Elaborato di Teoria dello Sviluppo dei Processi Chimici

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Elaborato di Teoria dello Sviluppo dei Processi
Chimici

• Algoritmo del simplesso

Studenti Amabile Roberto 564/18 Donatantonio
Riccardo 564/19 Farace Antonio 564/28 Perfetto
Alfonso 564/45
Docente Prof. Michele Miccio
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Struttura del lavoro

• Il lavoro si compone delle seguenti fasi
• Realizzazione di un software in ambiente LabView
  7.0
• Approfondimento di argomenti trattati durante il
  corso inerenti la programmazione lineare
• Svolgimento di problemi di programmazione lineare
  risolti mediante lalgoritmo del simplesso al
  fine di verificare il corretto funzionamento del
  SimpLab 1.0

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Problema generale
La semplicità nel calcolo della soluzione di base
per il caso di tutti vincoli è legata alla
presenza di un minore unitario dei coefficienti
delle variabili aggiunte.
Es.
Minore unitario
Nel caso generale la presenza di questo minore
unitario dei coefficienti non è garantita e in
verità quasi mai verificata.
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Variabili artificiali
Vista la facilità di calcolo della b.a. nel caso
in cui vi sia un minore unitario dei coefficienti
si è arrivati allidea di costruire questultimo,
nel caso generale, mediante laggiunta di altre
variabili dette variabili artificiali.
slack
Forma canonica
Es.
surplus
artificiali
Minore unitario
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Problema artificiale
Laggiunta delle variabili artificiali ovviamente
non è cosa lecita questo infatti trasforma il
nostro problema in un nuovo problema che ha delle
variabili in più rispetto a quello di partenza.
Di contro però va detto che di questo nuovo
problema noi riusciamo a conoscere banalmente la
prima soluzione di base ammissibile, come fatto
per il caso di vincoli tutti di tipo , e per
questo definendo opportunamente una nuova
funzione obiettivo potremmo riuscire ad arrivare
alla soluzione b.a. del problema originario
ottimizzando questo nuovo obiettivo.
La nuova funzione obiettivo che si definisce
prende il nome di Forma dInammissibilità.
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Forma dInammissibilità
La Forma dInammissibilità è definita come

• nnumero di variabili del problema originario
• anumero di variabili artificiali
• Xnjvariabili artificiali
• Questa funzione va minimizzata tenendo in conto
  che
• Se min w0 ln-pla X0 in cui la w è minima è una
  soluzione basica ammissibile per la funzione
  obiettivo del problema originario. Questo perchè
  si possono escludere tutte le variabili
  artificiali poiché la loro somma è nulla
• Se min wgt0 non esiste una soluzione basica
  ammissibile per il problema originario

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Il Tableau
La procedura di calcolo che porta alla
determinazione del valore di ottimo della
funzione obiettivo si basa su un processo
iterativo che parte con la costruzione di una
matrice detta Tableau e di volta in volta
continua con laggiornamento di questultima fino
al raggiungimento della soluzione ottima.
La costruzione del Tableau parte dal problema in
forma canonica con laggiunta di variabili
artificiali.

• Riassumendo, quindi, in base al tipo di vincolo
  devo aggiungere al problema delle variabili
• Slack per vincoli di tipo ?
• Artificiali per vincoli di tipo
• Artificiali e Surplus per vincoli di tipo ?

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Costruzione del Tableau
Il Tableau assume la forma
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Condizione di ottimalità
Resta ora da stabilire quando il ciclo del
simplesso deve arrestarsi, cioè come verificare
il raggiungimento della soluzione ottima.
A questo scopo notiamo che
Con m numero totale di variabili.
Da questo è evidente che, durante le iterazioni
del simplesso, nel caso in cui tutti i
coefficienti di costo sono positivi/negativi
siamo in una condizione di minimo/massimo della
F.O.
La condizione di ottimo quindi sarà, per il
problema a minimizzare
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Metodo delle due fasi
Rendere i termini noti non negativi
STOP soluzione non limitata
Vincoli di tipo
Aggiungere variabili slack e artificiali
?
?, , ?
Aggiungere variabili slack

Tutti gli ais0
SÌ
NO
Scelta riga pivot r br/arsmin bi/ais
Aggiungere variabili artificiali
Aggiungere forma di inammissibilità
Scelta colonna pivot s csmin cj
Scelta colonna pivot s dsmin dj
NO
Tutti i cj?0
START fase 2
NO
Tutti i dj?0
START fase 1
SÌ
STOP infinite soluzioni
NO
cjgt0
SÌ
Eliminare colonne con dj gt0. Eliminare la forma
di inammissibilità
SÌ
w0
NO
STOP soluzione basica ammissibile minima
STOP nessuna soluzione ammissibile
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Metodo dei grossi pesi
Si procede aggiungendo le variabili slack,
surplus o artificiali in base al tipo di
vincoli. Si introducono dei coefficienti di costo
per le variabili artificiali detti penalità in
modo da ottenere

• Con o.d.g.(P)gtgto.d.g.(ci)
• -P se il problema è a massimizzare
• P se il problema è a minimizzare
• Se il problema è a minimizzare le variabili
  artificiali saranno le prime ad uscire dalla base
  (per il grosso peso di P) e non vi rientreranno
  più.