Equival

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Equivalência Algebra RelacionalCálculo
RelacionalDatalog não-recursivo

• AULA 5
• PGC 107 - Sistemas de Banco de Dados
• Profa. Sandra de Amo
• Pós-graduação em Ciência da Computação UFU
• 2012-2

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Equivalência de Linguagens de Consultas

• Algebra Relacional
• Cálculo Relacional Seguro
• Datalog Não-recursivo

Ok !
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Datalog não-recursivo ? Algebra Relacional
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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• Para toda consulta Datalog (não-recursivo) q
  existe uma consulta da Algebra Relacional
  equivalente.
• Assim, toda consulta Datalog não-recursiva pode
  ser calculada através dos operadores da Algebra
  relacional.

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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• Vamos definir uma expressão E(X1,...,Xn)
  correspondente a cada regra
• p(x1,....,xn) - p1(A11,...,A1k1),
  p2(A21,...,A2k2),...

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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• Consideremos o corpo da regra
• p1(A11,...,A1k1),
  p2(A21,...,A2k2),...
• Sejam x1, ...., xn todas as variáveis aparecendo
  no corpo da regra
• (Passo 1) p1(A11,...,A1k1) ? Ei(Y11,...,Y1k1)
• Q ?X sF Ei
• Ex q(x,y)- p1(x,y,a), p2(x,z), wz, x lt y
• variáveis do corpo x,y,z,w
• Q1(X,Y) ?XY sWa E1(X,Y,W)
• Q2(X,Z) E2(X,Z)

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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• (Passo 2)
• Para cada variável x não aparecendo em
  predicados ext. ou int. do corpo da regra,
  constrói-se uma expressão D
• x aparece em xa ou ax constrói D(X) a
• x aparece em x z e z aparece em um predicado pi
• D(X) ?(Z? X) ?Z Ei onde Z é o atributo
  correspondente a z em pi
• Exemplo q(x,y)- p1(x,y,a), p2(x,z), wz,
  x lt y
• D(W) ?(Z ?W) ?Z E2(X,Z)

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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• (Passo 3)
• Q junção dos Q1,...,Qn com os D
• Exemplo
• q(x,y)- p1(x,y,a), p2(x,z), wz, x lt y
• Q(X,Y) ?XY sTa E1(X,Y,T) E2(X,Z)
  
• 
  D(W) ?(Z?W) (?Z E2(X,Z))

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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• (Passo 4)
• Expressão final correspondente à regra E
  sF Q
• F corresponde às condições X op Y aparecendo no
  corpo da regra
• X, Y são variáveis aparecendo na cabeça da regra
• Exemplo q(x,y)- p1(x,y,a), p2(x,z), wz, x
  lt y
• E(X,Y) sXltY Q(X,Y)
  onde
• Q(X,Y) ?XY sWa E1(X,Y,W) E2(X,Z)
  D(Z) ?Z E2(X,Z)

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Exemplo

• p(x,y,z) - q(x,a), r(x,y), z y, x gt y.
• Q1(X) ?X sWa Q(X,W)
• Q2(X,Y) R(X,Y)
• D(Z) ?(Y? Z) (?YR(X,Y))
• E(X,Y,Z) s X gt Y (Q1(X) R(X,Y) D(Z))
  

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Exercicio

• p(x,y) - q(a,x), r(x,z,w), s(y,z), w x, x gt y
• Construir a expressão E(X,Y) correspondente à
  regra

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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• Retificando as regras para um mesmo predicado p,
  de modo que as cabeças das regras sejam iguais
• p(a,x,y) - r(x,y)
• p(x,y,x) - r(y,x)
• p(u,v,w)- r(x,y), u a, vx, wy
• p(u,v,w)- r(y,x), u x, vy, w x
• p(u,v,w)- r(v,w), u a
• p(u,v,w)- r(v,u), w u

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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• Como obter a expressão da A. R. correspondente a
  uma consulta Datalog não recursiva
• Retifica-se as regras do programa
• Constrói-se o grafo de dependência
• Ordena-se os predicados p1,...,pn de tal modo que
  se existe aresta de pi para pj, então i lt j
• Tal ordem é possível uma vez que não existem
  ciclos no grafo.

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Datalog não recursivo ? Algebra Relacional

• Exemplo
• p(x,y) - q(x,y), r(x,y)
• q(x,y) - t(x,z)
• r(x,y) - t(x,z), z lt x

Ordem dos predicados t, r, q, p
r
p
q

t
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Datalog não-recursivo ? Algebra Relacional

• Seguindo-se a ordem dos predicados
• Para cada predicado constrói-se expressão da A.R
  correspondente onde só aparecem relações do banco
  de dados (extensionais)
• Para predicados intensionais definidos por várias
  regras, considera-se a união das expressões
  fornecidas por cada regra, projetadas sobre as
  variáveis aparecendo no predicado.

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Exemplo

• p(a,y)- r(x,y)
• p(x,y)- s(x,z), r(z,y)
• q(x,x)- p(x,b)
• q(x,y)- p(x,z), s(z,y)
• Regras retificadas
• (1) p(x,y) - r(z,y), xa
• (2) p(x,y)- s(x,z), r(z,y)
• (3) q(x,y)- p(x,b), xy
• (4) q(x,y)- p(x,z), s(z,y)
• Ordem s, r, p, q
• s e r são predicados extensionais do
• banco de dados q corresponde à resposta

(1) R(Z,Y) a(X) (2) S(X,Z)
R(Z,Y) Expressão para o predicado p P(X,Y)
?XY (R(Z,Y) a(X) ) U
?XY (S(Z,Y) R(Z,Y)) Exercicio Calcular
expressão Q(X.Y) correspondente ao predicado
resposta Q
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Cálculo Seguro ? Datalog não-recursivo
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Primeira idéia (errada) da prova

• Vamos mostrar que se F é fórmula segura então
  existe uma consulta Datalog (P,pF) equivalente a
  F.
• Prova por indução no número k de operadores
  lógicos de F
• Base da indução k0
• Neste caso, como F é segura, F deve ser uma
  fórmula atômica R(x1,...,xn)
• Logo P tem somente uma regra pF(x1,...,xn) -
  R(x1,...,xn)
• Hipótese de indução suponhamos que o resultado é
  verdadeiro para toda fórmula segura com k
  operadores. Seja F uma fórmula segura com k1
  operadores
• Problema Não podemos afirmar que as subfórmulas
  de F são seguras e aplicar a hipótese de indução
  !!
• Exemplo x y r(x,y) é segura mas x y
  não é !

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Lembrando árvore de fórmula segura
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Exercício

• Considere a seguinte definição (por indução) de
  um conjunto F de fórmulas. O objetivo é mostrar
  que o conjunto F é exatamente igual ao conjunto
  de fórmulas seguras, isto é, toda fórmula de F é
  segura e vice-versa, toda fórmula segura está em
  F.
• Fórmulas básicas de F (G1,...,Gk
  H1,...,Hm),
• onde Gi são atômicas positivas do tipo
• R(x1,...,xn), ou x a, ou a x, x y, onde y
  é limitada
• e Hi são atômicas negativas do tipo R(x1,...,xn)
• Se G(x,x1,...,xn) está em F então x
  G(x,x1,...,xn) está em F
• Se G1(x1,...,xn) e G2(x1,...,xn) estão em F então
  
• F(x1,...,xn) G1(x1,...,xn) ?
  G2(x1,...,xn) também está em F
• Se G1,...,Gk, H1,...,Hm estão em F então
• (G1,...,Gk,A1,...,An H1,...,Hm) também está
  em F - onde Ai são fórmulas aritméticas do tipo x
  a, a x, x y (x ou y limitadas)

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Prova (desta vez correta !)

• se F é fórmula segura então existe uma consulta
  Datalog (P,pF) equivalente a F.
• Prova por indução no número k de operadores
  lógicos de F ( é considerado ao invés do e a
  negação não é considerada já que só pode aparecer
  dentro de um )
• Base da indução F (G1,...,GkH1,...,Hm),
  onde os Gi e os Hi são atômicas
• pF - G1, ..., Gk, H1, , Hm
• Hipótese de indução Suponha que o resultado é
  válido para qualquer fórmula segura com k
  operadores lógicos ( considerado ao invés de
  ).
• Seja F uma fórmula com k1 operadores lógicos.

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Prova (continuação)

• F x G(x,x1,...,xn)
• pF(x1,...,xn) - pG(x,x1,...,xn)
• regras que definem o pG
• F G1(x1,...,xn) ? G2(x1,...,xn)
• pF(x1,...,xn) - pG1(x1,...,xn)
• pF(x1,...,xn) - pG2(x1,...,xn)
• regras para o pG1 e o pG2

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Prova (continuação)

• F (G1,...,Gk,A1,...An H1,...,Hm)
• pF - pG1,...,pGk, A1, ... , An, pH1, , pHm
• regras que definem pG1,
• regras que definem pGk,
• regras que definem pH1,
• regras que definem pHm

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Exemplo

• Considere a fórmula segura
• F(x,y) R(x,y) ? z w (Q(z,x) R(x,y)
  P(y,z) z w)
• R(x,y) ? z w ( (Q(z,x), P(y,z), zw
  R(x,y))

Consulta Datalog correspondente (P,q) onde P é
o seguinte programa
q(x,y) - R(x,y) q(x,y) - q1(x,y,z,w) q1(x,y,z,w)
- Q(z,x), P(y,z), zw, R(x,y)
Veja que este programa NÃO É RECURSIVO
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Poder de Expressão de SQL (anterior a 1999)

• As 3 linguagens de consulta
• Algebra Relacional
• Cálculo Relacional seguro
• Datalog não recursivo
• são equivalentes, têm o mesmo poder de expressão
• SQL (versão anterior a 1999) basicamente
• Algebra Relacional
• Datalog não-recursivo