6. Stochastik in der Grundschule

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6. Stochastik in der Grundschule

• Gliederung
• Einordnung der Thematik in den Mathematikunterrich
  t der Grundschule
• Möglichkeiten für die Behandlung im Unterricht

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Zum Begriff Stochastik

• Stochastik (ursprünglich)
• die Kunst des vernünftigen Vermutens, und zwar
  des vernünftigen Vermutens in den für
  menschliches Leben offensichtlich so typischen
  Situationen, in denen es an sicherem und
  zureichendem Wissen mangelt.

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Teilgebiete der Stochastik(für die Behandlung in
der Schule)

• Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Kombinatorik
• Statistik

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Mathematikunterricht in der Grundschule
Standards der KMK von 2004

• Allgemeine mathematische Kompetenzen
• Probleme mathematisch lösen
• Kommunizieren
• Mathematisch argumentieren
• Mathematische Darstellungen verwenden
• Nutzen mathematischer Hilfsmittel und
  Arbeitsweisen

• Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
• Zahl und Operationen
• Form und Veränderung
• Muster und Strukturen
• Größen und Messen
• Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

?
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Kompetenz Daten, Häufigkeit und
Wahrscheinlichkeit

• Daten erfassen und darstellen

in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen
Experimenten Daten sammeln Daten mit Hilfe von
Strichlisten, Schaubildern, Häufigkeitstabellen,
Strecken- und Streifendiagrammen darstellen aus
Tabellen, Schaubildern und Diagrammen
Informationen entnehmen Verschiedene
Darstellungen des gleichen Sachverhalts
miteinander vergleichen
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Kompetenz Daten, Häufigkeit und
Wahrscheinlichkeit

• Wahrscheinlichkeiten in Zufallsexperimenten
  vergleichen

Begriffe kennen sicher unmöglich möglich, aber
nicht sicher Gewinnchancen bei einfachen
Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen)
einschätzen
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Kompetenz Zahl und Operationen

• einfache kombinatorische Aufgaben (z. B.
  Knobelaufgaben) durch Probieren bzw.
  systematisches Vorgehen lösen

in Kontexten rechnen
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Empfehlungen zu Zielen und zur Gestaltung des
Stochastikunterrichts

• Bereits in der Primarstufe sollten Elemente der
  Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
  verbindlicher Bestandteil der Pläne sein.
• Gründe
• Die Schüler werden in ihrem täglichen Leben
  bereits mit stochastischen Erscheinungen
  (statistische Daten, Wahrscheinlichkeitsaussagen,
  Spiele mit Zufallsgeneratoren u.a.) konfrontiert.
• Entwicklung einer Datenkompetenz sowie einer
  stochastischen Denkweise ist ein grundlegendes
  Ziel mathematischer Bildung, das wie alle anderen
  einer propädeutischen Behandlung in der
  Grundschule bedarf.
• Quelle http//www.mathematik.uni-dortmund.de/ak-s
  toch/dokument/stellung.pdf

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Ziele des Stochastikunterrichts in der Primarstufe

• Am Ende der Primarstufe sollte ein Schüler
• 1. Fragen kennen und stellen können, die mithilfe
  von Daten beantwortet werden können,
• 2. erste Erfahrungen im Erfassen und Aufbereiten
  von Daten mit Strichlisten, Häufigkeitstabellen,
  Strecken- und Streifendiagrammen besitzen,
• 3. Informationen aus einfachen Diagrammen
  entnehmen können,
• 4. die Wahrscheinlichkeit von künftigen
  Ereignissen auf der Grundlage von Daten,
  Erfahrungen oder der Analyse der Bedingungen des
  Vorgangs vergleichen und qualitativ einschätzen
  können
• 5. über erste Erfahrungen mit einfachen
  Zufallsexperimenten verfügen

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Empfehlungen zur Gestaltung des
Stochastikunterrichts in der Primarstufe

• kein eigenständiges Stoffgebiet
• Aspekt der den gesamten Mathematikunterricht
  durchzieht
• Integration in das Sachrechnen
• Vorerfahrungen der Schüler analysieren und
  aufgreifen
• den Schülern Möglichkeiten zu verschiedenen
  Lösungswegen geben
• den Schülern ein Vorgehen auf enaktiver Ebene
  anbieten

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Statistik in der Grundschule

• Rahmenplan Hessen Mathematik (1995)
• Arbeitsbereich Mengen und Zahlen
• Ziele (S. 150)
• das Runden von Zahlen und das Darstellen in und
  das Lesen von Tabellen und Schaubildern
• Anregungen und Beispiele (S. 151)
• Zeitungsberichte mit großen Zahlen sammeln und
  auswerten...
• Einwohnerzahlen, Zuschauerzahlen bei
  Großveranstaltungen usw. zusammenstellen,
  vergleichen, in Schaubildern darstellen
• Hochrechnungen durchführen Herzschläge in einer
  Stunde...

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Daten erfassen und darstellen

• in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen
  Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in
  Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen
• aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen
  Informationen entnehmen

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Aufgaben zu den Bildungsstandards
Aufgabenstellung Die Tabelle zeigt das Alter der
Jungen und Mädchen einer 4. Klasse.
Alter Anzahl der Jungen Anzahl der Mädchen
9 6 8
10 9 3
11 2 0

• 1. Aufgabe
• Wie viele Jungen sind in der 4. Klasse?
• 2. Aufgabe
• Wie viele Kinder besuchen diese 4. Klasse?
• 3. Aufgabe
• Wie viele der Kinder sind 9 Jahre alt?
• 4. Aufgabe
• Wie viele der Kinder sind älter als 9 Jahre?

80,9
68,1
70,2
70,2
63,8 der Schüler lösten alle Aufgaben richtig
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Aufgaben zu den Bildungsstandards

• 5. Aufgabe
• Zeichne zu der Tabelle ein Streifendiagramm.

42,9 bzw. 38,5
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Aufgaben zu den Bildungsstandards
6. Aufgabe Das Streifendiagramm stellt die
Anzahl der Jungen (J) und Mädchen (M) der
Waldschule dar.
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Fülle zu diesem Streifendiagramm die Tabelle aus.
Klassenstufe Jungen Mädchen gesamt
Klasse 1
Klasse 2
Klasse 3
Klasse 4
gesamt
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Daten erfassen und darstellen

• von der ersten Schulwoche an möglich
• Themen aus der täglichen Erfahrungswelt der
  Kinder
• Klasse
• Schule
• Haustiere
• Geburtstage
• Geschwister
• Vornamen
• Anzahl der Buchstaben in Wörtern

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Quelle Das Zahlenbuch 1. Klett 2004, S. 115
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Daten erfassen und darstellen

• Leitideen
• Bereitstellung eines sinnstiftenden Anlasses
  (L/K)
• Lernen auf eigenen Wegen (K)
• Erstellen von eigenen Notationsformen (K)
• Gemeinsame Reflexion der Eigenprodukte (K-K ,
  L-K)
• Fortschreitende Schematisierung bzw.
  Mathematisierung
• Quelle Radatz u.a. Handbuch für den
  Mathematikunterricht 1. Schuljahr. Schroedel
  1996, S. 150

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Daten erfassen und darstellen
Quelle Radatz u.a. Handbuch für den
Mathematikunterricht 1. Schuljahr. Schroedel
1996, S. 152
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Daten erfassen und darstellen

• Beispiel Verkehrszählung (Klasse 3)
• Fragen bei der Durchführung
• Welche Merkmale werden erfasst?
• Wie werden Daten erfasst?
• Wie lange werden Daten erfasst?
• Wie werden die Daten dargestellt?
• Wie kann man die Daten auswerten?

Quelle Dennhöfer, Daniela / Neubert, Bernd Wie
viele Autos fahren an unserer Schule vorbei? -
Erfassen und Darstellen von Daten in der dritten
Klasse. In Grundschulunterricht 53(2006)2, S. 8
- 13
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Beispiel Verkehrszählung (Klasse 3)

• Welche Merkmale kann man bei einer
  Verkehrszählung erfassen?
• Vorschläge von Kindern
• Farbe der Fahrzeuge
• Automarke
• Auto-Kennzeichen
• Fahrtrichtung (von rechts oder links)
• Fahrzeugtypen
• Größe der Fahrzeuge
• Problem Welche Merkmalsausprägungen werden
  erfasst?

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Auswertung der Daten

• Hochrechnung für den gesamten Tag
• 1) Peter will herausbekommen, wie viele Autos am
  Tag bei ihm zu Hause vorbeifahren.
• Er zählt in 10 Minuten genau 10 Autos. Da nachts
  kaum Autos fahren, interessiert ihn nur die Zeit
  von 8 Uhr morgens bis 8 Uhr abends.
• Kannst du ausrechnen, wie viele Autos in diesen
  _______ Stunden vorbeifahren?
• (Tipp Überlege erst, wie viele Autos in einer
  Stunde vorbeikommen)
• 2) Kreuze an, was du zu dem Ergebnis denkst
• Das Ergebnis gibt genau wieder, wie viele Autos
  an einem Tag vorbeifahren.
• Das Ergebnis sagt nur, wie viele Autos ungefähr
  vorbeikommen.
• Das Ergebnis ist nicht so gut, weil am Tag nicht
  immer gleich viele Autos kommen.
• Das Ergebnis muss richtig sein, weil man es ja
  ausgerechnet hat.
• Das Ergebnis ist sehr gut, weil immer gleich
  viele Autos vorbeikommen.

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Arithmetisches Mittel

• Peter hat diesmal mehrmals am Tag je 10 Minuten
  gezählt. Hier sind seine Ergebnisse
• 17 Autos (morgens)
• 5 Autos (am späten Vormittag)
• 15 Autos (mittags)
• 10 Autos (nachmittags)
• 13 Autos (abends)
• Nun will Peter wieder ermitteln, wie viele Autos
  täglich vorbeifahren.
• 1) Dafür muss er aber erst ausrechnen, wie viele
  Autos es durchschnittlich in 10 Minuten sind.
• (Tipp Falls du keine Idee hast, wie man das
  herausfinden könnte, schaue in dem Briefumschlag
  nach.)
• 2) Um die Anzahl der Autos für den gesamten Tag
  auszurechnen, kannst du (wenn du willst) die
  Zahlen in den Taschenrechner eingeben.

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Aufgabenstellungen zur Statistik

• Beispielesammlung der Universität Wien
• Wetter
• Weitsprung
• Drehscheibe
• Buchstaben
• Popcorn
• Geschwister
• Größenvergleich
• Pulsmessung
• Trumpfkarten
• Mathematik
• Austrocknung
• Wandertag
• Würfelsumme
• Zahngesundheit
• Internetadresse http//www.stat4u.at/

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Fragestellungen in der Kombinatorik

• zwei Aufgabenstellungen
• 1) Es ist festzustellen, welche Möglichkeiten es
  gibt, Elemente einer endlichen Menge nach
  bestimmten Bedingungen auszuwählen oder
  anzuordnen.
• 2) Es ist festzustellen, wie viele Möglichkeiten
  es dafür insgesamt gibt.

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• Zählen, Kombinieren, Anschauen gehören zu den
  natürlichen Entwicklungen des Geistes, die man
  durch den Unterricht nicht schaffen, sondern nur
  beschleunigen soll daher hier das Verfahren
  soviel möglich analytisch beginnen muss. Lesen
  und Schreiben hingegen lässt sich nur synthetisch
  (jedoch nach vorgängiger Analyse der Sprachlaute)
  lehren.
• 1. Das Kombinieren gemeiniglich ganz und sehr
  mit Unrecht vernachlässigt gehört zu den
  allerleichtesten und vieles erleichternden
  Übungen, recht eigentlich für Kinder. Dass zwei
  Dinge ihre Stellung rechts und links (hinten und
  vorn, oben und unten) wechseln können, ist der
  Anfang. Dass drei Dringe sich sechsfach (in einer
  Linie) versetzen lassen, ist die nächste Folge.
  Wie viele Paare man aus einer Menge vorliegender
  Dinge nehmen könne, ist eine der leichtesten
  Fragen. Wie weit man fortzuschreiten habe, müssen
  die Umstände bestimmen. Nur sind nicht
  Buchstaben, sondern Dinge und die Kinder selbst
  zu versetzen, zu kombinieren und zu variieren. So
  etwas muss man zum Teil scheinbar spielend
  lehren.
• Quelle
• Herbart Umriss pädagogischer Vorlesungen. Zweite
  vermehrte Ausgabe. Göttingen Druck und Verlag
  der Dieterichschen Buchhandlung, 1841

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Zugänge zur Kombinatorik
Quelle Das Zahlenbuch 1. Klett 2004, S. 18
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Quelle Das Zahlenbuch 1. Klett 2004, S. 119
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Zugänge zur Kombinatorik

• Bauen von Türmen
• Versucht so viele verschiedene Türme mit drei
  Etagen wie möglich zu bauen!
• Dabei müsst ihr beachten, dass jede der drei
  Farben in jedem Turm einmal vorkommt!

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Bauen von Türmen

• Aufgabe 1
• Katrin hat blaue, rote und gelbe Bausteine. Sie
  will Türme aus drei Bausteinen bauen. Jeder Turm
  soll aus den drei Farben bestehen. Die Farben
  sollen in unterschiedlicher Reihenfolge
  vorkommen. Wie viele verschiedene Türme kann
  Katrin bauen?
• Aufgabe 2
• Stellt euch vor, Katrin hätte blaue, rote, gelbe
  und weiße Bausteine. Sie möchte Türme aus den
  vier Farben bauen. Die Farben sollen in
  unterschiedlicher Reihenfolge vorkommen. Wie
  viele Türme kann Katrin jetzt bauen?

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(No Transcript)
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Zugang zur Kombinatorik über das kartesische
Produkt

• Möglicher Sachverhalt Zusammenstellen von
  Kleidungsstücken
• Literaturhinweis (Reader)
• JUNG / NEUBERT / TOLLE Kleider und Hüte für
  Pussy. In Sache-Wort-Zahl 28(2000)34, S. 21 -24

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Aufgabe zur Anwendung des kartesischen Produkts
(Klasse 3)

• Ein Menü besteht aus einer Vorspeise, einem
  Hauptgericht und einem Nachtisch. Verschiedene
  Gerichte stehen zur Auswahl
• Vorspeise
• Gemischter Salat
• Milchmix
• Hauptgericht
• Spagetti Bolognese
• Nudelauflauf
• Käsespätzle
• Würstchen mit Kartoffelbrei
• Nachtisch
• Mousse au chocolat
• Obstsalat
• Pudding
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, unterschiedliche
  Menüs am Abschlussfest zu kochen?

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Kombinatorik bei geometrischen Aufgaben
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Kombinatorische Aufgaben

• Timo kauft sich jeden Tag nach der Schule eine
  Eistüte mit drei Bällchen! An dem Eisstand gibt
  es vier verschiedene Eissorten (Vanille,
  Schokolade, Erdbeere und Schlumpfeis). Timo
  möchte jeden Tag eine andere Eistüte essen.
• Wie viele verschiedene Eistüten kann sich Timo
  zusammenstellen?

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Argumente für die Behandlung kombinatorischer
Aufgaben in der Grundschule

• nur Rechnungen im Bereich der natürlichen Zahlen
• Beitrag zur Umwelterschließung
• vollständiges Verstehen von Problemen der
  Kombinatorik braucht Zeit
• Kombinatorische Aufgaben können zur Erreichung
  von Zielen bei anderen mathematischen Inhalten
  beitragen.
• Möglichkeiten der Differenzierung
• An kombinatorischen Aufgaben können Kinder
  erfahren, dass man mathematische Aufgaben
  unterschiedlich interpretieren kann.
• hohe intrinsische Motivation vor allem durch die
  Möglichkeit zum spielerisch-experimentellen
  Vorgehen.
• gutes Übungsfeld für das Problemlösen

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Argumente für die Behandlung kombinatorischer
Aufgaben in der Grundschule

• Die Aufgaben (Anordnung von drei Geschenkpäckchen
  bzw. Lichterketten) wirkten auf alle (!) Kinder
  äußerst motivierend. Alle Gruppen gelangten
  eigenständig zur Lösung der Aufgabe.
• Die Vorgehensweisen waren äußert unterschiedlich
  Einige legten systematisch mit Plättchen, andere
  ungeordnet und ein Schüler präsentierte mir eine
  korrekte rechnerische Lösung des Problems.
• Ich spiele mit dem Gedanken, in meiner
  Examensstunde etwas zum Thema Kombinatorik zu
  machen - gute, motivierende und Raum für eigene
  Lösungswege lassende Aufgaben gibt es meiner
  Einschätzung nach in diesem Inhaltsbereich wie in
  k(aum)einem anderen!
• Quelle Auszüge aus einer e-mail der Referendarin
  Julia Mellech vom 04.02.2006

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Erfahrungen zu Wahrscheinlichkeiten

• Am Anfang einfache Zufallsexperimente mit
• Würfel
• Münze
• Spielkarten
• Glücksrad
• Urnenmodell
• Ziel
• Einschätzen und Vergleichen von
  Wahrscheinlichkeiten und nicht das Berechnen von
  Wahrscheinlichkeiten

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Quelle Neubert, Bernd Grundschüler beurteilen
ein Würfelspiel Ein Erfahrungsbericht. In
Stochastik in der Schule 22(2002)1, S. 25 - 29
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Fragen zum Wurmspiel

• Für das Spiel gibt es noch drei andere
  Spielregeln
• Spieler 1 darf seine Spielfigur immer dann ein
  Feld vorrücken, wenn die Summe der beiden Würfel
  7 ist, Spieler 2 bei der Summe 3.
• Spieler 1 darf seine Spielfigur immer dann ein
  Feld vorrücken, wenn die Summe der beiden Würfel
  12 ist, Spieler 2 bei der Summe 8.
• Spieler 1 darf seine Spielfigur immer dann ein
  Feld vorrücken, wenn die Summe der beiden Würfel
  4 ist, Spieler 2 bei der Summe 10.
• Bewertet die drei Spielregeln hinsichtlich der
  Gewinnchancen der beiden Spieler. Welche
  Spielregel ist für Spieler 1 die günstigste,
  welche für Spieler 2?
• Begründet Eure Antwort!
• Formuliert eine Spielregel, bei der Ihr die
  größten Gewinnchancen habt!
• Formuliert eine Spielregel, bei der beide Spieler
  gleich große Gewinnchancen haben und es ein
  faires Spiel ist!
• Gibt es verschiedene Möglichkeiten?

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Zugänge zur Stochastik

• Klassisch-kombinatorischer Weg Berechnung
• Empirisch-statistischer Weg Schätzung aus
  Beobachtungen