides para o Pentágono Regular
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Fontes

• Os elementos foram escritos em 300 a.C.
• A matemática grega atingiu seu ápice no período
  Helenístico (após 320 a.C)
• A importância de Os elementos.
• Gregos-manuscritos??? X Babilônios-tabletas
• famílias de arqueótipos
• Habilidades do historiador matemático (língua,
  história da língua e conhecimento específico)
• Em um triângulo isósceles os ângulos da ... são
  iguais
• Ventos ásperos fazem balançar os ... botões das
  flores de maio

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Matemática Grega Antiga

• Tales de Mileto (século VI a.C.) trouxe a
  matemática do Egito.
• Pitágoras de Samos (530 a.C.) inspiração
  babilônica. Aritmética e Álgebra.
• As lúnulas de Hipócrates
• A irracionalidade
• O paradoxo de Zenão sobre Aquiles e a tartaruga
• Teorema fundamental dos triângulos semelhantes.

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Lúnulas de Hipócrates

• Lúnulas de Hipócrates
• Quadratura da lúnula
• Quadratura do triângulo

Se retirarmos as duas áreas A1 ou a área A2
ficamos com o triângulo ABC.
Problemas mostraram que a quadratura de figuras
planas era possível, mesmo não sendo constituído
por segmentos de reta.
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• Descoberta da Irracionalidade
• Babilônios encontraram aproximações sexagesimais
  excelentes para a raiz de 2.
• Os gregos chegaram a um ponto final lógico,
  porém não tinha utilidade prática para a raiz de
  2.

• Investigações Lógicas iniciadas por Parmenides e
  Zenão
• Os paradoxos de Zenão Tartaruga e Aquiles,
  flecha se movimentando.
• assuntos relacionados com limite, continuidade.
• Zenão defendia um sistema filosófico porém foi
  importante para que o matemáticos tomassem
  cuidado ao analisarem problemas.

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Os Elementos de Euclides

• Treze livros incorpora todo o conhecimento
  matemático acumulado em sua época, com exceção de
  as seções cônicas e a geometria esférica
• Livro I Construções Elementares, teoremas de
  congruência, área de polígonos, teorema de
  Pitágoras
• Livro II Álgebra Geométrica
• Livro III Geometria do Círculo
• Livro IV Construção de certos polígonos
  regulares
• Livro V A teoria das proporções de Eudoxo
• Livro VI Figuras semelhantes
• Livro VII IX Teoria de números
• Livro X Classificação de certos irracionais
  (Teateto)
• Livro XI Geometria no espaço, volumes simples
• Livro XII Áreas e volumes achados pelo método
  da exaustão (integração) de Eudoxo
• Livro XIII Construção dos cinco sólidos regulares

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• É naturalmente impossível chegar a um acordo
  sobre o que constitui a beleza e a elegância
  matemática, mas alguns dos ingredientes mais
  comuns são aspectos tais como brevidade, economia
  de meios, lances surpreendentes e dramáticos,
  clareza, novas aplicações de velhas técnicas e
  métodos que se prestam a generalização em outras
  situações. Alguns desses ingredientes por vezes
  se contradizem, tais como a brevidade e a
  economia de meios. Demonstrar um bom teorema com
  as ferramentas mais fracas possíveis é como
  conseguir pescar um grande peixe com uma velha e
  amada linha de seda. Não significa velocidade ou
  brevidade, mas tem encanto inegável. Euclides nem
  sempre se entrega à velocidade, mas se dedica
  particularmente à tarefa de obter o máximo
  possível com o mínimo. (p. 71)

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• Postulados
• É possível traçar uma linha reta de um ponto
  qualquer a outro ponto qualquer.
• É possível prolongar arbitrariamente um segmento
  de reta.
• É possível traçar um círculo com qualquer centro
  e raio.
• Dois ângulos retos quaisquer são iguais entre si.
• Se uma reta, interceptando duas outras retas
  forma ângulos interiores do mesmo lado menores do
  que ângulos retos, então as duas retas, caso
  prolongadas indefinidamente, se encontram do
  mesmo lado em que os ângulos são menores do que
  dois ângulos retos
• Axiomas
• Grandezas iguais a uma mesma grandeza são iguais
  entre si.
• Se as grandezas iguais forem adicionadas
  grandezas iguais, as somas serão iguais.
• Se as grandezas iguais forem subtraídas de
  grandezas iguais, os resultados serão iguais
• Grandezas que coincidem entre si são iguais.
• O todo é maior do que suas partes.

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A construção de Euclides para o Pentágono Regular

• Teorema 1 Paralelogramos com a mesma base, e
  situados entre duas retas paralelas dadas, são
  iguais (em área).
• Teorema 2 Triângulos que têm a mesma base e
  estão entre retas paralelas são iguais.
• Teorema 3 Se um paralelogramo e um triângulo têm
  a mesma base e estão situados entre duas
  paralelas dadas, então o paralelogramo tem duas
  vezes a área do triângulo.
• Teorema 4 Em qualquer paralelogramo, os
  complementos dos paralelogramos construídos sobre
  a diagonal do paralelogramo dado são iguais (em
  área)

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• Teorema 5 Em triângulos retângulos, o quadrado
  construído sobre o lado que subtende o ângulo
  reto (isto é, a hipotenusa é igual à (soma dos)
  quadrados sobre os lados que contém o ângulo
  reto.
• Teorema 6 Se um segmento de reta for cortado ao
  meio, e um segmento lhe for adicionado, em linha
  reta, o retângulo contido pelo todo do segmento
  adicionado e pelo segmento adicionado, juntamente
  com o quadrado sobre a metade, é igual ao
  quadrado sobre o segmento de reta constituído
  pela metade e pelo segmento adicionado.

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• Teorema 7 Dividir um segmento de reta dado de
  maneira que o retângulo determinado pelo todo e
  por uma de suas partes seja o quadrado construído
  sobre a outra parte.
• Teorema 8 Se de um ponto P externo a um círculo
  traçarmos uma reta tangente ao círculo em T, e
  uma reta arbitrária que o intersecta em R e S,
  teremos então sempre que
• PR . PS PT²

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• Teorema 9 Se, de um ponto A exterior a um
  círculo foram traçadas duas retas, uma que
  intersecta o círculo em B e F, e a outra cortando
  em D, e se AB . AF AD², então AD é a tangente
  ao círculo em D.
• Teorema 10 O ângulo a entre uma tangente e uma
  corda de um círculo é igual ao ângulo
  compreendido pelo arco determinado pela corda, do
  lado da corda oposto a a

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• Teorema 11 Construir um triângulo isósceles que
  tenha cada um dos ângulos da base igual a duas
  vezes o terceiro ângulo

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(No Transcript)
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Três exemplos da Matemática Arquimediana
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A vida de Arquimedes

• Prefácio de seus livros fornecem motivações e
  explicações sobre os problemas que ira atacar
  alem de outras informações
• Tratou de assuntos como matemática, astronomia,
  mecânica (polia) e engenharia
• Correu nu
• Foi morto em 12 a.C. durante o saque de Siracusa.

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Os trabalhos de Arquimedes

• Sobre o equilíbrio das figuras planas, I
• A quadratura da parábola
• Sobre o equilíbrio de figuras planas, II
• Sobre a esfera e o cilindro, I e II
• Sobre as espirais
• Sobre os cones e os esferóides
• Sobre as corpos flutuantes I, II
• A medida de um circulo
• O contador dos grão de areia

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Construção de polígonos regulares

• 1 um circulo só pode ser traçado com centro em
  qualquer ponto dado e com raio igual a qualquer
  segmento conhecido
• 2 Dois pontos quaisquer dados pode ser unidos
  por um seguimento de reta
• 3 Um segmento de reta dado pode ser estendido
  arbitrariamente

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A trissecção do ângulo feita por Arquimedes
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A construção, por Arquimedes, do heptágono
regular
AB. AC BD² CD. CB AC²
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O volume e a superfície de uma esfera, segundo o
Método
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A Construção, por Ptolomeu, de uma Tábua
Trigonométrica
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Ptolomeu e o Almagesto

• Viveu e trabalhou em Alexandria em torno de 150
  d.C.
• Realizou estudos em matemática e o seu trabalho
  Almagesto desempenhou um grande papel na
  astronomia
• A coleção matemática e desenvolveu modelos
  astronômicos, fermentas matemáticas e geometria
  elementar
• O Almagestos é um livro técnico e volumoso, com
  descrições quantitativa e matemáticas do
  fenômenos naturais

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A tábua de cordas de Ptolomeu e seus usos
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Corda do arco a

• É o comprimento da corda que corresponde a um
  arco de a graus cujo raio é 60

39
A construção, por Ptolomeu, da tábua de cordas

• Realização de demonstrações da criação da tábua
  de cordas

b
c/2
a
a
2a
c
40
No final do livro

• Apêndice O modelo dos epiciclos de Ptolomeu
• Soluções dos problemas
• Sugestões para leituras posteriores