1
À lorigine de la géométrie hyperbolique

• La construction dun rectangle par Euclide,
  Al-Khayyâm, Saccheri et Lambert
• Les découvertes de Gauss, Bolyaï et Lobatchevski

2

Deux exercices de constructions géométriques
1) Un segment AB étant donné, construire un
triangle équilatéral de côté AB. (Éléments
Livre I, Prop 1). 2) Un segment AB étant donné,
construire un carré de côté AB. (Éléments Livre
I, Prop 46). Question 1 Quels sont les
implicites que vous devez admettre pour
enseigner ces constructions à un élève de
collège ? Question 2 Quelles sont les
définitions que vous devez utiliser ? Question 3
De quelles propriétés (propositions et
théorèmes) vous êtes- vous servi ? Question 4
Quelles sont les propriétés utilisées qui sont
conséquentes ou équivalentes au 5ème Postulat
dEuclide ? Pouvez-vous vous en passer ?

3

Deux exercices de constructions géométriques

Construire signifie 1 - Tracer la figure sur
une feuille de papier avec comme seuls
instruments une règle bien droite (tiens, tiens
?) non graduée et un compas. 2 - Donner
lalgorithme de construction qui vous paraît le
plus simple (la suite des opérations graphiques à
réaliser pour obtenir le résultat
demandé), 3 - Justifier par des arguments
géométriques et logiques que la construction
proposée conduit effectivement au résultat
recherché. Étudier notamment lexistence et
lunicité de ce résultat.
4

Deux exercices de constructions
Réponse dEuclide. PREMIÈRE PROPOSITION Sur
une droite donnée et finie, construire un
triangle équilatéral. EXPOSIT1ON. Soit AB une
droite donnée et finie. DÉTERMINATION. Il faut
construire sur la droite finie AB un triangle
équilatéral. CONSTRUCTION. Du centre A et de
lintervalle AB, décrivons la circonférence B??
(dem. 3) et de plus, du centre B et de
l'intervalle BA, décrivons la circonférence A?E 
et du point ?, où les circonférences se coupent
mutuellement, conduisons aux points A, B les
droites ?A, ?B (dem. 1). DÉMONSTRATION. Car,
puisque le point A est le centre du cercle B??,
la droite A? est égale à la droite AB (déf. 15)
de plus, puisque le point B est le centre du
cercle A?E, la droite B? est égale à la droite BA
mais on a démontré que la droite ?A était égale
à la droite AB donc chacune des droites ?A, ?B
est égale à la droite AB or, les grandeurs qui
sont égales à une même grandeur, sont égales
entre elles (not. 1)  donc la droite ?A est
égale à la droite ?B donc les trois droites ?A,
AB, ?B sont égales entre elles. CONCLUSION. Donc
le triangle AB? (def. 24) est équilatéral, et il
est construit sur la droite donnée et finie AB.
Ce qu'il fallait faire.

5

Deux exercices de constructions
Réponse dEuclide. PROPOSITION 46 Décrire un
carré avec une droite donnée. Soit AB la droite
donnée il faut décrire un carré avec la droite
AB. Du point A, donné dans cette droite,
conduisons A? perpendiculaire à AB (prop. 11)
faisons A? égal à AB (prop. 3) par le point ?
conduisons ?E parallèle à AB (prop. 31) et par
le point B conduisons BE parallèle à A?. La
figure A?EB est un parallélogramme donc AB est
égal à ?E, et A? égal à BE. Mais AB est égal à
A? donc les quatre droites BA, A?, AE, EB sont
égales entre elles donc le parallélogramme A?EB
est équilatéral. Je dis aussi qu'il est
rectangle. Car puisque la droite A? tombe sur les
parallèles AB, ?E, les angles BA?, A?E sont égaux
à deux droits (prop. 29) mais l'angle BA? est
droit donc l'angle A?E est droit aussi. Mais
les côtés et angles opposés des parallélogrammes
sont égaux entre eux (prop. 34) donc chacun des
angles opposés ABE, BE? est droit donc le
parallélogramme A?EB est rectangle. Mais nous
avons démontré qu'il est équilatéral donc le
parallélogramme A?EB est un carré, et il est
décrit avec la droite AB ce qu'il fallait faire.

6
1 - La 5e Demande dans les Éléments dEuclide

• Si une droite, tombant sur deux droites, fait les
  angles intérieurs du même côté plus petits que
  deux droits, ces droites, prolongées à linfini,
  se rencontreront du côté où les angles sont plus
  petits que deux droits.
• (Une droite (finie) chez Euclide est ce que nous
  appelons aujourdhui un segment de droite).

7
1 - La 5e Demande dans les Éléments dEuclide

• Ce que Euclide  demande  dadmettre, est que le
  plan de sa géométrie est essentiellement
  structuré par sa conception du parallélisme.
• Les propriétés des configurations issues de deux
  droites parallèles (deux droites du plan qui ne
  se rencontrent pas) découlent de cette 5e Demande
  qui, selon Aristote, doit être comprise comme un
  des Postulats fondateurs de  la géométrie
  euclidienne .
• Proclus (Ve siècle) démontre léquivalence de la
  formulation de la 5e Demande avec lénoncé
  suivant, dit  de Playfair 
• Par un point extérieur à une droite,
• on peut mener une droite parallèle
• à cette droite, et une seule.
• Euclide démontre lexistence de cette parallèle
  (Livre I, proposition 31) sans utiliser la 5e
  Demande. Cest lunicité qui en fait un Postulat.

A
8
1 - La 5e Demande dans les Éléments

• La structure géniale du Livre I des Éléments
• Dans son Livre I, Euclide a voulu explorer
  dabord toutes les propriétés de base en
  géométrie qui ne supposent pas le 5e Postulat.
  Cest la  géométrie absolue , développée dans
  les propositions 1 à 28.
• Puis, dans une deuxième partie (propositions 29 à
  48, sauf la prop.31), il développe les
  conséquences de sa 5e Demande.
• On a dit que cette organisation du Livre I fait
  dEuclide le premier géomètre non euclidien.
• Ainsi, les 28 premières propositions traitent des
  propriétés des triangles, des droites sécantes,
  des perpendiculaires et des conditions dangles
  pour que deux droites coupées par une sécante
  soient parallèles (27e et 28e )
• Si une droite tombant sur deux droites fait des
  angles alternes égaux entre eux, ces deux
  droites seront parallèles.

9
1 - La 5e Demande dans les Éléments

• La Théorie des parallèles
• Euclide fait de la contraposée logique (A ? B
  équivaut à non B ? non A) de sa 5e Demande, sa
  29e proposition, cest la propriété réciproque de
  la 27e
• Une droite qui tombe sur deux droites parallèles
  fait les angles alternes égaux entre eux
• Puis il en déduit dans les propositions
  suivantes les propriétés de base du parallélisme,
  notamment celles des parallélogrammes (prop. 34
  )
• Les côtés et les angles opposés des
  parallélogrammes (quadrilatères dont les côtés
  opposés sont parallèles) sont égaux entre eux
• Proclus (Ve siècle), le premier commentateur du
  Livre I des Éléments, se demande
•  Comment ce dont la réciproque est consignée
  parmi les théorèmes comme démontrable serait-il
  indémontrable ? 

10
2 - La construction dun carré par Euclide

• Proposition 46 Décrire un carré avec une droite
  donnée.
• Construction

(d) ? (AB) en A (prop. 11). AC AB (demande 3 et
prop. 2). (?) // (AB) en C (prop 31 sans la 5e
demande). (d) // (d) en B (prop 31). (d) coupe
(?) en D. Sinon (d)// (?) et (d) // (d) ? (?)
// (d) ! (prop. 30) (Euclide ne fait pas cette
remarque sur lexistence de D). ABCD est le carré
demandé, car
d
d
?
D
C
A
B
Démonstration ABCD est un parallélogramme
(définition), donc CD AB et BD AC (prop. 34),
mais AC AB ABCD est équilatéral (un losange).
Cest aussi un rectangle BAC ACD 2 droits,
car (?) // (AB) (prop. 29). Donc ACD 1
droit. CDB BAC 1 droit et ABD ACD 1 droit
(parallélogramme, prop 34). ABCD est donc un
carré (def 30 équilatéral et rectangle).
11
3 - La prétention dOmar Al-Khayyâm (1040-1131)

• Commentaire sur les difficultés de certains
  postulats de louvrage dEuclide, composé par le
  très-illustre et très-véridique shaykh et
  imam
• ABU AL-FATH UMAR IBN IBRAHIM AL-KHAYYAMI.
• (Traduction de R. Rashed et B. Vahabzadeh,
  Al-Khayyam Mathématicien, ed. Blanchard 1999)
• LIVRE PREMIER
• DE LA VÉRITABLE NATURE DES PARALLÈLES,ET DE
  L'EXPOSE DE LA CÉLÈBRE DIFFICULTÉ
• Il nous faut réaliser que la raison pour laquelle
  Euclide a négligé la démonstration de cette
  prémisse et l'a postulée, c'est qu'il s'est basé
  - lorsqu'il lui vint à l'esprit que la cause de
  la rencontre des deux lignes droites était cette
  notion qu'il a postulée - sur les principes que
  l'on tire du Philosophe à propos des notions de
  ligne droite et d'angle rectiligne.
• Nous devrons admettre vingt-huit propositions de
  l'ouvrage Les Éléments, car elles ne dépendent
  pas de cette prémisse seule la vingt-neuvième
  proposition, où nous voulons rapporter les lois
  des lignes parallèles, en dépend.
• Que celui qui le voudra, place donc la première
  proposition de ce Livre-ci au lieu de la
  vingt-neuvième proposition du premier Livre, de
  sorte qu'elle fasse partie intégrante de
  l'ensemble de l'ouvrage.

12
4 - La construction dun rectangle par Omar
Al-Khayyâm

• Proposition Première, soit la 29e du Livre I
• La ligne AB est donnée
• nous menons AC perpendiculairement à AB
• nous posons BD perpendiculaire à AB
• et égale à la ligne AC (elles seront donc
  parallèles,comme l'a démontré Euclide dans la
  proposition 26)
• et nous joignons CD.
• Je dis que l'angle ACD sera égal à l'angle BDC.
• Démonstration. Nous joignons CB, AD. La ligne AC
  est donc égale à BD, AB est commune, et les
  angles A et B sont droits. Les bases AD, CB
  seront donc égales, et les autres angles seront
  égaux aux autres angles. Donc les angles ?EAB,
  ?EBA seront égaux. Donc les lignes AE, EB seront
  égales. Il restera donc CE, ED égales entre
  elles. Donc les angles ?ECD, ?EDC seront égaux.
  Mais ACB est égal à ADB. Donc les angles ?ACD,
  ?CDB seront égaux. Ce que nous voulions
  démontrer.

C
D
E
A
B
13
5 - La théorie des parallèles selon Omar
Al-Khayyâm

• Le nœud du problème
• Al-Khayyâm montre que ABCD est un rectangle,
• cest-à-dire que les angles en C et D sont droits
• (prop. 2 et 3). Il en déduit alors le 5e Postulat
  en 5
• propositions utilisant léquidistance de deux
  parallèles.
• - Quatrième Proposition, soit la 32e des Éléments
  
• Dans un rectangle (4 angles droits), les côtés
  opposés sont égaux
• - Cinquième Proposition, soit la 33e des Éléments
  
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même
  troisième,
• toute perpendiculaire à lune sera
  perpendiculaire à lautre.
• - Sixième Proposition, soit la 34e des Éléments
• Deux droites parallèles sont perpendiculaires à
  une même troisième.
• Al-Khayyâm fait bien ainsi la distinction entre
  deux définitions du parallélisme, mais prétend
  démontrer leur équivalence
• deux droites prolongées à linfini ne se
  rencontrent pas (définition 35 dEuclide),
• deux droites équidistantes (même longueur
  des perpendiculaires communes,  vis à vis 
  dit Al-Khayyâm), dont lexistence suppose le 5e
  Postulat.

C
D
A
B
14
6 - Al-Khayyâm  démontre  le 5e Postulat

• - Septième Proposition, soit la 35e des Éléments
  (prop. 29 dEuclide)
• Si une ligne droite tombe sur deux lignes
  parallèles, les angles alternes seront égaux
  entre eux et les angles intérieurs seront égaux à
  deux droits.
• - Huitième Proposition, soit la 36e des Éléments
  (le 5e Postulat dEuclide)
• La ligne EG est droite, et l'on a mené les lignes
  EA, GC de telle sorte que les angles ?AEG, ?CGE
  soient plus petits que deux droits. Je dis
  qu'elles se rencontreront dans la direction de A.

L'angle ?AEG est plus petit que ?EGD. Nous
posons alors l'angle ?HEG égal à ?EGD. Les
lignes HEI, CGD sont donc parallèles, (Euclide,
prop. 27, Livre I). Mais la ligne EA coupe HI.
Par conséquent, elle coupera la ligne CD dans la
direction de A. Ce que nous voulions démontrer
B
E
H
I
A
C
D
G
Ce résultat achève le Livre I dAl-Khayyâm, il
conclut Voilà donc la véritable démonstration
des lois des parallèles et de la notion vers
laquelle on tendait. Et à la vérité, il faudra
annexer ces propositions à l'ouvrage Les Éléments
selon l'ordre qui a été mentionné car l'art en
a besoin afin d'être philosophiquement parfait,
de sorte que celui qui l'étudie n'ait plus de
doute et ne soit plus troublé par des
incertitudes. Et le moment est venu pour nous de
conclure le premier Livre en louant Dieu le
Très-Haut et en bénissant le prophète Muhammad et
toute sa famille.
15
7 - La preuve du rectangle par Al-Khayyâm

• Mais comment Al-Khayyâm obtient-il que ABCD est
  un rectangle ?
• Seconde Proposition, soit la 30e des Éléments
• Nous reprenons la figure ABCD
• nous divisons AB en deux en E
• et nous menons EG perpendiculairement à AB.
• Je dis que CG sera égale à GD,
• et EG perpendiculaire à CD.
• Démonstration. Nous joignons CE, ED. La ligne AC
  est donc égale à BD, AE est égale à EB, et les
  angles A, B sont droits.
• Donc les bases CE, ED seront égales, et les
  angles ?AEC, ?BED seront égaux. Il restera donc
  CEG, GED égaux entre eux.
• Mais la ligne CE est égale à ED, EG est commune,
  et les deux angles sont égaux. Le triangle sera
  donc égal au triangle, et les autres angles et
  côtés homologues égaux entre eux. CG sera donc
  égale à GD, et l'angle ?CGE égal à ?DGE. Ils
  seront donc droits. Ce que nous voulions
  démontrer.

C
D
G
A
B
E
16
7 - La preuve du rectangle par Al-Khayyâm

• Troisième Proposition, soit la 31e des Éléments
• Nous reprenons la figure ABCD avec E et G. Je
  dis que les angles ?ACD et ?BDC seront droits.
• Al-Khayyâm place K sur (EG) tel que GK EG
• et trace en K la perpendiculaire à (EK), qui
  coupe (AC) en H et (BD) en I (cela suppose le 5e
  Postulat !).
• Il démontre facilement (égalités de triangles de
  bases CK et DK) que KH KI et CH DI.
• Il reste à montrer que les angles en C et D ne
  sont ni aigus ni obtus.
• Hypothèse de langle aigu (principe du
  raisonnement)
• par pliage autour de (CD), K vient en E, langle
  obtus ?GCH vient en ?GCN, plus grand que ?GCA,
  et H vient en N, avec EN gt EA.
• Donc KH gt EA et la droite (AC) sécarte ainsi de
  (EG). Idem pour (BD), et de même si on construit
  la figure de lautre côté de (AB).
• On a alors pour les deux droites parallèles (AH)
  et (BI) lallure ci-dessus

K
I
H
G
C
D
A
B
E
N
H
I
A
B
H
I
17
7 - La preuve du rectangle par Al-Khayyâm

• - Hypothèse de langle obtus (principe du
  raisonnement)
• Par pliage autour de (CD), K vient en E, langle
  aigu ?GCH vient en ?GCM, plus petit que langle
  obtus ?GCA, et H vient en M, avec EM lt EA. Donc
  KH lt EA, et la droite (AH) se rapproche ainsi de
  (EK).
• Idem pour (BI), et de même si on construit la
  figure de lautre côté de (AB).
• On a alors pour les deux droites parallèles (AH)
  et (BI) lallure ci-dessous

K
I
H
G
C
D
A
B
E
M
H
I
On a donc deux lignes droites qui coupent une
ligne droite selon deux angles droits, et la
distance entre elles augmente (hypothèse de
langle aigu), ou diminue, (hypothèse de langle
obtus) des deux côtés de cette ligne.
A
B
H
I
18
8 - La ligne droite est bien droite le refus
dOmar Al-Khayyâm

• Conclusion
• C'est là une absurdité première, dès lors que
  l'on conçoit la linéarité et que l'on réalise la
  distance entre les deux lignes.
• (Cela fait partie des choses que tu pourras
  reconnaître avec un minimum de réflexion et
  d'investigation).
• Et dès lors qu'il est impossible que les deux
  lignes AB et CD soient inégales, elles seront
  égales.
• Et dès lors qu'elles sont égales, les deux angles
  en C et en D seront égaux. Par conséquent ils
  seront donc deux ltanglesgt droits.
• (On le reconnaîtra avec un minimum de réflexion
  nous l'omettrons donc afin d'éviter la prolixité.
  Ainsi, que celui qui voudra ici-même établir cela
  selon l'ordre mathématique le fasse nous ne
  l'empêcherons pas!).
• Par ce refus idéologique, Omar Al-Khayyâm passe
  ainsi à côté dune grande découverte.

19
9 - La rigueur de Saccheri (1667-1733)

• Le titre du livre de Girolamo Saccheri est
  révélateur de lintention de lauteur Euclide
  lavé de toute tache (1733).
• Saccheri suppose connues les 28 premières
  propositions des Éléments et reprend la
  configuration dAl-Khayyâm
• Il prouve que les angles en C et D sont égaux.
• Comme Al-Khayyâm, il fait les trois hypothèses
  angles droits, obtus ou aigus, et montre que si
  lune est vraie pour un quadrilatère, alors elle
  est vraie pour tous.
• Dans les hypothèses de langle droit ou obtus, il
  prouve que si deux droites font un angle aigu,
  toute perpendiculaire à lune coupe lautre

C
D
A
B
Quel que soit P sur (AB), il existe un point N
sur (AC) tel que le pied M de la perpendiculaire
menée de N à (AB) soit au delà de P. Dans le
triangle rectangle AMN, la perpendiculaire menée
de P à (AB) recoupe lhypoténuse (axiome de
Pasch).
N
C
A
B
P
M
Saccheri peut ainsi éliminer lhypothèse de
langle obtus (qui conduit à la géométrie
sphérique), car utilisant la 2e Demande
dEuclide pour construire sa figure (on peut
prolonger une droite à linfini), le résultat
obtenu implique le 5e Postulat, lequel entraîne
immédiatement que les angles en C et D sont
droits. Saccheri conclut  lhypothèse de
langle obtus est absolument fausse, car elle se
détruit delle-même .
20
9 - La rigueur de Saccheri (1667-1733)

• Le raisonnement précédent ne peut pas aboutir
  dans lhypothèse de langle aigu et Saccheri,
  malgré toutes ses recherches rigoureuses,
  narrive pas à obtenir une contradiction.
• Il montre que deux droites quelconques sont
• - soit sécantes
• - soit ont une perpendiculaire commune
• - soit sont asymptotes !
• Classification que Lobachevski reprendra un
  siècle après pour la géométrie hyperbolique.
• Saccheri découvre que deux droites ayant une
  perpendiculaire commune peuvent ne pas être
  équidistantes, et quétant donné un segment AB,
  il existe un angle ?BAX tel que
• - (AX) ne rencontre pas la perpendiculaire
  (BC) en B à (AB),
• - toute oblique (AX) comprise dans
  langle ?BAX, rencontre cette
  perpendiculaire (BC) à (AB),
• - toute oblique (AX) faisant un angle
  aigu avec (AB), plus grand que
  ?BAX, a une perpendiculaire commune avec (BC).

X
X
C
X
A
B
Saccheri est donc amené à considérer que les
droites asymptotes (AX) et (BC) se rencontrent à
linfini, et devraient avoir en ce point idéal
une perpendiculaire commune ! Devant ces
paradoxes, moralement convaincu que le 5e
Postulat est démontrable, il conclut  Lhypothès
e de langle aigu est absolument fausse, car cela
répugne à la nature de la ligne droite .
21
10 - Le travail de Johann Heinrich Lambert
(1728-1777)

• La théorie des parallèles (Theorie der
  parallellinien)
• Partant dun quadrilatère ayant 3 angles droits,
  Lambert montre que pour le quatrième, lhypothèse
  de langle obtus est impossible dans une
  géométrie où les droites sont infinies (2e
  Demande dEuclide), mais remarque que cette
  propriété est vérifiée sur une sphère.
• Il pousse lhypothèse de langle aigu le plus
  loin possible, et obtient les premiers résultats
  en géométrie hyperbolique, en particulier que la
  somme des angles a, b, c dun triangle ABC dépend
  de son aire
• 2droits (abc) k aire(ABC)
• Comparant cette formule à celle de Girard (1625),
  sur une sphère de rayon R
• (abc) 2droits (1/R2) aire(ABC),
• il conclut que lhypothèse de langle aigu mène
  à une géométrie sur une sphère de rayon
  imaginaire iR. Ceci entraîne lexistence dune
  mesure absolue des longueurs.
• Mais, considérant que dans la réalité physique,
  il ny a pas de mesure absolue des longueurs et
  convaincu que les axiomes de la géométrie doivent
  refléter notre perception de lespace, il écarte
  aussi lhypothèse de langle aigu pour obtenir le
  5e postulat, qui nest donc pas mathématiquement
  démontré.

22
11 - Mises en garde de DAlembert et du père
Farkas Bolyaï

• Jean Le Rond DAlembert (1717-1783) écrira dans
  lEncyclopédie (v. 1765)
•  la définition et les propriétés de la ligne
  droite, ainsi que des lignes parallèles sont
  lécueil et pour ainsi dire le scandale des
  éléments de géométrie .
• Wolfgang Farkas Bolyaï (1775-1856), après 8
  tentatives infructueuses, découragé, écrit à son
  fils Janos qui sera lun des créateurs des
  Géométries Non Euclidiennes
•  Je vous supplie de laisser cette science des
  parallèles tranquille... J'ai traversé cette nuit
  insondable, qui éteignit toute lumière et joie de
  ma vie... Je suis revenu quand j'ai vu qu'aucun
  homme ne pouvait atteindre le fond de la nuit Je
  men reviens inconsolé, mapitoyant sur mon
  sort... La ruine de mon humeur et ma chute datent
  de ce temps. J'ai, bêtement, risqué ma vie et mon
  bonheur 

23
12 - La réponse du fils Janos Bolyaï

• Janos Bolyaï, indocile, écrit à son père en 1823
  
•  Je suis décidé à publier mon travail sur la
  théorie des parallèles ... Le but n'est pas
  encore atteint mais j'ai fait des découvertes
  merveilleuses qui m'ont subjuguées, et ce serait
  une cause de regret éternel si elles étaient
  perdues La seule chose que je puisse dire, c'est
  que j'ai créé un nouvel univers à partir de rien.
  Tout ce que je vous ai envoyé jus que là est un
  château de cartes à côté de la tour .
• Il rédige en 1825 un opuscule La science
  absolument vraie de lespace, publié en appendice
  dun ouvrage de son père en 1832.

24
13 - La prudence de Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)

• 1 - Réponse à son ami Farkas Bolyaï qui lui
  avait communiqué les travaux de son fils
•  le contenu lui-même du travail, le chemin
  suivi par votre fils et les résultats auxquels
  il est conduit, coïncident presque entièrement
  avec les méditations qui ont occupé mon esprit
  en partie pour les 30 à 35 dernières années .
• Gauss ajoute, craignant les sarcasmes ( jai
  peur des criaillements des ignorants)
•  Mon intention était de ne rien publier de mon
  vivant Je suis très heureux que ce soit le
  fils d'un vieil ami qui me précède d'une manière
  si remarquable. 
• 2 - Gauss avait exploré la question depuis
  longtemps, lettre à Farkas Bolyaï de 1799
•  J'ai déjà fait quelques progrès dans mon
  travail si on pouvait prouver quil existe un
  triangle dont l'aire est plus grande que tout
  nombre donné à lavance, alors je pourrais
  établir la géométrie euclidienne rigoureusement".
• 3 - Lettre à Burkhard de 1817 (depuis 1813, Gauss
  avait la certitude de la consistance dune
  géométrie non euclidienne)
•  Je suis de plus en plus convaincu que la
  nécessité de notre géométrie euclidienne ne
  peut être prouvée en tout cas par une pensée
  humaine et pour une raison humaine. Peut être
  dans une autre vie il nous sera possible d'avoir
  une indication sur la nature de l'espace qui
  nous est pour le moment inaccessible .

25
13 - La prudence de Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)

• 4 - Lettre à Taurinus de 1824, annonçant une
  nouvelle géométrie qui sera développée par
  Lobatchevski en 1829 (en russe, publié en
  français en 1837)
•  l'hypothèse que la somme des angles d'un
  triangle est inférieure à 180 degrés conduit à
  une géométrie curieuse, assez différente de la
  nôtre, mais cohérente que j'ai développée à mon
  entière satisfaction et dans laquelle je peux
  résoudre tout problème à l'exception de la
  détermination d'une constante qui ne peut être
  définie a priori. Plus cette constante est
  grande, plus on est proche de la géométrie
  euclidienne et les deux coïncident si elle est
  prise infinie .
• 5 - Dans cette même lettre de 1824, Gauss ajoute
  
•  Tous mes efforts pour découvrir une
  contradiction, une incohérence dans cette
  géométrie non euclidienne ont échoué, (...) Mais
  il me semble que nous ne connaissons que si
  peu, pour ne pas dire rien du tout, de la vraie
  nature de l'espace qu'il n'est pas possible de
  qualifier d'impossible ce qui nous apparaît
  comme non naturel .
• 6 - Appréciation de Düring vers 1880 sur la
  géométrie non euclidienne
•  Insanité démentielle, théorèmes et figures
  mystiques et délirants nés d'une pensée
  maladive ! Les parties dégénérées du cerveau de
  Gauss .

26
14 - Le choix de Lobatchevski (1793-1856)

• Nicolas Ivanovitch Lobatchevski publie sa Théorie
  des parallèles en 1829.
• Un point A extérieur à une droite (BC) étant
  donnés, soit (AD) lunique perpendiculaire issue
  de A sur (BC). Lobatchevski part de la situation
  laissée par Saccheri et admet comme base de
  travail que
• Par le point A extérieur à la droite (BC), il
  passe trois types de droites
• celles qui coupent (BC), comme (AE)
• les deux droites (AF) et (AG), qui sont
  asymptotes à (BC). Ce sont les parallèlesà (BC)
  passant par A.
• - les droites, comme (AH) comprises dans
  langle formé par (AF) et (AG), qui ne
  rencontrent pas (BC) et qui ont avec (BC) une
  perpendiculaire commune.
• Parmi celles-ci, la droite (AI) est
  perpendiculaire en A à (AD).
• Lobatchevski déclare en 1834 que  la vérité à
  établir (le 5e Postulat) ne peut être démontrée
  que par des expériences ,
• au contraire de Kant qui pensait que le concept
  despace euclidien  nest pas dorigine
  empirique, mais est une nécessité inévitable de
  la pensée .

H
A
I
F
G
B
C
E
D